Análisis de Covarianza

1. Análisis de Covarianza

2. Contenido • Introducción • Objetivos del análisis de covarianza • Suposiciones básicas para el análisis de covarianza • Modelos y análisis de covarianza • Cómo hacer el análisis de covarianza • Ejemplos

3. Introducción • El análisis de covarianza es una de las técnicas usadas para reducir el error experimental, y con ello poder detectar diferencias entre tratamientos.

4. Introducción • Es frecuente encontrar que al realizar experimentos con alimentos, los resultados de una característica determinada (variable estudiada Y) se vean afectados por la variación en otra de las características (X), la cual se puede medir, pero no se puede controlar experimentalmente.

5. Introducción • Una covariable (X) es una medición o característica de cada unidad experimental, la cual se supone independiente de los tratamientos, y se conoce que está relacionada con la medición de interés (Y). • Cuando varía X, se espera un cambio o variación de Y; este cambio afectará el efecto de los tratamientos sobre Y.

6. Objetivos del análisis de covarianza • Los usos mas frecuentes del análisis de covarianza son: • Para aumentar la precisión de los experimentos. • Para remover el efecto de variables que afectan estudios observacionales. • Para dar mayor información sobre la naturaleza de los tratamientos. • Para ajustar regresiones en modelos de clasificación múltiple. • Para corregir por observaciones perdidas.

7. Objetivos del análisis de covarianza • Aumento de precisión de los experimentos. • La ganancia en precisión experimental dependerá de la relación entre X y Y. • Si s2ε es el error experimental, el uso de la covarianza lo reducirá en: • S2ε(1- r2) [1 + (glerror - 2)-1] • donde: • r es el coeficiente de correlación entre X y Y. • glerror son los grados de libertad del error (s2ε).

8. Objetivos del análisis de covarianza • Aumento de precisión de los experimentos. • Cuando el error experimental se reduce, se logra un aumento en la precisión del experimento. Esto sucederá si la correlación entre X y Y es mayor que 0.3 aproximadamente.

9. Objetivos del análisis de covarianza • Remoción del efecto de variables adicionales que afectan la respuesta de interés. • En un estudio, se compararon 7 variedades de frijol tépari con relación a su contenido en hierro soluble. El contenido de hierro soluble depende del hierro total presente, así como de la presencia de factores inhibidores, tales como los fosfatos. • Mediante un análisis de covarianza se puede estimar, si las variedades cambian en el contenido de hierro soluble per se, o el cambio en hierro soluble se debe a las diferentes concentraciones de inhibidores, como los fosfatos.

10. Objetivos del análisis de covarianza • Obtener mayor información sobre la naturaleza de los tratamientos. • Si las diferencias entre tratamientos desaparecen después de ajustar por covarianza, o si cambian de algún modo, esto sugerirá al investigador que las diferencias entre tratamientos pueden proceder de las diferencias entre los promedios de X, no de las diferencias en respuesta (Y).

11. Objetivos del análisis de covarianza • Ajuste de regresiones en modelos de clasificación múltiple. • El análisis de covarianza nos puede servir para conocer si las pendientes de regresión de diferentes factores son homogéneas (paralelas). • Corrección por observaciones perdidas. • El Andecova permite ajustar las sumas de cuadrados del Andeva por observaciones perdidas en el caso de diseños en bloques al azar o en cuadro latino.

12. MODELO DE COVARIANZA • El modelo lineal para el análisis de covarianza, dependerá del diseño experimental empleado, de la estructura de los tratamientos y del número de covariables considerado. • El caso más sencillo es el de un diseño Completamente al Azar, con r repeticiones por tratamiento, con una estructura de tratamientos simple, de t tratamientos, y con una covariable (X).

13. MODELO DE COVARIANZA • i=1,2,...,t ; j=1,2,...r. • Donde: • Yij : Observación ij-ésima de la variable respuesta Y • μ : Promedio general de Y • i : Efecto del tratamiento i-ésimo • ß : Coeficiente de regresión entre X y Y • Xij : Observación ij-ésima de la covariable X • XM: Promedio general de la covariable X • εij : Error aleatorio de la observación ij-ésima.

14. SUPOSICIONES BASICAS • Las suposiciones básicas del modelo son: • 1. El modelo es el verdadero, lineal en sus parámetros. • 2. La covariable está medida sin error. • 3. La relación entre la variable respuesta (Y), y la covariable (X), no cambia con los tratamientos. • 4. La variable Y tiene distribución aproximadamente normal • 5. Los errores aleatorios son independientes, con media igual a 0 y varianza σ2 (error).

15. SUPOSICIONES BASICAS • La suposición que hay que confirmar generalmente es la tercera, ya que si los tratamientos afectan la relación entre X y Y, el modelo de covarianza no es el adecuado.

16. CALCULO DEL ANDECOVA • El análisis de covarianza se hará siguiendo los siguientes pasos: • 1. Agrupe los datos según se puede ver en el Cuadro I. • 2. Calcule las Sumas de Cuadrados para Y y para X como si fueran dos análisis de varianza separados. • SC (TOTAL)YY = ΣΣ Yij2 - (Y2../rt) = TYY • 3. Calcule las Sumas de Productos Cruzados de X y Y, como en el análisis de regresión: • SP(TRAT)XY = (Y1.*X1.+Y2.*X2.+...+Yt.*Xt.)/r - [(Y..)*(X..)/rt]

17. REP Trat. 1 Trat.1 Trat. 2 Trat 2 . . Trat t Trat. t CALCULO DEL ANDECOVA 1 X11 Y11 X21 Y21 . . X11 Y 2 X12 Y12 X22 Y22 . . Xt2 Yt2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . r X1r Y1r X2r Y2r . . Xtr Ytr Subt. Trat X1. Y1. X2. Y2. . . Xt. Yt.

18. CALCULO DEL ANDECOVA • 4. Use la siguiente notación para ordenar sus cálculos: • Tyy : Suma de Cuadrados Total de Y. • Txx : Suma de Cuadrados Total de X. • Txy : Suma de Productos Cruzados Total de X por Y. • Tryy : Suma de Cuadrados de Tratamientos de Y. • Trxx : Suma de Cuadrados de Tratamientos de X. • Trxy: Suma de Productos Cruzados De Tratamientos. • Eyy : Suma de Cuadrados del Error de Y. • Exx : Suma de Cuadrados del Error de X. • Exy : Suma de Productos Cruzados del Error. • 5. Arme el cuadro de Análisis de Covarianza (ANDECOVA), como se muestra en siguiente cuadro.

19. Fuente Gl Suma de Cuadrados CALCULO DEL ANDECOVA XX XY YY Tratam. t-1 TRXX TRXY TRYY Error t(r-1) EXX EXY EYY Suma TRXX + EXX TRXY + EXY TRYY + EYY Total TXX TXY TYY

20. CALCULO DEL ANDECOVA • 6. Haga los siguientes cálculos: • SCEC = EYY - EXY2/EXX • SCTC = (TRYY+EYY) - (TRXY+EXY)2/(TRXX+EXX)] • SCTRC = SCTC -SCEC • 7. Arme el cuadro final de ANDECOVA como sigue:

21. FUENTE GL SC CM F CALCULO DEL ANDECOVA TRAT t-1 SCTRC CMTRC CMTRC/CMEC REGRESION 1 (EXY)2/EXX CMREG CMREG/CMEC ERROR t(r-1)-1 SCEC CMEC .

22. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA • Las pruebas de hipótesis de interés son dos: • a. No existe regresión entre X y Y, o sea Ho: ß =0. Esta hipótesis se prueba con el estadístico • F = CMREG /CMEC. • Si F es mayor que Fα,{1,(t(r-1)-1)}, entonces la regresión entre X y Y es significativa, y el análisis de covarianza probará ser eficiente.

23. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA • b. Hay diferencias entre tratamientos: • Ho: τ1=τ2=...=τt • Esta hipótesis se probará con el estadístico • F = CMTRC/CMEC. • Si F es mayor que Fα,{(t-1),[t(r-1)-1]}, las diferencias entre tratamientos serán significativas.

24. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA • Tanto si hay diferencias significativas o no, cuando la regresión fue significativa, los promedios de los tratamiento se deberán ajustar por los cambios que ocurren en la covariable para cada tratamiento.

25. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA • La estimación de las medias ajustadas de Y es: Donde Yi : Promedio ajustado por covarianza del i-ésimo tratamiento; Yi : Promedio del i-ésimo tratamiento. b = EXY/EXX : Estimación del coeficiente de regresión (ß); Xi : Promedio de X del i-ésimo tratamiento X.. : Promedio general de las X's.

26. PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA • Para hacer comparaciones de promedios ajustados, se deberán comparar todos los pares de promedios de tratamientos, ya que la desviación estándar de la media de un tratamiento ajustado, es diferente de la que se usa para el análisis de varianza. (Ver Steel y Torrie, pág 406). • Los paquetes computacionales de estadística, como el JMP, hacen el análisis de covarianza en forma más sencilla.

27. EJEMPLO • En un experimento se compararon 11 variedades de habas por su contenido en ácido ascórbico (en microgramos por gramo de muestra). • Por experiencias previas se sabe que el grado de madurez afecta el contenido de ácido ascórbico. • Se midió el porcentaje de materia seca, como un índice indirecto del grado de madurez.

28. EJEMPLO • Para poder comparar las diferentes variedades hay que realizar un análisis de covarianza de estos datos, de forma de corregir el contenido de AA por el grado de madurez de las plantas. • La relación entre la materia seca y el ácido ascórbico es inversa, o sea, a mayor % de materia seca, menor contenido de AA.

29. Ejemplo

30. EJEMPLO 2 • El diseño experimental empleado fue de bloques completos al azar, con 11 variedades y tres repeticiones. • El modelo propuesto para el análisis es: 

31. EJEMPLO Se verá el ejemplo usando el JMP.

32. DISCUSION DE USOS DEL ANDECOVA • Proponga ejemplos de uso del análisis de covarianza • Cuál de las aplicaciones del ANDECOVA le parece más útil en las investigaciones en alimentos. • Uso de mediciones iniciales como covariables, al analizar mediciones finales. • Cambios en los promedios estimados de Y, y cómo se realizan las pruebas de comparación múltiple de medias.

33. Resumen • Qué es el ANDECOVA • Objetivos del ANDECOVA • Usos más frecuentes • Modelo y análisis de datos • Pruebas de hipótesis en el ANDECOVA • ANDECOVA con JMP