MAX SAT に対する近似アルゴリズムの研究

MAX SAT に対する近似アルゴリズムの研究 中央大学大学院情報工学専攻浅野研究室堀邦彰

MAX SATとは… 近似アルゴリズム入力: 重み付きクローズの集合出力: 満たされているクローズの重みの和が最大となるような真偽割り当て各クローズが高々2個のリテラルしか持たない場合でかつ重みが同一の場合においてもNP‐hard であることが知られている. したがって MAX SAT も NP‐hard である.

1つ１つが 重み付きクローズ入力: {(1 , 4) , (2 , 2) , (3 , 6) , (1∨2 ,8) , (2∨3 , 2) , ( 1∨ 2∨ 3 , 6) } 真偽割り当て得られる重み (1 , 2 , 3) = ( T , F , F) 18 20 出力 22 MAX 具体例 ( T , T , F) ( F , T , F)

どんな入力に 対しても近似率αは理論的性能指標といえる α‐近似アルゴリズムとは x* を最適解, F(x) を得られる重みの和としたときにとなるような真偽割り当て xを求める多項式時間アルゴリズム

近似アルゴリズムの代表的な手法 • 確率的方法 • {T, F}の真偽割り当てを行なうのではなく,真になる確率を変数に割り当てその期待値を見積もるといった方法 Johnson,Yannakakis,Goemans-Williamson(a) • Semidefinite Programming を用いた方法 • Goemans-Williamson によって提案された手法 Goemans-Williamson(b), Asano ら

種々の近似アルゴリズム 近似率 • Johnson ’74 α=0.5 • Yannakakis ’92 α=0.75 • Goemans-Williamson (a) ’94 α=0.75 • Goemans-Williamson (b) ’95 α=0.7584 • Asano-Ono-Hirata ’96 α=0.765 • Asano-Hori-Ono-Hirata ’96 α=0.767 • Asano ’97 α=0.770

?? 近似率が良いよいアルゴリズム ?? 計算時間は平均的にはどれがいい平均とはどんな入力に対してもって ?? tight?? ?? 様々な入力のもとに様々なアルゴリズムで実験する必要があるアルゴリズムの比較の重要性

行なった研究概要 • Goemans-Williamson(a),Yannakakis のアルゴリズムの詳細検討． • Yannakakisのアルゴリズムはかなり複雑 • 昨年のアルゴリズム研究会で発表を行なった．その際のメインはYannakakisのアルゴリズムの改良及びその検討． • 現在, Semidefinite programming を研究中． • Semidefinite programming 問題への定式化の方法及び Semidefinite programming 問題自体の解法を研究．

(p1,p2,p3,...,pn)=(1/2,1/2,1/2,...,1/2) =( x1 ,1/2,1/2,...,1/2) =( x1 , x2 ,1/2,...,1/2) ： =( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) Pr(xi=T) = yi • 各変数が真になる確率を 1/2 とし，そこから真偽割り当てを求める． Goemans-Williamson (a)のアルゴリズム • MAX SATを整数線形計画問題として定式化し，線形計画問題に緩和．その問題を解き，random rounding 技法によって真偽割り当てを求める． • 求められた2つの割り当ての良い方を選ぶ

今後の予定 • Yannakakis のアルゴリズムを計算機上で実現するため，制約付き最大流問題の解き方を研究する． • 最終的には種々のアルゴリズムをプログラム化し，計算機実験により実際的性能の比較を行なう．

MAX SAT に対する 近似アルゴリズムの研究