如果研究的问题具有动态演化特点，即任一个时刻的状态与前一个时刻的状态有关，则可通过前后状态关系建立数学模型。如果模型是研究状态本身演化特性，称为动态分析模型．

1. 第5章 微分方程模型 如果研究的问题具有动态演化特点，即任一个时刻的状态与前一个时刻的状态有关，则可通过前后状态关系建立数学模型。如果模型是研究状态本身演化特性，称为动态分析模型． 这类模型通常含有未知函数(状态演化函数)的导数或不同 “时点”关系或其累积效果关系． 含未知函数导数的方程称为微分方程；含未知函数两期以上关系的方程称为差分方程；含未知函数累计效应的方程为积分方程．

2. 微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法．微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法． 微元分析法是在微小的时间间隔内, 考查函数改变量的关系, 再让时间间隔无限小(微分)或取时间间隔为一个单位(差分)得到方程；最后给出考查初期所处状态, 得到含初始条件的微分 (差分) 方程模型。 微元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本质。 如果问题的定律或原理不十分清楚，仅知道某些增减关系，这时只能通过对问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提假设法．结果要进行检验．

3. 人口增长分析 我国现有人口13亿，若按年自然增长率1%增长，分析 我国不同时期人口状况. 2020年人口控制在16亿，增长率 应控制在是么范围？ 问 题 每一时刻人口数都与前一时刻人口数有关，是一个动态问 题。而且人口数的变化除与人口数有关外还与增长时间长 短有关,假设单位时间内单位人口可增加的人口数为常数， 人口总数很大，近似看成连续变化的，即时间间隔很小时 差别不大 分 析 基本假设：1.单位人口在单位时间增长的人口数保持不变,记为k； 2. 任一时刻人口增长仅与前一时刻人口数有关； 3. 不考虑战争等意外因素对人口变化的影响。 模型建立

4. [>rsolve({R(t+1)-1.01*R(t),R(2005)=13},R(t)); [>dsolve({diff(R(t),t)=k*R(t),R(2005)=13},R(t) );assign(%):subs (k=.01,R(t)); [>solve(subs(t=2020,R(t))=16.,k); 通解 R=Cek t特解 R=13ek(t-2005) 由16=13 ek(2020-2005)得 k=(ln16-ln13)/15

5. 湖水污染问题 某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20年前, 上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3，河水污染浓度达到了0.05 毫克/m3. 环保部门提出该工厂整改， 并拟处罚款。该厂辩称: 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖水污染问题作出分析。 湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关，有动态特征，建立动态数学模型。 分 析 符号：V湖水容量；Q河水流量；t考察问题的时刻。

6. 模型假设 1. 河水是湖水的唯一水源； 2. 湖水容量不变； 3. 河水进入湖中立刻与湖水充分混合； 4. 不考虑湖水河水的自净化作用； 5. 污染物全部溶解在河水、湖水中； 6. 不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响； 7. 污染物在河水、湖水中分布均匀. 建立模型

7. 模型求解

9. 模型二 (湖水净化模型) 若现在停止污染让湖水自然净化, 即v=0;u(0)=0.03, 代入前模型，得： 代入V,Q及u(t)=0.001,得净化时间 t=34(年) [>dsolve({diff(u(t),t)=(v-u(t))*M/V,u(0)=0},u(t));assign(%): [>fsolve(subs(M=10^11,V=10^12,v=0.05,u(t))=0.03),t=0..20); [>restart:dsolve({diff(u(t),t)=(.0025*t-u(t))*M/V,u(0)=0},u(t)); assign(%):fsolve(subs(M=10^11,V=10^12,u(t))=0.03,t=0..30); [>restart:dsolve({diff(u(t),t)=-u(t)*M/V,u(0)=0.03},u(t));assign(%): fsolve(subs(M=10^11,V=10^12,u(t))=0.001,t=10..100);

10. 污水处理分析 某厂拟修建生物治污水池，已知该微生物是依赖于污水中的污 染物生存，同时消耗分解污染物，试建立数学模型分析如何设计 水池合适？(污水中污染物浓度10－3～10－2克/m3，流量10m3/h,环 保要求5×10－4克/m3) 1. 微生物靠污水生存，而分解污染物，微生物增加，污染物 减少，污染物减少，又降低微生物生存能力，因此，当水池 容积一定时，微生物、污染物含量经一段时间后必然达到稳 定，稳定后污染物、微生物含量决定了污水治理效果。 故，应从微生物、污染物含量出发讨论水池容积与治理效果 关系。 问题分析 2. 任一时刻微生物、污染物含量显然与前一时刻含量有关，即任 一时刻状态与前一时刻状态有关，故问题是一个动态分析问题。 3. 污染浓度越高，微生物繁殖的就越快，分解掉的污染物速度也 就越快，即单位时间、单位微生物分解污染物的多少与污水浓度 正相关。微生物增加量也与污水浓度正相关。

11. 模型假设：1. 进出水流量保持不变，且从进水到出水经过较长时 间；(即池内微生物和污染物可以达到平衡) 2. 单位时间内，每单位微生物分解掉单位浓度污染物数量为常数 (记为k1)； 3. 单位时间内，每单位微生物在单位浓度污染物中繁殖数量为常 数(记为k2)； 4.单位时间内，每单位微生物中死亡的数量为常数(记为k3)。 符号：V容积；Q流量；a流进的污染物浓度。 建立模型

12. 这是一个非线性方程, 不易求解析解. 利用数学软件可以求数值解。这时需要通过实验，先确定几个比例系数。求出数值解，通过作图得变化曲线。实测： k1=0.1,k2=1.26,k3=10－5

13. 这个水池若按三米深建造，则需占地5000多m2。为了节约土地考虑能否建造多级生物降解池？这个水池若按三米深建造，则需占地5000多m2。为了节约土地考虑能否建造多级生物降解池？

14. 代入k1,k2,k3,a,Q，分别取u1=5×10－3，u2=5×10－4(环代入k1,k2,k3,a,Q，分别取u1=5×10－3，u2=5×10－4(环 保要求), 解得 V1=1590 m3，V2=1447 m3 如此以来大大节 约了占地面积。

15. 猪的饲养销售问题 设一品种猪的最大体重可达 200 kg.规定必须 75 kg 以上猪才可出售，售价为 6 元 / kg .在饲养过程中，已知最大饲养费为1.5元/天；初始重 5kg，饲养费 0.5 元/天，增长速度为0.5 kg /天。问该品种猪是否值得饲养？若值得饲养，饲养多长时间出售最佳？ 基本假设 1.猪的增长速度随体重 线性递减； 2.饲养费随猪的体重线 性增加。

16. 符号说明 g(t)为t时刻猪的体重； y(t)为t时刻饲养总费用； p为售价。 模型建立 根据假设 1, 有 根据假设 2, 有 数学模型

17. 模型求解 饲养条件： (1)y|g=75<6×75=450(元) (2) p·dg/dt≥dy/dt 由条件(2)得：6[a－b·g(t)]=c+d·g(t) 解得：g(t)=126.875 kg 解方程, 得 饲养时间：t=383(天)；总饲养费：y=330.57(元)

18. 其中 a，b，c，d 可由方程 和 解出 本例中如果假设猪的增长速度与体重成正比，其比例系数随 体重接近最大重量线性递减，则数学模型变为： 饲养条件： (1)y|g=75<6×75=450(元) (2) p·dg/dt≥dy/dt 由条件(2)得：6[a－b·g(t)]g(t)=c+d·g(t) 解得：g(t)=197. 55 kg

19. >dsolve({diff(g(t),t)=a-b*g(t),diff(y(t),t)=c+d*y(t),g(0)=5,y(0)=0},{g(t),>dsolve({diff(g(t),t)=a-b*g(t),diff(y(t),t)=c+d*y(t),g(0)=5,y(0)=0},{g(t), y(t)}); w:=simplify(subs(c=37/78,d=1/195.,a=20/39,b=1/390.,")); >subs(c=37/78,d=1/195.,a=20/39,b=1/390.,solve(6*(a-b*g(t))=c+d*g(t), g(t))); 126.8750000 > solve(-195.*exp(-.2564102564e-2*t)+200.=126.875,t); 382.5234087 >solve({5*(a-5*b)=.5,200*a-200^2*b=0},{a,b}):assign(%): >solve({c+5*d=.5,c+200*d=1.5},{c,d}):assign(%): >dsolve({diff(g(t),t)=a*g(t)-b*g(t)^2,g(0)=5},g(t)); dsolve({diff(y(t),t) =c-d*g(t),y(0)=0},y(t));

20. 市场供需关系分析 产品投放市场后，价格走向取决于市场供需关系。试就线性 供需价格关系建立数学模型进行分析。 1. 市场价格与市场供需关系有关，且价格低需求就大，供给方利润低，生产就少；生产少供给减少，价格上升，需求就会下降。任时刻需求供给都与前时刻状态有关，又影响后时刻状态，是动态问题。 2. 商品卖出并市场出清，则市场达到供需平衡。 问题分析 模型假设： 1. 市场需求与当期价格成现性关系； 2. 市场供给与上期价格成现性关系； 3. 当期产品当期出清，即市场供需平衡；

21. 模型建立 模型求解： >p=rsolve({b*P(t)+d*P(t-1)=a+c,P(0)=P0},P(t));

23. 根据市场供需价格模型以及它的变化特征，我们就可以考虑根据市场供需价格模型以及它的变化特征，我们就可以考虑 采取一些积极的价格政策。 >p=rsolve({b*P(t)+(d-e)*P(t-1)+eP(t-2)=a+c,P(0)=P0},P(t));

24. 经济增长分析 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以 增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产, 试建立数学模型分析这种关系。 问题分析 产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻 产出都与前一时刻产出状态有关，因此是一个动态问题。 关键是储蓄——投资——产出关系， 符号说明：记国民收入为Y(t) (产出), 消费为C(t), 储蓄为I(t), k为 边际资本产出比 (即单位边际产出所需资本) ；s 为边际储蓄倾向 (单位产出产生的储蓄)；1－s为边际消费倾向(单位产出用于消费 的量)； 基本假设：1. 产出增长率与资本投入成正比；2. 储蓄全部用于投 资；3. 消费、储蓄比例不变；4. 产出增长速度与储蓄成正比。

25. 建立模型： 上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余, 而实际上消费增加也会刺激投资(称为引致投资)，进而刺激生产。 假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济增长模型。

27. 方程特解为：

28. 生存竞争

29. 经济增长分析2 马克思将经济生产分为生产资料部类与消费资料部类两大部类。我国建国后提出了主要经济力量，全力发展重工业的发展战略. 建立数学模型分析两部类经济增长比例关系。 基本假设： 1. 二部类(生活资料)的终产品全部被消费； 2. 只考虑两种生产要素：资本Ki劳动力Li，并且两部类生产要素 可以自由流动，劳动力工资相同，工资总额为消费品产量； 3. 各部类资本与劳动力比值 Ki/Li =ai为常数(称资本强度)；劳动力与产量的比值 Li/xi=bi为常数 (称劳动力投入系数) ；资本与产量的比值 Ki/xi=aibi为常数(称资本投入系数)； 4. 劳动力以固定增长率 n 增长； 5. 资本变化速度等于第一部类(生产资料)产值x1； 6. 不考虑价格因素。 其他符号：L,K分别为总劳动力和总资本；W=x2 /L为工资率； 记 xi(t) 为i部类终产品.

30. 模型求解： a1=a2时，由L=L0ent >dsolve({diff(L(t),t)=n*L(t),L(0)=L0},L(t));

31. 解的说明：由x2>0，得 n<1/a1b1 。即当 a1=a2 时，要保证经济发 展，劳动力增长率不能超过资本产出率( 资本投入系数的倒数)。 这时，经济保持按比例均衡增长。 当 a1<>a2时，有方程得：

33. 结果分析： 1. 均衡增长(两部类比例不变)的充要条件是B1=B2=0，即 K0=a2L0/[1－(a1－a2)b1n]， K0、L0为初始值；或 a1=a2，n<1/a1b1 。 均衡增长解：xi=Aient； 2. 要保证各部类经济增长逐渐稳定在均衡增长解，则要a2>a1; 3. 要保持经济增长率与劳动力增长同步，则要 n>1/b1(a1－a2); 即随时间的推移，两部类的生产差距会不断拉大，形成严重 的比例失调。

35. 索洛经济增长模型 生产的产出(产值) Q 是随着生产投入单调增加的.生产投入在宏观上场分为资本K投入和劳动力L投入. 随着劳动力的不断增长，要充分解决劳动力就业并不断提高人们的生活水平，就需要不断扩大生产，而扩大生产又需要不断增加资本投入. 试就生产规模效益(产值)不变，边际产出递减, 劳动力按固定增长率增长,资本增长速度与产出成比例情况，讨论经济增长规律. 任一时刻劳动力增长，在保证就业的要求下，下一时刻必然劳动力投入增加. 投入增加，即生产规模增加,从而产出增加，进而资本也随之增加…… 这是一个动态演化过程.

36. 产出具有生产规模不变，且边际产出递减；即 基本假设 2. 资本、劳动力是不可缺少生产要素；即 Q(0,K)=0，Q(L,0)=0 3. 劳动力按固定增长率增长；即 4. 资本增长速度与产出成比例；即 模型建立 根据假设1，有 引进变量k=K/L，因为 再由假设4，得 代入假设3化简，得

37. 模型求解 微分方程定性图解法 在微分方程中，以未知函数导数为纵坐标，未知函数为横坐标作方程图形 (称相位图，方程中要不含自变量) .因该图形各点纵坐标为未知函数对应值的导数，由 导数意义知, 图形与横轴交点为均衡解, 横轴上方导数为正, 函数随自变量增加, 未知函数增加；反之减少.

38. k k 1. 均衡解 k=0 是不稳定解；当k>0时， ，k随时间增加，一旦资本、劳动投入，资本就不会消失. 2. 均衡解 k=k1是稳定解；当k>k1时， ，k随时间减少，当k<k1时， , k 随时间增加. 资本、劳动比值偏离均衡解k1时，系统会自动恢复到均衡状态k1. 通过相位图，可以直观求得微分方程的均衡解，并根据相位图可以得到均衡解的稳定性. 两线相减，得微分方程的相位图. 均衡解：k=0，k=k1 未知函数演化方向： k1 结果说明

39. 3. 当 时，则发生生产萎缩，该产品最终会退出生产.如图. 注意：这时 . k 4. 当生产技术条件发生改变时，即 Q=A(t)f (L,K), 时,因为 因此，仍存在稳定均衡解k2(如图),且k2>k1. k k1 k2 这时K=k1L，Q=Q(L,k1L)=Q(1,k1)L，资本、劳动力、产出均按比例均衡增长，称之为稳定状态. 即生产技术水平提高后，资本、劳动比会发生一定改变. 但经过一段时间仍会恢复到稳定状态，在新的稳定状态下整个生产的资本、劳动比(资本有机构成)将增加.

40. 微分方程、差分方程求解 利用Maple 求解 >dsolve({微分方程及初始条件},{未知函数});

41. 差分 差分性质 差分方程 含未知函数差分或不同期函数关系的等式(方程). 其中未知函数差分的最高阶数或最大期差称为方程阶数. 如 yn+1=2yn-1，y0=3 (y0=3为初始条件) 如果存在函数 y=f(x) (或f(x,c),c为任意常数 ) 使得方程成为恒等式，则称之为差分方程的解，任意常数个数等于方程阶数为通解 . 满足初始条件的解为特解 .

42. 利用Maple 求解 >rsolve({差分方程及初始条件},{未知函数});

43. 由方程解可知，随t－t0取奇数偶数，价格在上下波动。当 b<d时，波 动会越来越大，价格不稳定；当b=d时，价格周期波动；当b>d时， 波动会越来越小，并且趋向于(a+c)/(b+d)，称之为均衡价格或稳定价 格。b、d分别为需求、供给的价格系数，故也称为价格敏感系数。