Ekvivalenciák nyitott mondatok között

1. Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá . Másképp ugyanaz: két nyitott mondat ekvivalens, hha a szabad változókat nevekkel helyettesítve ekvivalens mondatokat kapunk. Például: (1) S(x) P(x)  P(x )  S(x) Általában, ha egy kijelentéslogikai (tautologikus)ekvivalenciában a mondatok (mondatbetűk) helyére nyitott mondatokat helyettesítünk, ekvivalens nyitott mondatokat kapunk. Helyettesítés elve: Ha egy A(B) mondaton belül a B részmondatot a vele ekvivalens C mondattal helyettesítünk, az új, A(C) mondat ekvivalens lesz A(B)-vel.

2. A helyettesítés elvével kapjuk (1)-ből a következő FO elvivalenciát: x(S(x) P(x))  x(P(x )  S(x)) Ez a kvantifikált kontrapozíció szabálya. Hasonlóan kaphatjuk meg a kategorikus állítások különböző formalizálásainak ekvivalenciáját (felhasználva a kvantifikációs De Morgan-szabályokat is, l. a szeptember 20.-i diákat). Pl. egyetemes állító (a): x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x))

3. Szétoszthatók-e a kvantorok egy konjunkció vagy diszjunkció tagjaira? x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x) De x(P(x)  Q(x)) nem ekvivalens azzal, hogy xP(x)  xQ(x) !!! x(P(x)  Q(x)) xP(x)  xQ(x) De x(P(x)  Q(x)) nem ekvivalens azzal, hogy xP(x)  xQ(x) !!! És ha P(x) helyett egy P zárt mondatot veszünk? Akkor minden esetben lehetséges a szétosztás: x(P  Q(x))  P  xQ(x) x(P  Q(x))  P  xQ(x) Kondicionális és kvantifikáció kapcsolata? Legyen P megint zárt mondat. P xQ(x)  x(PQ(x)) PxQ(x) x(P  Q(x)) xQ(x) P x(Q(x) P) xQ(x)  P  x(Q(x) P) HF: 10.24-10.29 Végén ismételni! Vagy akár olyan nyitott mondat, amelyben x nem fordul elő szabadon

4. Jelentésposztulátumok A blokknyelvben vannak olyan logikai igazságok, amelyek nem FO igazságok . Ezeket hívtuk úgy, hogy a blokknyelv analitikus igazságai. Pl. (BackOf(a, b)  BackOf(b, c))  BackOf(a,c) Hasonlóan a köznyelvben: Ha a nagyobb, mint b és b nagyobb, mint c, akkor a nagyobb, mint c. Vannak olyan érvényes következtetések a blokknyelvben, amelyek nem FO érvényesek. BackOf(a, b) SameRow(b, c) BackOf(a, c) Az ilyen következtetések általában átalakíthatók FO érvényes következtetéssé úgy, hogy a premisszákhoz hozzávaszünk egy vagy több, a szereplő predikátumok jelentésén alapuló logikai (analitikus) igazságot. Az ilyen pótpremisszákat hívjuk – Carnap nyomán – jelentésposztulátumoknak. A blokknyelvben mindig!

5. Többszörös kvantifikáció xy(x+y = y+x) Minden gyerek minden játékot kipróbál. x (x gyerek  x minden játékot kipróbál) x( x gyerek y ( y játék  x kipróbálja y-t)) x( G(x) y ( J(y)  K(x, y)) xy ( G(x)  ( J(y)  K(x, y)) xy ( (G(x)  J(y))  K(x, y)) yx ( (G(x)  J(y))  K(x, y)) Van, aki szeret valakit. x(x szeret valakit) xyS(x, y) Van, akit szeret valaki. y(y-t szereti valaki) yxS(x, y)

6. Biztos? Mindenki kezet fogott mindenkivel. xy(x kezet fogott y-nal) Ugyanez a probléma egy másik példán: Cantor’s World, Cantor’s Sentences. Az érdekesebb kérdés: különböző kvantorok. (1*)Minden ember elolvas egy könyvet. FOL-ra fordításnál mindig kívülről befelé haladunk, és leggyakraban az arisztotelészi típusokat tudjuk használni.. Első lépés: ez egy a típusú kijelentés. x(x ember  x elolvas egy könyvet) Második lépés: az utótag tekinthető i típusú kijelentésnek. x(E(x)  y(K(y)  O(x,y))) Az egzisztenciális kvantor „kihozható” (a múlt órán szerepelt egyik ekvivalencia miatt) (1’) xy (E(x)  (K(y)  O(x,y)))

7. Most lényeges a kvantorok sorrendje! Egyszerűsítsünk: Mindenki olvas valamit. xyO(x,y) (2) És mit jelent ‘yxO(x,y)’? (3) y(y-t mindenki olvassa) Van, amit mindenki olvas. Mi a logikai viszony a kettő között? (3)-ból következik (2), de fordítva nem. Mi a szerkezete a ‘Van, aki mindent elolvas’ mondatnak? xyO(x,y) És mit jelent ‘yxO(x,y)’?