1 / 22

Wykład 7

Wykład 7. Rachunek predykatów. Funkcje zdaniowe.

Download Presentation

Wykład 7

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Wykład 7 Rachunek predykatów Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  2. Funkcje zdaniowe Niech X.Funkcją zdaniową jednej zmiennej x, której zakresem zmienności jest przestrzeń X, nazywamy wyrażenie f(x), w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce zmiennej x wstawimy dowolny obiekt ze zbioru X. Każda funkcja zdaniowa wyznacza pewien podzbiór (pewna własność) przestrzeni, w której została określona. Przestrzeń X może sama być produktem kartezjańskim X1... Xn. Wtedy zmienna x przyjmuje jako wartości elementy tego produktu. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z funkcją zdaniową n argumentową. Przykładx+x2>0 , x Z n+1 < 2, n  N|x| 3 , x R x2 + y2 >0, (x,y) R2 Uwaga Funkcja zdaniowa f(x),jednej zmiennej x, jest po prostu funkcją f : X --> {0,1} taką, że dla dowolnego xX, f(x) jest zdaniem w sensie rachunku zdań. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  3. Predykaty złożone Funkcje zdaniowe (inaczej predykaty) można łączyć spójnikami logicznymi. Powstają w ten sposób nowe, złożone funkcje zdaniowe. Przykłady złożonych predykatów: (a(x) b(x)) , (a(x) b(x)) , (a(x)  b(x)),  b(x) ((x-3=0)  (x+y <4))  (y < 1) Jeśli po wstawieniu w miejsce zmiennej x elementu a X w predykacie a (x) określonym w pewnym zbiorze X otrzymujemy zdanie prawdziwe, to mówimy, że a spełnia funkcję zdaniowąa (x). Ogół tych wartości x X dla których funkcja zdaniowa a (x) jest spełniona oznaczamy przez {xX: a (x) }. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  4. Spełnianie Element a X spełnia funkcję zdaniową (a(x)  b(x)) wttw a spełnia a(x) lub a spełnia b(x). Fakt 1 {x X : (a(x)  b(x))} = {x X : a(x)}  {x X : b(x)} Element a X spełnia funkcję zdaniową (a(x)  b(x)) wttw a spełnia a(x) i a spełnia b(x). Fakt 2 {x X : (a(x)  b(x))} = {x X : a(x)}  {x X : b(x)} Element a X spełnia funkcję zdaniową a(x) wttw a nie spełnia a(x). Fakt 3 {x X : a(x) } = X \{x X : a(x)} Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  5. Wolne wystąpienie y związane wystąpienie y Kwantyfikatory Kwantyfikator egzystencjalny (szczegółowy) istnieje x takie, że a(x) Kwantyfikator wiąże wymienioną zmienną (x)a(x) a(x) jest zakresem kwantyfikatora szczegółowego lub ogólnego. Zmienna x będąca w zakresie kwantyfikatora wiążącego tę zmienną jest zmienną związaną Przykład (x)( x+y<6  x*y>0) (x) (y)(a(x) b(y)) (x) a(x,y)(y) b(y) (x)a(x) Kwantyfikator uniwersalny (ogólny) dla każdego x, a(x) Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  6. Spełnianie Niech a(x) będzie predykatem określonym w pewnym zbiorze X. Zdanie (x)a(x) jest prawdziwe w X wttw istnieje element a X , który spełnia funkcję zdaniową a(x). Zdanie (x)a(x) jest prawdziwe w X wttw każdy element a spełnia funkcje zdaniową a(x). Zdanie (x)a(x) jest prawdziwe w X wttw {xX : a(x) } . Zdanie ( x)a(x) jest prawdziwe w X wttw {xX : a(x) }= X. Wnioski (x)a(x) jest zdaniem fałszywym wttw {xX : a(x) }= . ( x)a(x) jest zdaniem fałszywym wttw {xX : a(x) }  X. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  7. Przykład Przykład Rozważmy funkcję zdaniową (x+2)*(x-3)<0 w zbiorze liczb rzeczywistych R. Ponieważ 2 spełnia tę funkcję a liczba 3 nie spełnia tej funkcji, to (x) ((x+2)*(x-3)<0) jest zdaniem prawdziwym, a ( x) ( (x+2)*(x-3)<0) jest zdaniem fałszywym. Uogólnienie Niech (x)a(x,y) będzie funkcją zdaniową o zmiennych wolnych x X, yY. Wtedy (x)a(x,y) oraz (x)a(x,y) są funkcjami zdaniowymi zmiennych wolnych yY. Element y Y spełnia funkcję zdaniową ( x)a(x,y) wttw dla dowolnego a X, a(a,y) jest zdaniem prawdziwym. Element y Y spełnia funkcję zdaniową (x)a(x,y) wttw istnieje takie a X, że a(a,y) jest zdaniem prawdziwym. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  8. Operacje logiczne a kwantyfikatory Jeśli X jest zb. skończonym o elementach a1,a2,...an, a a(x) predykatem określonym w zbiorze X, to prawdziwa jest następująca równoważność (x)a(x)  (a(a1)a(a2) ...  a(an) ) Kwantyfikator szczegółowy można uważać za uogólnienie alternatywy. Jeśli X ={a1,a2,...an}, a a(x) predykatem określonym w zbiorze X, to prawdziwa jest następująca równoważność (x)a(x)  (a(a1) a(a2) ...  a(an) ) Kwantyfikator ogólny można uważać za uogólnienie koniunkcji. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  9. Działania uogólnione a kwantyfikatory Niech A={ Ai }iI będzie indeksowaną rodziną podzbiorów pewnej przestrzeni X.  iIAi= {x: x Aj dla pewnego j  I}  iIAi= {x: x  Aj dla każdego j  I} Suma uogólniona Iloczyn uogólniony Rozważmy funkcję zdaniową 2 zmiennych a (x,y), x  X, y  Y.  yY {x  X : a (x,y)} = {x  X : (y) a (x,y)}  yY{x  X : a (x,y)}= {x  X : (y) a (x,y)} Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  10. Kwantyfikatory ograniczone Kwantyfikator o zakresie ograniczonym przez funkcję zdaniową Przykład Warunek Cauchy’ego ciąg (an) jest zbieżny do liczby a wttw dla każdego e>0 istnieje liczba naturalna n0 taka, że dla każdego n>n0 |an -a | < e. Notacja : (b(x)) a(x) ( b(x)) a(x) ciąg (an) jest zbieżny do a wttw ( e>0 ) ( n0N) ( n>n0) |an -a | < e (b(x)) a(x) jestprawdziwe wttw (x)(b(x)a(x)) jest prawdziwe. ( b(x)) a(x) jestprawdziwe wttw ( x)(b(x)a(x)) jest prawdziwe. ciąg (an) jest zbieżny do a wttw (e)(e>0  ( n0)(n0N (n)(n>n0 |an -a | < e ) )) Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  11. Język rachunku predykatów Niech V0 będzie zbiorem zmiennych zdaniowych, V- zbiorem zmiennych indywiduowych, P-zbiorem nazw relacji, F-zbiorem nazw funkcji. Termy + Formuły Zbiór formuł jest to najmniejszy zbiór wyrażeń zawierających V0 i taki, że - jeśli r jest nazwą relacji n argum., a t1,...,tn są termami, to r(t1,...,tn) jest formułą, - jeśli a i b są formułami, to a , (a), (a), (a), (a), są formułami, - jeśli a(x) jest formułą ze zmienną wolną x, to (x)a(x) i (x)a(x) są formułami. Zbiór termów jest to najmniejszy zbiór zawierający V i taki, że jeśli f jest nazwą funkcji n argumentowej a t1,...,tn termami, to f(t1,...,tn) jest termem. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  12. Semantyka Jak policzyć wartość tego wyrażenia? x + y = s(x,y) Aby określić sens formuły rachunku funkcyjnego potrzeba: Czyli ustalić strukturę danych STR i wartościowanie v Ustalić interpretację symboli funkcyjnych i predykatywnych oraz wybrać wartości dla zmiennych. STR, v |= a(x) b(x) wttw STR, v |= a(x) lub STR, v |= b(x) STR, v |= a(x) b(x) wttw STR, v |= a(x) i STR, v |= b(x) STR, v |= (x)a(x) wttwSTR, v(x/a) |= a(x) dla wszystkich a STR STR, v |= ( x)a(x) wttwSTR, v(x/a) |= a(x) dla pewnego a STR Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  13. * + z/ 3 x/ 3 y/5 Przykład (x+y) * z (1) N, (x/1,y/3) |= (x + y >2 ) Zatem mamy też N |= ( x) ( y) (x + y >2 ) oraz N |= (z) ( x) ( y) (x + y >z ) (2) Stosy |= (e) (s) top(pop(push(e, s))) = top(s) Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  14. Tautologie DefinicjaFormułę rachunku funkcyjnego nazywamy tautologią(lub prawem rachunku funkcyjnego), jeżeli jej wartością jest prawda, niezależnie od wartości zmiennych oraz interpretacji symboli relacyjnych i funkcyjnych w niej występujących. Przykłady. (x)a(x)  a (y ) (x)a(x)  (y) a(y) a (x)  a (x) (*) (x)a(x)  (x)a (x) Lemat Dowód (*) Gdyby ta implikacja była fałszywa przy pewnej interpretacji formuły a(x) w niepustym uniwersum X, wtedy byłoby {xX: a(x) }=Xoraz {xX: a(x)}= . Czyli X=  , sprzeczność. Jeśli a jest prawem rachunku zdań, to podstawiając za zmienne zdaniowe występujące w a, dowolne formuły rachunku funkcyjnego otrzymujemy tautologię rachunku predykatów. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  15. Przykłady tautologii Oznaczenie Zamiast „a jest tautologią rachunku funkcyjnego” piszemy krótko |=a . Następujące formuły są prawami rachunku predykatów (są tautologiami) (1) ((x)a(x))  ((x) a (x) ) prawa de Morgana (2) ((x)a(x))  (( x) a (x) ) (3) (x)(a(x) b(x))((x)a(x)  (x) b(x)) (4) (x) (y) a(x,y) (y)(x) a(x,y) (5) (x)(a(x) b) ((x)a(x) b ) o ile zmienna x nie występuje w b prawo włączania i wyłączania kwantyfikatorów Np.: ((x)(x2>x+1)  ((x) (x2>x+1) ) jest zdaniem prawdziwym w R Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  16. Reguły wnioskowania Reguły dowodzenia (reguły wnioskowania) są to przekształcenia postaci przesłanki a1, a2, ... , an b wniosek które pewnemu skończonemu zbiorowi formuł (formuł) 1,..., n, przyporządkowują formułę , w taki sposób, że dla dowolnej struktury danych STR takiej, że STR |= 1... n, to STR |= b (tzn. wniosek też jest zdaniem prawdziwym w strukturze STR). Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  17. ,   a(x) (x)a(x) (*) (a(x)) ((x)a(x)  ) x nie występuje w b Przykłady reguł Ad (*) Przypuśćmy, że (1) STR |= (a(x))oraz (2) nie zachodzi STR |= ((x)a(x)  ).Wtedy z (2) dla pewnego wartościowania v mamy STR,v |= (x)a(x) STR,v |= b . Czyli dla pewnego a STR, STR,v(x/a) |= a(x) STR,v(x/a) |= b . Tzn. STR,v(x/a) |= (a(x))Sprzeczność z (1). Reguła odrywania Wniosek To są poprawne reguły wnioskowania w rachunku predykatów Reguła uogólniania Reguła dołączania kwantyfikatora egzystencjalnego Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  18. Zastosowanie Niech będzie rodzina podzbiorów zbioru X, ( Ai) iI oraz funkcja f : X  Y. Udowodnimy, że f( Ai)  f(Ai). Dowód: 1. y  f( Ai) na mocy def. obrazu funkcji2. (x X)( x  Ai  f(x)=y) z def. iloczynu uogólnionego3. (x X) ((i I) x Ai  f(x)=y) z prawa włączania- wyłączania 4. (x X)(i I) (x Ai  f(x)=y) cz. przemienność kwantyfik.5. (i I)(x X)(x Ai  f(x)=y) z def. obrazu funkcji6. (i I)y  f(Ai) z def. iloczynu uogólnionego7. y  f(Ai) f( Ai)  f(Ai) Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  19. Implikacja semantyczna Niech STR będzie ustaloną strukturą danych, w której interpretujemy rozważane formuły. Będziemy pisali (  ) dla oznaczenia, że wyrażenie  implikuje semantycznie w strukturze STR wyrażenie , tzn. () wttw STR | (  ) (tzn. implikacja    jest prawdziwa w strukturze STR). Będziemy pisali (  ) dla oznaczenia, że wyrażenie  jest semantycznie równoważne wyrażeniu  w strukturze STR, tzn. (  ) wttw STR | (  ). W poprzednim przykładzie: 1  2  3  4  5  6  7 Czyli 1  7. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  20. Zastosowanie Rozważmy program { z:= x; y :=1; m := n; while (m  0) { if odd(m) { y := y * z; } m := m div 2; z := z * z; }} zm* y = xn zm* y = xn Odd(m)  (z * z)mdiv 2* (y * z) = xn lub Odd(m)  (z * z)mdiv 2* y = xn WniosekDla dowolnych xR i nN, po wykonaniu programu mamy y = xn . zm* y = xn zm* y = xn oraz m=0 Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  21. System formalny + Semantyka Aksjomaty Reguły Formuły prawdziwe Formuły dowodliwe = Pełność rachunku logicznego |= a wtedy i tylko wtedy |- a dla dowolnej formuły rozważanego języka. Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

  22. Problemy NIESPRZECZNOŚĆ ZUPEŁNOŚĆ ROZSTRZYGALNOŚĆ w8 Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK

More Related