1 / 14

POLINOMSKA INTERPOLACIJA

POLINOMSKA INTERPOLACIJA. Interpolacioni polinom:. Interpolacioni zahtevi:. - polinom stepena ne većeg od n sa osobinom . Greška interpolacije: . Interpolacioni polinomi: - za neekvidistantne čvorove

meredith
Download Presentation

POLINOMSKA INTERPOLACIJA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. POLINOMSKA INTERPOLACIJA

  2. Interpolacioni polinom: Interpolacioni zahtevi:

  3. - polinom stepena ne većeg od n sa osobinom Greška interpolacije: Interpolacioni polinomi: - za neekvidistantne čvorove - za ekvidistantne čvorove 1. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM

  4. 2. NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM ZA NEEKVIDISTANTNE ČVOROVE Podeljene razlike: , ( prvog reda u čvoru ) , ( k-tog reda u čvoru ) Lema ( veza podeljenih razlika i vrednosti funkcije ): Npr. ( Dokaz leme možete pogledati na strani 121 )

  5. Teorema 1.: Neka je funkcija definisana na segmentu . Dalje neka su različite tačke segmenta . Polinom stepena n kojim se funkcija f interpolira u čvorovima je Osobine podeljenih razlika: 1. 2. Podeljena razlika je simetrična funkcija čvorova, što znači da redosled čvorova nije važan Oblik Njutnovog polinoma:

  6. Poredeći ovu jednakost sa (1), za dobijamo Dokaz: Razmotrimo grešku interpolacije Lagranžovim interpolacionim polinomom stepena k tj. Razmotrimo razliku (1) Razlika je polinom stepena k+1, čije su nule čvorovi jer je . Zbog toga je (2) Ako poslednju jednakost napišemo za i uzmemo u obzir da je dobićemo

  7. (3) Iz (2) i (3) sledi da je Iz jednakosti sledi da je

  8. OCENA GREŠKE POLINOMSKE INTERPOLACIJE (T1) Teorema 2.: Neka segment sadrži svih n+1 čvorova interpolacije . Neka je, dalje . Tada, za proizvoljno , postoji takvo da je

  9. Dokaz: Neka je proizvoljan ali fiksiran element i gde je K konstanta određena tako da je . Za tako izabranu konstantu K funkcija g ima n+2 nule na segmentu . Rolova teorema nam daje: - ima bar n+1 nulu na segmentu - ima bar n+2 nule na segmentu ... - ima bar jednu nulu na segmentu - postoji takvo da je tj. odakle je za neko . Iz prethodnog sledi da je

  10. KONAČNE RAZLIKE Definicija: Ako i , onda je konačna razlika prvog reda u tački x. Konačne razlike višeg reda: Ako je onda je Veza između podeljenih i konačnih razlika Lema: Neka je . Tada je za

  11. Pretpostavimo da je za neko m<n. Dokaz: Tada je Njutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne čvorove smena:

  12. Prema tome je: Inverzna interpolacija Zadatak: rešavanje po x jednačine f(x)=y ako je data tabelarno 1. f je monotona: postoji i može se aproksimirati npr. Lagranžovim interpolacionim polinomom:

  13. Takođe, 2. f nije monotona: (alg. jedn. n - tog stepena) Čvorovi ekvidistantni

More Related