点到直线的距离

点到直线的距离

点到直线的距离 • 复习提问 • 1、平面上点与直线的位置关系怎样？ • 2、何谓点到直线的距离？ • 答案:1.有两种,一种是点在直线上,另一种是点在直线外. • 2.从点作直线的垂线, 点到垂足的线段长.

L1 已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？ P(x0,y0) 解题思路：过点P作直线L1⊥L于Q, 根据定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长。则线段PQ的长就是点P到直线L的距离. L 怎么能够得到线段PQ的长? 利用两点间的距离公式求出|PQ|. Q 步骤 (1)求直线L1的斜率； L:Ax+By+C=0 (2)用点斜式写出L1的方程； (3)求出Q点的坐标； (4)由两点间距离公式d=|PQ|.

一般情况 A≠0，B≠0时 L1 P(x0,y0) 解:设A≠0,B≠0,过点P作L的垂线L1,垂足为Q, L 由点斜式得L1的方程设Q点的坐标为(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1与L的交点，则 Q L:Ax+By+C=0 把（3）代入（2）得

把（4）代入（2）得

Y X O Y X O 当AB=0（A，B不全为0）（1）Ax+C=0 用公式验证结果相同（2）By+C=0 用公式验证结果相同

y P(x0,y0) x O l:Ax+By+C=0 1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立； 5.用此公式时直线方程要先化成一般式。

例1、求下列各点到相应直线的距离

解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) 即 kx-y+2+k=0 2 由题意得 -1 ∴k2+8k+7=0 ∴所求直线的方程为x+y-1=0 或7x+y+5=0.

例2的变式练习求过点A(-1,2)且与原点的距离等于例2的变式练习求过点A(-1,2)且与原点的距离等于 (1).距离改为1; (2).距离改为 ; (3).距离改为3(大于 ). 想一想?在练习本上画图形做.

例2的变式练习 则用上述方法得4(y-2)=3(x+1) 或x=-1(易漏掉) (1).距离改为1, 2 -1 4(y-2)=-3(x+1) x=-1

2 -1 例2的变式练习则得2(y-2)=x+1; （2）.距离改为 , 2(y-2)=x+1

例2的变式练习 无解。（3）.距离改为3(大于 ),则 2 3 -3 -1

y P(3,0) l1:2x-7y+8=0 l2: 2x-7y-6=0 x O 例3 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离

练习 3.求下列两条平行线的距离： (1)L1:2x+3y-8=0 ， L2:2x+3y+18=0 解:点P(4,0)在L1上 (2)L1:3x+4y=10 ， L2: 3x+4y-5=0

l1 y l1 :Ax+By+C1=0 l2 l2 :Ax+By+C2=0 x O 任意两条平行直线都可以写成如下形式： P 直线的方程应化为一般式！

进一步,利用中点公式可以得到点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P1(x1,y1)的坐标公式为:进一步,利用中点公式可以得到点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P1(x1,y1)的坐标公式为: 利用公式: 1,求点 P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P1( ); y0 ,x0 -y0 ,-x0 2,求点 P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P1( );

小结 1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要熟记公式的结构.应用时要注意将直线的方程化为一般式. 2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系. 3.例2的变式练习,用图形解释运算结果,又一次让我们体会了数学与形式结合的思想.

作业 • 1.阅读P40~P44,有关内容. • 2.书面作业: P44第12题,第13题.

本节课到此结束，同学们，再见！ 雨金中学数学科组王凤万

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