《天体物理中的辐射机制》

研究生课程 《天体物理中的辐射机制》授课教师：吴学兵（北大天文系） http://vega.bac.pku.edu.cn/~wuxb/radiation.htm 2013.12.23

12月23日复习题 1、产生原子发射线的主要机制有哪几种？试列举出哪些谱线是有哪种机制产生的？ 2、何为碰撞激发？自由电子在等离子体中主要起哪三种作用？ 3、H和O元素丰度相差三个量级，但发射线强度却相近。请问是何原因？ 4、何为选择定则？H原子的主要选择定则是什么？ 5、是否所有满足偶极辐射选择定则的允许跃迁都有相同的跃迁概率？光谱学中经常用什么量来代替跃迁概率？ 6、写出比偶极辐射更精确的跃迁概率公式。当偶极矩辐射为零时是否还会发生能级跃迁？ 7、何为禁戒跃迁和禁线？产生禁戒跃迁的主要原因是什么？天体物理中常见的禁线有哪些？写出你所知道的禁线的波长。 8、写出碰撞激发截面的量级近似表示式。碰撞激发截面是否大于轫致辐射截面和复合辐射截面？什么情况下碰撞激发机制变得不重要？ 9、由哪些离子的禁线强度比可确定电子温度？由哪些离子的禁线强度比可确定电子密度？理由是什么？ 10、如果观测到的[OII]或[SII]双禁线的强度比接近1.5, 说明什么？若强度比大致为0.3，则说明什么？写出利用[OIII]禁线相对强度计算电子温度的公式。

七、碰撞激发 主要参考：尤峻汉书第8章 Frank Shu书第24、26、27章 Rybicki & Lightman书第9 、 10章

七、碰撞激发(collisional excitation) 对原子、分子谱线的频率、强度、宽度及轮廓等的测量，可以了解天体的化学成分和物理状态(如温度、密度、速度等)。复合-级联跃迁可产生原子发射线(如H和He+)的Balmer线系，但其它发射谱线，如观测到的各种离子的禁线(如O++离子(或记为[OIII])的两条禁线(N1:5007A;N2:4959A)，无法用复合过程解释。

理由： 1、O++离子电离能为54.5eV, 欲使其光致电离再产生复合线，附近需有温度高达百万度的强紫外辐射源 2、He+的电离能为54.2eV, 它与O++离子的再电离需要吸收同一波段的紫外辐射。若O++离子的N1和N2禁线为复合线，因一般He原子丰度远高于O原子，两禁线强度不应超过He+线。但实测表明，在许多情况下，O++离子的N1和N2禁线强度为最强，可几乎无He+线。除光致电离-复合机制外，一定存在其它产生原子发射线的机制！(电子碰撞激发；共振荧光)

碰撞激发:当等离子体中的自由电子和原子(或离子)碰撞时，引起原子的激发，产生谱线发射。此辐射消耗自由电子的动能，也是等离子体中重要的冷却过程之一。碰撞激发:当等离子体中的自由电子和原子(或离子)碰撞时，引起原子的激发，产生谱线发射。此辐射消耗自由电子的动能，也是等离子体中重要的冷却过程之一。等离子体中自由电子的能量来自于周围恒星(或其它天体如AGN)的紫外辐射。(如热的O、B型恒星表面和AGN有效温度超过30000K，大量产生紫外辐射)。紫外光子被等离子体中的原子、离子吸收，引起光致电离。同时把超过原子电离能的多余能量传递给被打出的电子，成为自由电子的动能。

O 型星 B型星

自由电子在等离子体中的作用： 1、自由电子间频繁碰撞导致建立电子气的平衡态速度分布(Maxwell分布)，温度约10000K。由于电子间库仑力为长程力，电子间碰撞截面远大于其它过程的截面，故电子的平衡分布先于其它过程而迅速建立。 2、自由电子和离子相遇，产生轫致辐射和复合辐射。 3、自由电子和离子的非弹性碰撞，引起离子(或原子)的激发，产生辐射---电子碰撞激发。

许多离子在可见光波段的禁线发射，即由电子的碰撞激发过程产生的。如[NII]6583A(N+离子在红光波段), [OII] 3727A (O+在紫光波段)，[OIII]4959, 5007A (O++ 在绿光波段)禁线等。 [OIII]的N1和N2禁线的激发能量很低(2.5eV)，即亚稳态是低受激态。对T=10000K的电子气，平均动能kT~1eV, 可与激发能比较。因此相当多的电子都有足够的能量来激发这些能级，产生[OIII]禁线。由于允许线跃迁的激发态能量通常比基态高许多，电子无法实现碰撞激发。如中性H和He的最初几个激发态能量已很高(约10-20eV)，只有极少电子能激发这些原子(MgI4751A允许线例外，激发能仅2.7eV)。

因此，常常对同一星云/AGN同时观测到明亮的允许线(如H，H等)和明亮的禁线(如[OIII]4959, 5007双线)，但发射线产生机制完全不同。前者来自复合-级联过程，后者来自电子碰撞激发。 H和O元素丰度相差三个量级，但发射线强度相近。原因在于复合截面很小( )，比碰撞激发截面小近三个量级。

1、选择定则 (selection rules) 并非任何一对原子能级之间的辐射跃迁都是可能的。偶级近似下从给定初态i到终态f 的自发辐射跃迁概率为：其中是玻尔频率，是偶级矩阵元。当，则偶级辐射跃迁if 就不可能实现。对给定原子，从一切跃迁中选出真有可能实现的跃迁的法则称为选择定则。

H原子光谱的选择定则 • 由SchrÖdinger方程可得H原子的定态波函数为：利用上式可计算偶级矩矩阵元，且只需求坐标矩阵元即可。由于算子r具有奇宇称(parity)(对原点作空间反演时改变符号)，当初终两态波函数宇称相同时，积分等于0。因此，具有相同宇称的两个态间的跃迁是禁戒的(拉波特法则, Laporte’s rule)。对H原子的电子波函数，其宇称由轨道量子数l 确定。l为偶数时，态具有偶宇称；l为奇数时，态具有奇宇称。即宇称性由量(-1)l 决定。

关于轨道角量子数l 的选择定则是： 即初终两态的轨道量子数只能相差1才可使坐标矩阵元不为0。此限制比拉波特法则更严。关于磁量子数m的选择定则是：主量子数n的改变可以任意，不受任何选择定则的限制。

复杂原子的选择定则 • H原子的选择定则也可用于碱金属光谱(如Li, Na, K, … )。常见的一类重要跃迁是初终两态都只有一个松弛地束缚在外层轨道上的价电子，其余电子未受扰动。因此可看成有一价电子和一离子实构成的类H系统，价电子的跃迁可应用H原子的选择定则。 • 对其它复杂原子，以上选择定则不适用，但对偶级辐射有以下选择定则成立(Condon & Shortley 1963)： • 原子中总的轨道量子数L： • 总自旋角量子数S： • 总角量子数J(J=L+S)： • 投影量子数：：

在复杂原子偶级跃迁过程中，电子组态会改变，必有一电子发生的跃迁。该电子必须遵从以下选择定则：在复杂原子偶级跃迁过程中，电子组态会改变，必有一电子发生的跃迁。该电子必须遵从以下选择定则：复杂原子也有类似H原子的拉波特法则，即跃迁过程中，初终两态的宇称必须改变。对复杂原子，宇称是，其中代表第i个电子的轨道角量子数。

振子强度求和定则 • 所有满足偶级辐射选择定则的允许跃迁并不具有相同的跃迁概率。 • 从if的跃迁概率Aif可用吸收振子强度表示，即：而，对于能级有简并的情况，则与平均振子强度有联系：是能级的权重，是能级的权重。

在的情况下，，故及 为正数，称为吸收振子强度。当，或为负数，称为发射振子强度。对给定能级，若，则吸收振子强度与发射振子强度一般不相等，二者关系为：由振子强度即可确定跃迁概率，因此光谱学中常用振子强度代替跃迁概率。光谱学中经常用到振子强度求和定则。它不仅可用来从一组相对值中确定绝对振子强度值，也可用来检验测量与理论的内部自恰性，还可用来给出原子跃迁行为的一般性结论。

几个最常见的求和规则： (1)、Thomas-Reiche-Kuhn求和定则对任何原子都成立，不论耦合方式如何。若原子中电子数为Z，由状态跃迁的振子强度记为，将其对所有终态f 求和，有：此即Thomas-Reiche-Kuhn求和定则。Z为原子中电子数。由于吸收振子强度，而发射振子强度，故对于由特定态i到所有终态f 的跃迁，吸收跃迁占优势(因Z>0)。

(2)、Wigner-Kirkwood求和定则 此为关于H原子平均振子强度的求和定则。若初态i属H原子能级，终态f 属能级，则平均振子强度为：其中是初态i 的简并度(权重)。将改写为， Wigner-Kirkwood求和定则为：

对所有的跃迁，发射跃迁(即n’<n)占据优势，因第一个和式为负值，而发射振子强度对所有的跃迁，发射跃迁(即n’<n)占据优势，因第一个和式为负值，而发射振子强度。对，则n’>n的吸收跃迁占优势(因吸收振子强度 )。可将以上求和定则改写为：第一个和式代表所有发射振子强度和(为负)，第二个和式代表所有吸收振子强度和(为正)。

(3)、对可近似采用L-S耦和的多电子原子的求和法则(3)、对可近似采用L-S耦和的多电子原子的求和法则 L-S耦合: 价电子库仑能>>自旋轨道相互作用能从给定态nLJM到n’L’(J’M’可不同)的各子能级，与不考虑自旋的理论中由nLMLn’L’各子能级(不同ML’)的总跃迁概率相等，即：可见，任一个精细结构能级的寿命与总量子数J,M无关，且与不考虑自旋的理论结果相同。同样，激发跃迁概率也与量子数J,M无关。故从能级nLJ(对M求和)到具有相同n’L’但有各种J’M’值的所有子能级的跃迁的所有谱线的总强度正比于初始能级的权重(2J+1)。

对复杂原子，振子强度计算较困难。但对H原子可准确给出。已知H原子的径向波函数是缔和拉盖尔多项式，代入径向积分：对复杂原子，振子强度计算较困难。但对H原子可准确给出。已知H原子的径向波函数是缔和拉盖尔多项式，代入径向积分：对莱曼(Lyman)线系(1SnP)的计算结果为：式中是玻尔半径。由此得到Lyman系的平均振子强度：因此，Lyman系nP1S的跃迁概率为：每个nP电子产生Lyman线的发射功率为：

对H原子的允许跃迁，有如下一般性结论 (Bethe & Salpeter 1957)： 1、对给定主量子数n, n’，如n, n’足够大，有以下很精确的近似公式： 2、频率最小时，成为最大。但n’n的辐射跃迁概率却与频率成正比，。如对4P1S,2S,3S三个允许跃迁，振子强度比为1:3.5:16, 但跃迁概率比却为23:3:1。

由此可知：由初态nl产生的一切可能辐射跃迁中，到最低能态( ；若不违反选择定则)的跃迁概率最大。而由n,l到基态1,0的级联跃迁过程的最可能形式是经过l次辐射跃迁到达基态(因每步跃迁都要求 )，其中每步跃迁都以尽可能大的“跨度”(即主量子数改变尽可能大)实现。

关于电四极矩(electric quadrapole)和磁偶级矩 • (magnetic dipole)辐射的选择定则求偶级辐射选择定则时用到的跃迁概率公式只是近似公式。即在矢势中令。即假定在原子范围内矢势均匀，与位置无关。若作更高阶近似，则可得到更精确的跃迁概率公式，它将包含磁偶级辐射和电四极矩辐射的贡献。实际上，外场不一定是平面偏振波，其泰勒展开的一般形式有：

式中等是矢量r的分量，表示A的i分量, 脚标0表示在r=0处的值，重复指标代表求和。将矢势表达式代入微扰算符，可得更精确的跃迁概率公式：右边第一项即电偶级矩的跃迁概率公式，第二项代表磁偶级辐射的跃迁概率，第三项即电四级矩跃迁概率公式，电四级矩算符为：

可见对于给定态i和f，即使偶级矩阵元 =0(即在偶级近似下是禁戒的)，仍可能实现if 的跃迁，这种小的跃迁概率来自磁偶级矩和电四极矩的贡献。电四极矩辐射的选择定则：关于总角量子数J：关于磁量子数(投影量子数)MJ：关于总轨道量子数L：关于总自旋量子数S：可发生或不发生单电子跃迁，单电子跃迁nln’l’中，须遵守选择定则：宇称不变，偶(奇)宇称偶(奇)宇称。

磁偶极矩辐射的选择定则： 磁偶极跃迁中，电子组态不会改变，即没有一个电子的主量子数n和角量子数l会改变，磁偶极跃迁中，宇称也不会改变。磁偶极跃迁只发生在具有相同宇称、相同电子组态、相同L和S值的两态之间。因两态的能量差很小，频率很小。故一般磁偶极跃迁的概率很小。

各种跃迁的选择定则 以上选择定则只对L-S耦合(价电子库仑能>>自旋轨道相互作用能)才适用。但有些情况，如O++离子跃迁，虽属磁偶级辐射，但破坏了其选择定则，因为它不是纯粹L-S耦合，S不是很好的量子数。

补充知识：光谱学中通常用l, j, s来表示一个电子的角动量量子数，用L，J，S表示整个原子中电子的总角动量量子数。对单电子的轨道量子数l =0,1,2,3… 的能级分别用s,p,d,f,… 等小写字母来表示，对整个原子中电子的总轨道角量子数L取值不同的能级，可用相应的大写字母表示： L=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … S P D F G H I K L M N O P … 光谱学中用下列符号代表一个原子态： 2S+1代表L态的字母J 如2P3/2和2P1/2分别代表L=1、S=1/2和J分别等于3/2、1/2的两个态，左上标2表明它们是二重态。

2、禁线 (forbidden lines) 原子光谱学中，凡破坏了偶极矩辐射的选择定则的跃迁称为禁戒跃迁，这种跃迁产生的谱线称为禁线。禁戒跃迁成为可能的主要原因是电四极矩和磁偶级矩跃迁的作用(尽管概率很小)。此外，自由原子受到外场作用或受到原子核扰动，也会破坏偶级辐射的选择定则，产生禁戒跃迁。若原子处在低激发态上，偶级辐射的选择定则禁止其自发跃迁到基态，只能靠电四极矩或磁偶级矩作用完成一跃迁，结果是原子会长久停留在这些低激发态上。这些激发态称为亚稳态。

以上为等离子体中常见的一些离子的最低能级组态。虚线表示禁戒跃迁，虚线上方能级即亚稳态能级。如OIII离子，低受激态能级和基态有相同电子组态(6个电子， )，故的电偶级辐射跃迁是禁戒的，但与电四极矩辐射的选择定则相容(除被破坏)，产生[OIII]双线(5007A和4959A)。

可见，具有相同电子组态的两种离子，如[OII]和[SII]，[OIII]和[NII]，分别有相似的能级结构。可见，具有相同电子组态的两种离子，如[OII]和[SII]，[OIII]和[NII]，分别有相似的能级结构。实验室里观测不到禁线，因处在亚稳态的原子会停留很长时间才自发跃迁到低能级上；且原子在停留于亚稳态的长时间中，会由于碰撞退激发而无辐射地回到低能态。而在天体物理条件下，如星云与星际气体中，等离子体密度非常低，以致碰撞退激发的时标可接近甚至高于亚稳态寿命，故亚稳态原子有足够时间完成电四极矩和磁偶极矩跃迁而辐射禁线。由于气云质量巨大，观测到的禁线常常非常明亮。

在天体物理中，比较重要的禁线有： [OIII]的绿光双线，5007A和4959A（靠近H_beta:4861A） [NII]的红光双线，6548A和6583A(靠近H_alpha:6563A) [SII]的红光双线，6716A和6731A(很难分辨) [OII]的紫光双线，3726A和3729A(不可分辨)

另一比较重要的禁线是中性H原子(HI)的21cm射电谱线。另一比较重要的禁线是中性H原子(HI)的21cm射电谱线。产生21cm(frequency = 1420.4 MHz)辐射跃迁的原因： H原子基态由于质子、电子的磁矩相互作用而分裂，两个能级间隔极小(~6eV)，其间的跃迁违背电偶极矩的选择定则。这一跃迁是磁偶级矩跃迁，跃迁概率仅为。由于银河系中性H的绝对数量极大，才导致21cm禁线有足够的强度。 M83 Dark matter traced by rotation curve FAST科学目标

宇宙第一缕曙光探测（21CMA 国家天文台武向平院士）追溯宇宙演化的长河，随着130亿年前大爆炸的余晖逐渐散去，宇宙曾经经历过一段漫长的黑暗时期。忽然有一天，在宇宙的深处，诞生了宇宙中的第一代发光天体，这些天体的光芒逐步照亮了整个宇宙，从此给我们的宇宙带来了蓬勃的生机。人们今天所能观测到的最远宇宙“边界”是大爆炸遗留下的余晖。在这些余晖冷却下来后，宇宙中主要的物质成份是暗物质、中性的氢和氦。虽然此时没有恒星的形成，但处于基态的中性氢由于自身电子和核自旋取向的不同形成了一个微小的能级差别：百万分之六电子伏特，对应光子频率1420兆赫兹或波长21厘米。所以，人们曾天真地期望黑暗时代的宇宙在21厘米是可观测的。然而，微弱的中性氢21厘米辐射很不幸地淹没在了宇宙大爆炸的余晖中，除非存在一种机制破坏中性氢21厘米辐射和宇宙大爆炸背景辐射之间的平衡 ─ 这种机制就是来自宇宙中第一代发光天体的诞生! 当宇宙中诞生的第一批恒星发射的光芒照亮了宇宙，周围的中性氢就会被电离，从而中性氢21厘米辐射与宇宙背景辐射的平衡被破坏了，我们就会真正观测到来自宇宙黑暗时代中性氢的辐射，反过来则可间接探测到宇宙中诞生的第一批发光天体并描绘出宇宙从黑暗走向光明的整个过程和第一代恒星诞生的全部历史。由于宇宙的膨胀，发生在宇宙黑暗时代的21厘米辐射波长已经被拉伸到了米波波段，这正是电视台和调频广播的波段，所以，强大的人为干扰使得难以在地球上寻找到一片电波环境宁静的净土。同时，来自遥远宇宙的中性氢辐射温度仅相当于百分之几度的光源，这给寻找宇宙第一缕曙光的工作带来了相当大的挑战。。。。。。

3、碰撞激发过程的谱线发射系数 设原子从能级m自发跃迁到能级n的概率是Amn，在激发能级m上的原子(离子)数密度是Nm，则谱线发射率(亦称谱线发射系数)为：在多数天体物理情况下，系统常远离局部热动平衡状态，故不能用Boltzmann公式定粒子数Nm，只能根据稳定条件下进入和离开能级m的离子数相等来考虑。

对一简单的两能级(n,m)系统，用表示单位时间单位体积中因与自由电子碰撞而进入能级m的粒子数，称为碰撞激发速率系数。用和对一简单的两能级(n,m)系统，用表示单位时间单位体积中因与自由电子碰撞而进入能级m的粒子数，称为碰撞激发速率系数。用和分别表示因碰撞和因自发辐射而从能级m跃迁到n的粒子数，称为碰撞退激发速率系数。平衡条件下，有如下统计平衡方程：由此得到：上式适用的前提是假定辐射场能密度很低，可略去受迫跃迁的影响，且只考虑电子碰撞而略去离子碰撞作用。

在电子密度Ne很大的极限情况下，，故 但Ne很大时，碰撞作用远超过辐射，频繁的碰撞使气体迅速建立热平衡分布，从而有Boltzmann公式：由此得到：在两极端情况下的谱线发射率为：表示情况，此时粒子有热平衡分布。表示。不同密度Ne，jL值可不相同。根据谱线强度分析，可得到自由电子密度Ne。

4、电子碰撞激发截面和碰撞强度 当速度为v的电子以瞄准距离b入射时，它在离子近旁的库仑力作用时间，故电子动量改变为：粗略认为电子碰撞后静止，电子碰撞前后的能量损失为：此能量可无辐射地转移给离子，使其激发或电离。由上式可估计速度为v的电子能量转移的截面的量级为：

式中为H原子玻尔半径，是H原子基态电离能(13.6eV)。并用到关系式。上式实际也给出了截面和H原子几何截面的比较。式中为H原子玻尔半径，是H原子基态电离能(13.6eV)。并用到关系式。上式实际也给出了截面和H原子几何截面的比较。若转移能量恰为离子的nm的跃迁能量，，则上式给出的即为电子碰撞激发截面的量级。它表明，碰撞激发截面很大，可与H原子几何截面( )比较，比复合过程的截面( )大二至三个量级。因此对那些丰度很小的重元素，碰撞激发是产生发射线的重要机制。定量计算碰撞激发截面相当复杂。

考虑速度为v的电子以瞄准距离b入射，与离子发生非弹性碰撞，使原子由态i 跃迁到f 。这一跃迁的微分散射截面可写成：即表示微分散射截面与环形几何截面之比。碰撞激发(或退激发)截面应为：  由定义可见， (对所有给定b值)。由于入射电子的角动量Le为：故：

因此入射电子瞄准距离b的改变db具有量子化特性，碰撞激发截面的积分公式应改为求和形式。由于有心力场中的电子轨道角量子数le 的变化必须满足，此公式可化为：定义部分碰撞强度和总碰撞强度的概念：

假如初态i属能级En, 终态f 属能级Em, 一般En, Em都是简并的，简并度分别记为gn, gm, 则总的碰撞激发截面(或退激发截面)应将上式对所有简并态求和再除以初能级En的简并度，得到：用H原子几何截面表示截面，注意玻尔半径，有：其中是关于能级En, Em的总碰撞强度。

以上碰撞激发截面公式表示的是从能级En的某一特定态激发到能级Em所有态的平均碰撞激发截面。因此，计算截面关键是求碰撞强度和总碰撞强度。以上碰撞激发截面公式表示的是从能级En的某一特定态激发到能级Em所有态的平均碰撞激发截面。因此，计算截面关键是求碰撞强度和总碰撞强度。关于的计算需求助于量子力学微扰论，较为复杂。但将上式与前面给出的简单估计值相比较，可得：其中。可见，能级间隔越大，激发截面越小，这与直观预测相符。

对碰撞激发截面公式的补充说明： (1)、粗略地说，与入射电子的动能成反比， (因对电子速度的依赖不显著)。可见，低速电子碰撞激发比高速电子更有效。这和直观预期一致，因为低速电子在原子近旁停留更久，有效作用时间更长。 (2)、但当电子速度过低，以致动能不足以产生激发，即。这时碰撞激发截面应为0。故截面公式的完整形式应为：

(3)、严格地说，上式只适用于中性原子。对正离子，即使电子速度低于阈值，即，截面(3)、严格地说，上式只适用于中性原子。对正离子，即使电子速度低于阈值，即，截面仍为有限值，。这是由于尽管电子入射速度较小，但到达正离子近旁将会受到库仑引力作用而加速，致使动能增大到阈值以上。从截面公式可求出碰撞激发(或退激发)速率系数：式中是速度阈值，。若电子速度为Maxwell分布，

可得到速率系数为： 其中是电子动能。实际上并不显著依赖于电子速度v(或动能EK)，可引入平均碰撞强度，定义为：则所求速率系数公式为：其中。

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