§1-3 Gram-Schmidt 正交化方法

1. §1-3 Gram-Schmidt正交化方法 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 引：我们知道：相互正交的向量一定是线性无关的， 但线性无关的向量却未必相互正交。 在实用中，常需要由一组线性无关的向量来构造出另一组相互规范正交的向量，且这两组向量具有相同的生成子空间。 这种构造过程可用 Gram-Schmidt正交化方法实现。下面介绍这种方法。简称G-S方法。 第 一 章 基 础 知 识

2. 一、标准G-S方法 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 1、二维向量组正交化： 如图 设二维向量： Þ 线性无关 （不一定正交） 规范正交 第 一 章 基 础 知 识 实现过程如下：

3. ①首先将 规范化，得单位向量： ②将 作正交分解，即 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 即 第 一 章 ③ 即 是 在 上投影！ 基 础 知 识

4. ④ 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 ⑤ 将 规范化，即 ⑥ 可验证： 证： 第 一 章 ？思考 证毕 基 础 知 识 就是 导出的平面上的规范正 交向量组。

5. 2、三维向量组正交化 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 ① ② ③ 第 一 章 基 础 知 识 ④ 可验证：

6. 3、 n 维向量组G-S正交化 过程： 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 ① 将向量 规范化 第 一 章 ② 对 i = 2,3,…,m 计算 基 础 知 识 (i) 对 j = 1,2,… , i-1 计算内积

7. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 （ii）计算第 i 个向量与前 j个向量 正交的向量 表示 在前 上投影 （iii） 将 规范化，计算

8. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 （iv） 可验证 规范化正交 上述 G-S 过程可用另一种表示方法： 用矩阵表示m个表达式.即

9. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 m 个式子用矩阵表示

10. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 其中 m阶上三角阵 由正交化系数形成！ G-S 方法最终结果！

11. 即G-S结果使 分解为 和 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 当 m＜n 时，不能说 为正交矩阵！ 当 m＜n 时，只能说 相互正交的列向量！ 当m=n 时， 是正交矩阵。 即 正交矩阵 也称为矩阵的QR分解------后面介绍 这也是 G-S 方法的结果。

12. 上三角阵 二、修正的G-S方法 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 思想方法→过程示意图→结果→与标准方法比较！ 结论：G-S法可使一组向量实现正交化， 其过程 即QR分解。 即 —正交规范阵 [R]-------由正交 化系数形成的上三角阵。

13. ★实践证明：当给定的向量组 G -S方法的缺陷 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 中有接近相互平行的向量时，即向量组中有几乎 线性相关的向量存在时，标准的G-S方法的数 值稳定性较差，所产生的向量组 可能并非正交向量组。 为了改进标准G-S方法的数值稳定性，就产生了所谓修正的G-S正交化的方法。 在理论上，修正方法与标准G-S是等价的，只有当存在舍入误差时（实际应用总是如此）两种方法才会产生差别。

14. 思想： 每当产生一个新的向量 后，所有的后 续向量 都要相应地改 变，消去其平行于 的分量，使得它们 必须正交于已产生的 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 具体过程如下： 1. 记 2. 对 ① 计算 的模 把 规范化,得到第 i 个 规范正交向量

15. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 若 i = m则过程结束,否则继续下列计算： ② 对 j = i+1 , i+2,…，m计算内积 即消去后续向量与 平行的分量 消去 中平行于 的分量，使 与 正交，即 以上过程， 向量的产生过程示意如下：

16. 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 i=1 与 正交！ i=2 与 正交！ 说明： 其中处于第i+1行上的向量 （j=i+1,i+2,m） 全都正交于已形成的 与 正交！

17. 阵 的广义内积，则所产生的向量组 是对 广义规范正交的向量组，即 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 本节最后强调指出： 只需将G-S方法过程中的“内积”改为对正定矩 因为在结构动力分析中经常用到对质量矩阵加权广义正交的向量组。

18. 小 结 第3节 Gram—Schmidt 正交化方法 1 标准G-S方法； 注意：两种方法区别！ 2 修正G-S方法； 作业：编制修正G-S通用程序, 自己 找算例验证。 思考: G-S方法的实际用途。