Spojení a průnik podprostorů

1. Spojení a průnik podprostorů

2. Podprostor vektorového prostoru V • v1, v2, …, vm jsou vektory vektorového prostoru V • v1, v2, …, vm jsou generátory vektorového prostoru W • W je podprostor V

3. Průnik dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W U  W = {pV: pU pW }

4. Spojení dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů s, které se dají zapsat ve tvaru s = u + w, kde uUwW U + W = {sV: s = u + w, uUwW }

5. U, W jsou podprostory vektorového prostoru V Potom průnik UW a spojení U + W jsou také podprostory ve V dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U W)  

6. Příklad Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány podprostory W1 (generovaný vektory u1, u2) a W2 (generovaný vektory v1, v2), kde u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (2, 3, 2, 1), v1 = (2, 3, 2, 3), v2 = (1, 1, 1, 2). Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W1, resp. W2, resp. W1 + W2, resp. W1W2.

7. dim W1 = 2 bází W1 jsou vektory u1, u2 • dim W2 = 2 bází W2 jsou vektory v1, v2

8. dimenze a báze W1 + W2 (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (2, 3, 2, 1) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 1) (2, 3, 2, 2) (0, 1, 0, 3) (0, 0, 0, 2) (1, 1, 1, 2) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 2) dim (W1 + W2) = 3 bází W1 + W2 jsou např. vektory u1, u2, v1

9. dimenze W1 W2 dim (W1W2) = dim W1 + dim W2 – dim (W1+ W2) dim (W1W2) = 2 + 2 – 3 = 1

10. báze W1 W2 xW1W2 libovolný, potom je: x = a1u1 + a2u2 = a3v1 + a4v2 a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)

11. a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2) a1 + 2a2 = 2a3 + a4a1 + 3a2 = 3a3 + a4a1 + 2a2 = 2a3 + a4 a2 = 2a3 + 2a4 volíme a4 = tx = (–t, –2t, –2t, –t) báze je např. (1, 2, 2, 1)

12. Vektorový prostor se skalárním součinem

13. Skalární součin vektorůu, v u = (u1, u2, ..., un) , v = (v1, v2, ..., vn) k= u1 v1 + u2 v2 + …. +un vnkR

14. Vlastnosti skalárního součinu • u = (1, 2, –1, 0) uu = 12 + 22 + (–1)2 + 02 uu 0 a uu = 0 u = o • u = (1, 2, –1, 0), v = (2, –1, 0, 7) uv = 1.2 + 2.(–1) + (–1).0 + 0.7 = 0 Je-li uv = 0, nemusí být u = o nebo v = o

15. (uv)wu(vw) • u = (1, 2, 3)v = (1, 1, 1) w = (0, 1, 2) • uv = 1 + 2 + 3 = 6 • vw = 0 + 1 + 2 = 3 • (uv)w = 6.(0, 1, 2) = (0, 6, 12) • u(vw) = (1, 2, 3).3 = (3, 6, 9)

16. Velikost vektoru v v = 1jednotkový (normovaný) vektor

17. Spočítejte velikost vektoru • u = (1, 2, 1) u = 6 • v = (–1, –1, –1) v = 3 • udejte příklad vektoru dimenze 3, jehož velikost je 1

18. jednotkový vektor v0 u = (1, 1, 1) u = 3

19. u, v vektoryaR a.v = a.v

20. Schwarzova nerovnost

21. úhel vektorůu, v v intervalu existuje jediné číslo 

22. u a v  jsou kolmé (ortogonální)u vuv = 0 • Nulový vektor je kolmý ke všem vektorům z vektorového prostoru se skalárním součinem (v.o = 0). • Nenulový vektor nemůže být kolmý sám k sobě (uu > 0). • Nulový vektor je jediný, který je kolmý sám k sobě.

23. Jsou zadané vektory ortogonální? • (1, 2, 3) a (1, 1, –1) Ano • (2, 3, –2) a (1, –1, 3) Ne

24. ortogonální systém vektorů • v1, v2, …, vn jsou vektory z vektorového prostoru se skalárním součinem • vivj pro ij, kde i, j = 1, 2, …, n • tedy vi.vj = 0 pro všechna ij

25. Tvoří vektory u1, u2, u3ortogonální systém vektorů? u1 = (2, 1, –1) u2 = (1, –2, 0) u3 = (2, 1, 5) (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

26. Nenulové vektory každého ortogonálního systému jsou lineárně nezávislé.

27. Ortogonální báze Ortogonální systém, který obsahuje n nenulových vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

28. Příklady ortogonálních bází • Dva vektory v rovině, které jsou na sebe kolmé (v geometrickém slova smyslu) • Tři vektory v prostoru, které jsou navzájem kolmé • Kanonická báze vektorového prostoru

29. Gram – Schmidtův ortogonalizační proces Z každé báze ve vektorovém prostoru se skalárním součinem V lze vytvořit ortogonální bázi.

30. Ortogonalizujte bázi v1 = (2, 1, –1), v2 = (5, 0, –2), v3 = (2, –4, 6) Jedná se skutečně o bázi? (2, 1, –1) (2, 1, –1) (2, 1, –1)(5, 0, –2)  (0, –5, 1)  (0, –5, 1)(2, –4, 6) (0, –5, 5) (0, 0, 4) Vektory v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi třírozměrného vektorového prostoru.

31. Hledanou ortogonální bázi označíme u1, u2, u3 • Položíme u1= v1 tedy u1 = (2, 1, –1) • u2 = a1u1 + v2 u2u1 = a1u1u1+ v2 u1 0 = 6a1 + 12 a1 = –2 u2 = (1, –2, 0)

32. u3 = b1u1 + b2u2 + v3 • u3u1 = b1u1u1 + b2u2u1 + v3 u1 0= 6b1+ 0 – 6 b1= 1 • u3u2 = b1u1u2 + b2u2u2 + v3 u2 0= 0 + 5b2+ 10 b2= –2 • u3 = (2, 1, 5)

33. Tvoří vektory u1, u2, u3ortogonální bázi? • (2, 1, –1) (2, 1, –1) (1, –2, 0)  (0, 5, –1) (2, 1, 5) (0, 0, 6) • (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

34. Ortonormální systém vektorů • je ortogonální • každý její vektor je normovaný

35. Ortonormální báze Ortonormální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

36. ortogonální množina  ortonormální báze • každý vektor uivydělímejeho velikostí • nulový vektor vynecháme

37. ortogonální množina může obsahovat nulový vektor • ortonormální množina nemůže obsahovat nulový vektor • ortogonální množina je lineárně nezávislá pouze tehdy, když neobsahuje nulový vektor • ortonormální množina je vždy lineárně nezávislá

38. Ortonormální báze • Kanonická báze • Báze (2, 2, –1), (2, –1, 2), (–1, 2, 2) není ortonormální (je ortogonální) • Ortonormální báze vznikne, jestliže každý vektor báze vydělíme jeho velikostí: ⅓(2, 2, –1), ⅓(2, –1, 2), ⅓(–1, 2, 2)