Probability Review

Probability Review Week 3

Principles of Probability مبادئ الاحتمالات الاحتمال .. كلمة للتعبير عن حدث بذاته غير مؤكد الحدوث

تعاريفBasic Definitions • التجربة العشوائية (Random Experiment) التجربة التي تكون جميع نتائجها معلومة ولكن لا يمكن لأحد التنبؤ بحدوث هذه النتائج مسبقا مثال (1): رمي قطعة نقود مرة واحدة نتائجها الممكنة : ظهور الصورة أو ظهور الكتابة

Basic Definitions (cont.) • فراغ العينة (Sample Space) المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية ويرمز لها (S) • كل نتيجة تسمى : نقطة عينة • مثال (1) : S={H,T} حيث: الصورة H = الكتابة = T

Basic Definitions (cont.) • الحدث (Event) • تكون الحادثة A وقعت اذا ظهر في التجربة واحد اواكثر من النتائج المحتملة للتجربة • مثال (1): • الحادثة A تمثل ظهور صورة : A= {H} • الحالات المتنافية : استحالة وقوع حادثتين في نفس الوقت

Example • احسبي الحوادث التالية وعدد عناصر كل منها للتجربة: رمي قطعة نقود مرتين.. حيث } الحصول على صورة Hفي الرمية الأولى A={ } الحصول على كتابة T في الرمية الأولى B={ } الحصول على صورة واحدة على الأقلC={

Answer • S={HH,HT,TH,TT} • A={HH,HT} n(A)=2 • B={TH,TT} n(B)=2 • C={HH,HT,TH} n(c)=3

العمليات على الحوادث • الاتحاد A B • التقاطع A B • الحادثة المكملة A C

Random Variables & Probability Distributions

الاحتمـــال Probability P(A)= n(A)= عدد عناصر الحادثة A = n(S)عدد عناصر فراغ العينة S مثال(1) : ما هو احتمال حدوث ظهور صورة في كلا الرميتين؟ A={HH}  n(A)=1 P(A)= 1/4 n(A) n(S)

المتغير العشوائي Random Variable • هو قيمة عددية تعرف على نقاط فراغ العينة الناتجة عن تجربة عشوائية • الغرض منه : تسهيل التعامل مع التجارب العشوائية • مثـــال (1): فراغ العينة لرمي قطعة النقود : S={HH,HT,TH,TT} نعرف المتغير العشوائيX =عدد الصور الظاهرة فيكون: X({HH})=2 , X({HT})=1 , X({TH})=1 X({TT})=0 القيم الممكنة للمتغير العشوائي: x=0,1,2

Probability distributionالتوزيع الاحتمالي • هو وضع جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مع احتمالاتها في جدول او دالة : f(x)=p(X=x), ∀x تسمى دالة التوزيع الاحتمالي(Probability Distribution Function) أو دالة الكتلة الاحتمالية (Probability Mass Function)

مثال (1) • دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X =عدد الصور الظاهرة: خواصها: • تتراوح قيمها بين (0-1) • مجموع الدالة الاحتمالية=1

Cumulative Distribution Functionدالة التوزيع التراكمي f(x)=p(X<=x) F(0)=P(X<=0)=1/4 F(1)=P(X<=1)=3/4 F(2)=P(X<=2)=4/4 =1

Expected Value of a Random Variableتوقع المتغير العشوائي • المتوسط أو القيمة المتوقعة للمتغير هي תاوE(X) E(X)=Ƹxi.f(xi) (i=1…n)

Variance of a Random Variableتبايـــن المتغير العشوائي V(X)=E(X²)-[E(X)] ²

Special Discrete Probability Distributions:بعض التوزيعات الاحتمالية المتقطعة الخاصة • Discrete Uniform Distribution • Poisson Distribution

Discrete Uniform Distributionالتوزيع المنتظم المتقطع • هو توزيع لمتغير عشوائي X قيمه احتمالات متساوية f(x1)=f(x2)=……=f(xn) f(x)=1/n • Variance of a Random Variable = V(X)=E(X²)-[E(X)] ² • Expected Value of a Random Variable = E(X)=Ƹxi.f(xi) (i=1…n)

مثال • رمي مكعب متزن مرقم على من (1-6) , عرف المتغير العشوائي X =الرقم الظاهر في الأعلى Random value: 1,2,…..,6 f(x)=1/6 E(X)=1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 +6*1/6 = 21/6 V(X)= 91/6 – (21/6)² = 105/36

ℷˣ x! Poisson Distributionتوزيع بواسون • هو توزيع متغير عشوائي يمثل عدد الأحداث التي تحدث في فترة زمنية أو مكانية محددة • f(x)= • E(X)=ℷ • V(X)= ℷ -ℷ e

مثـــال اذا كان متوسط وصول السفن الى احد الموانئ سفينتان في اليوم . أوجد احتمال ان تصل 3 سفن لهذا الميناء في يوم معين • تعريف المتغير العشوائي X= عدد السفن الواصلة • القيم الممكنة x=0,1,2,… • احتمال ان تصل 3 سفن لهذا الميناء في يوم معين هو • f(3)=(2)ˣ / 3!* e = 0.18 -2

Probability Review