اصول شبیه سازی

1. اصول شبیه سازی هفته سوم

2. فهرست مطالب هفته سوم • مروری بر واژه ها و مفاهیم • متغیرهای تصادفی • انواع متغیر های تصادفی • تابع توزیع تجمعی • گشتاور، امید ریاضی، واریانس • مد و میانه • مدلهای آماری سودمند • سیستمهای صف • مدلهای موجودی • پایایی و نگهداری پذیری • داده های محدود • سایر توزیعها • توزیعهای گسسته • توزیع یکنواخت گسسته • آزمایش برنویی و توزیع برنویی • توزیع دوجمله ای • توزیع هندسی • توزیع پواسون

3. فهرست مطالب هفته سوم • توزیعهای پیوسته • توزیع یکنواخت • توزیع نمایی • توزیع گاما • توزیع مربع کای • توزیع ارلنگ • توزیع نرمال • توزیع لوگنرمال • توزیع بتا • توزیع ویبول • توزیع تی استیودنت • توزیع فیشر • توزیع مثلثی • فرآیند پوآسون • توزیعهای تجربی

4. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم • متغیر های تصادفی • متغیر تصادفی تابعی حقیقی است از فضای نمونه به مجموعۀ اعداد حقیقی که به هر پیشامد فضای نمونه عددی حقیقی نسبت می دهد.

5. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم • انواع متغیر تصادفی • متغیر تصادفی گسسته • Xرا متغیر تصادفی گسسته می‌نامند، اگر مقادیری که X می‌گیرد متناهی یا نامتناهی شمارا باشد. • تعداد سفارش‌هایی که به کارگاه می‌رسد • انداختن یک تاس و آمدن یک عدد خاص • تاس ناسالم که احتمال آمدن هر وجه آن با عدد هر وجه متناسب است. • متغیر تصادفی پیوسته • X را متغیر تصادفی پیوسته می‌نامند، اگر مقادیری که X می‌گیرد فاصله‌ای از مجموعه فواصل باشد. • عمر یک لامپ

6. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم تابع توزیع تجمعی

7. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم گشتاور، امید ریاضی، واریانس

8. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم • گشتاور، امید ریاضی، واریانس • مثال • تاس غیر منصف • عمر لامپ

9. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم • مد و میانه • مد • مد در متغیر گسسته مقداری از متغیر تصادفی است که بیشتر از همه روی می‌دهد. • مد در متغیر پیوسته مقدار ماکسیمم تابع توزیع است • میانه • میانه در متغیر تصادفی پیوسته مقداری از متغیر تصادفی است که: • میانه در متغیر تصادفی گسسته اولین xی است که

10. مروری بر واژه ها و مفاهیم هفته سوم • مد و میانه • مثال • تاس غیر منصف • عمر لامپ

11. مدلهای آماری سودمند هفته سوم • سیستمهای صف • اگر مدت خدمت دهی کاملا تصادفی باشد اغلب دارای توزیع نمایی است. • اگر مدت خدمت دهی ثابت باشد ولی تحت تاثیر تغییرات تصادفی نوسان نماید از توزیع نرمال استفاده می گردد. • اگر به نظر برسد که پدیده مورد نظر از توزیع نرمال پیروی می کند ولی متغیر تصادفی مقید به بزرگتر بودن یا کوچکتر بودن از مقدار خاصی باشد از توزیع نرمال بریده استفاده می گردد. • به منظور مدلسازی مدتهای بین دو ورود و خدمت دهی از توزیع های وایبل و گاما نیز استفاده می گردد(توزیع نمایی حالت خاصی از این دو توزیع است) • تفاوت بین این سه توزیع در مد آنهاست مد توزیع نمایی در صفر است ولی دو توزیع دیگر دارای مد بزرگتر از صفرند. • کران توزیع گاما مانند توزیعنماییکشیده است ولی کرانتوزیعوایبل ممکن است تندتر یا کندتر از توزیع نمایی نزول کند. • اگر مدتهایبزرگخدمتدهیبیش از آن باشد که توزیعنمایی بتواند پاسخگوی آن شود از توزیعوایبل استفاده خواهد شد.

12. مدلهای آماری سودمند هفته سوم • مدلهای موجودی • توزیع مهلت تحویل اغلب توزیعگاماست. • توزیع هندسی، پواسون و دوجملهایمنفی، طیفی از شکلهای توزیع را در بر می گیرند که با انواع الگویتقاضا مطابقت دارد. • مد توزیع هندسی که نوع خاصی از توزیع دوجمله ای منفی است به شرط اینکه دست کم یک تقاضا رخ داده باشد یک خواهد بود. • اگر داده های مربوط به تقاضاکرانیکشیده داشته باشند ممکن است توزیع دوجمله ای منفی مناسب باشد. • کرانپواسون به طور کلی کوتاهتر از کراندوجملهایمنفی است. • اگر مدلپواسون به کار رود نسبت به زمانی که توزیعدوجملهای منفی مورد استفاده قرار می گیرد تقاضاهایزیادکمتر رخ می دهد.

13. مدلهای آماری سودمند هفته سوم • پایایی و نگهداری پذیری • اگر فقط بازمانی های تصادفی رخ دهد می توان از توزیع نمایی استفاده نمود. • توزیع گاما از مدلسازی مکانیزمی که توزیع مدت بازمانی هر جزء آن نمایی است به وجود می آید. • هرگاه تعدادیجزء در سیستم باشد و بازمانی ناشی از جدیدترین نقص از میان همه نقص های ممکن باشد توزیع وایبول عملکرد خوبی دارد. • در وضعیتهایی که بازمانی ها ناشی از فرسودگی باشد توزیع نرمال مناسب است. • و در برخی از قطعات توزیع لوگنرمال برای مدت زمان تا بازمانی مناسب تشخیص داده شده است.

14. مدلهای آماری سودمند هفته سوم • داده های محدود • اگر مدت بین دو ورود یا خدمت دهی تصادفی باشد و اطلاعات ما ناقص باشد از توزیعیکنواخت استفاده می شود. • زمانی می توان از توزیعمثلثی استفاده کرد که در مورد مینمیم، ماکسیمم و مد متغیر تصادفی فرضهایی صورت گرفته باشد. • توزیعبتا گونه هایی از شکلهایتوزیع در فاصلهواحد را فراهم می آورد که با تغییراتمناسب می توان آن را به هرفاصله دلخواهی انتقال داد. • توزیعیکنواخت نوع خاصی از توزیعبتاست. • سایر توزیعها • توزیع های برنویی و دوجمله ای در توزیع های گسسته و توزیع فوقنمایی در توزیع های پیوسته نیز در شبیه سازی کاربردهایی دارند.

15. توزیعهای گسسته هفته سوم توزیع یکنواخت گسسته

16. توزیعهای گسسته هفته سوم • آزمایش برنویی و توزیع برنویی • متغیر تصادفی برنولی (X)دارای دو نتیجه پیروزی و شکست می باشد. بنابراین فضای نمونه را می توان به شکل S={0,1} در نظر گرفت که در آن 0 نشانگر شکست و 1 نشان دهنده پیروزی است. توزیع برنولی به صورت Ber(p) نشان داده می شود که در آن p احتمال موفقیت و در نتیجه1-p احتمال شکست می باشد. نکات زیر در مورد این متغیر تصادفی قابل استخراج است.

17. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع دوجمله ای • فرض کنید n متغیر تصادفی برنولی با هم جمع شوند. حاصل متغیر تصادفی است که می توان آن را با عنوان تعداد پیروزی ها در n آزمایش برنولی تعبیر نمود. تابع توزیع این متغیر تصادفی را می توان به صورت زیر بدست آورد: • با توجه به تعریف متغیر تصادفی دو جمله ای داریم:

18. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع دوجمله ای

19. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع دوجمله ای • مثال:در یک فرایندساخت، چیپ های نیمه رسانایی با نسبت 2% معیوب تولید می‌شوند. در این سیستم تولیدی هر روز یک نمونه 50تایی گرفته شده و اگر در نمونه بیشتر از 2 قطعه معیوب باشد فرایند متوقف می‌شود. احتمال توقف فرایند را در هر روز بیابید. حل: ابتدا بایستی متغیر تصادفی در این سوال تعریف شود. Xتعداد واحدهای ناقص

20. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع هندسی • آزمایش های برنولی مستقل از هم را در نظر بگیرید. متغیر تصادفی هندسی (X) تعداد آزمایش های برنولی تا رسیدن به اولین موفقیت می باشد. این توزیع به شکل Ge(p) نشان داده می شود.p) احتمال موفقیت و1-p احتمال شکست می باشد). از آنجا که تعداد آزمایش ها نامحدود می باشد فضای حالت به شکل S={1,2,…,k,...} است. تابع احتمال متغیر تصادفی x به شکل زیر می باشد و داریم: • P(x) =q x-1p; x=1, 2, … • E(x) =1/p • var(x) =q/p2 • توزیع هندسی به طور گسترده در مدل های ریاضی به علت خاصیت بی حافظگی این توزیع استفاده می شود. بی حافظگی یعنی:

21. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع هندسی • مثال:در مثال قبل احتمال اینکه سومین نمونه، اولین معیوب باشد را بیابید. پیروزی: یافتن معیوب P(x=3) =0.982 *0.02

22. توزیعهای گسسته هفته سوم توزیع پواسون در نتیجه متغیر تصادفی x تمام خصوصیات تابع احتمال را دارد و تابع توزیع آن تقریبی از تابع توزیع متغیر تصادفی دو جمله ای است.

23. توزیعهای گسسته هفته سوم • توزیع پواسون • اگر تقاضا در مهلت تحویل برای محصولی دارای توزیع پواسون با میانگین 10 داشته باشد، با فاصله اطمینان 95% در برابر کمبود نقطه سفارش مجدد را مشخص نمایید.

24. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع یکنواخت • متغیر تصادفی یکنواخت X در بازه S=[a,b],b>a مقادیری را اختیار می کند که دارای احتمال یکسان می باشند. توزیع یکنواخت به صورت Unif(a,b) نشان داده می شود. تابع چگالی به شکل زیر می باشد:

25. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع نمایی • خاصیت بی حافظگی توزیع نمایی

26. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع گاما • تابع گاما • تابع توزیع گاما

27. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع گاما • تابع توزیع گاما

28. توزیعهای پیوسته هفته سوم توزیع مربع کای

29. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع ارلنگ • همان تابع توزیع گاما در حالتی است که است. در این حالت داریم

30. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع ارلنگ • مثال:دو لامپ با عمر متوسط 1000 ساعت با توزیع نمایی به گونه‌ای بسته شده‌اند که در صورت خارج شدن یکی لامپ دیگر روشن می‌شود. احتمال اینکه بعد از 2160 ساعت لامپی روشن باشد، چقدر است. • X=X1+X2 • X1 ~EXP (1/1000) • X2~EXP (1/1000)

31. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع ارلنگ • مثال:یک معاینه پزشک سه مرحله دارد که هر کدام دارای توزیع نمایی با میانگین 20 دقیقه است. با این فرضیات احتمال مدت معاینه کمتر از 50 دقیقه باشد را بیابید. X=X1+X2+X3 • X1 ~EXP (1/20) • X2~EXP (1/20) • X3~EXP (1/20)

32. توزیعهای پیوسته هفته سوم توزیع نرمال

33. توزیعهای پیوسته هفته سوم توزیع نرمال

34. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع نرمال • مثال

35. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع نرمال • مثال:اگر تقاضا برای محصولی دارای توزیع نرمال با میانگین 25 و واریانس 9 باشد، نقطه سفارش مجدد را به گونه‌ای بیابید که کمبود فقط در 5% مواقع رخ دهد. • اگر به هنگام رسیدن تقاضا به 30 واحد سفارش خرید صادر شود فقط در 5% مواقع کمبود داریم.

36. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع لوگنرمال • متغیر تصادفی لوگنرمال همواره مثبت می باشد و اغلب برای مدلسازی فرآیندهای تصادفی مالی به کار می رود.

37. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع بتا

38. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع ویبول • متغیرهای تصادفی وایبول اغلب در مدلسازی فرآیند فرسودگی اجزا در تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می شوند.

39. توزیعهای پیوسته Where Z is a standard normal random variable, Y is a chi-square random variable with n degrees of freedom, and Z and Y are independent. X has T-Student distribution هفته سوم • توزیع تی استیودنت

40. توزیعهای پیوسته where V and W are independent chi-square random variables with the corresponding degrees of freedom n1,n2 X has F distribution with n1,n2 degrees of freedom. هفته سوم • توزیع فیشر

41. توزیعهای پیوسته هفته سوم • توزیع مثلثی • متغیر تصادفی توزیع مثلثی Xمقادیر موجود در بازه S=[a,c] را اختیار می کند. احتمال در زیربازه [a,b]به صورت خطی افزایش می یابد و در زیربازه [b,c]به صورت خطی کاهش می یابد. بنابراین تابع چگالی این متغیر دارای شکل مثلثی می باشد. توزیع مثلثی با نماد Tria(a,b,c) نشان می دهند و تابع چگالی آن به صورت زیر به دست می آید:

42. فرآیند پوآسون هفته سوم • تعريف: يك فرآيند پواسون داراي ويژگي هاي زير است: • پيشامدها به صورت تصادفي در نقاط خاصي از زمان/مكان رخ مي دهند. • احتمال اينكه دقيقا يك نتيجه از پيشامد مورد نظر در فاصله زماني/مكاني به طول به دست آيد برابر است كه در آن چنان است كه (متوسط تعداد نتايج بدست آمده در واحد زمان ثابت است) • احتمال اينكه پيشامد مورد نظر بيشتر از يك نتيجه در فاصله اي به طول داشته باشد برابر است. (احتمال به دست آوردن بيش از يك نتيجه در يك فاصله زماني كوچك قابل اغماض است) • به ازاي هر يك از اعداد صحيح مانند n و به ازاي هر مجموعه از زيرفاصله هاي ناسازگار j1،j2،... و jn اگر Ei پيشامدي باشد كه دقيقا ji عدد از پيشامد موردنظر در iامين زيرفاصله قرار مي گيرند، آنگاه Eiها مستقل از يكديگرند. (تعداد نتايج حاصله در زمان معيني مستقل از تعداد نتايج حاصله در دوره زماني ناسازگار با دوره قبلي است)

43. فرآیند پوآسون ورود به این صف دارای توزیع پواسون با نرخλp است p ورود دارای توزیع پواسون با نرخ λ است 1-p ورود به این صف دارای توزیع پواسون با نرخλ(1-p) است هفته سوم • نکاتی در توزیع پواسون

44. فرآیند پوآسون ورود دارای توزیع پواسون با نرخ λp است ورود به این فرآیند دارای توزیع پواسون با نرخλاست ورود دارای توزیع پواسون با نرخ λ(1-p) استت هفته سوم • نکاتی در توزیع پواسون

45. فرآیند پوآسون صفر پیروزی در فاصله زمانی صفر تا t هفته سوم • رابطه میان فرآیند پواسون و توزیع نمایی • اگر تعداد پیروزی ها در فاصله زمانی 0 تا t دارای توزیع پواسون باشد، می توان نشان داد که زمان رسیدن به اولین پیروزی دارای توزیع نمایی است. • اثبات:

46. توزیعهای تجربی هفته سوم هرگاه تعیین اینکه یک متغیر تصادفی دارای توزیع معلوم خاصی است ناممکن یا غیرضروری باشد از توزیع تجربی استفاده می شود. امتیاز توزیع معلوم در شبیه سازی امکان اصلاح پارامترها به منظور انجام تحلیل حساسیت است.