Tema I Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

1. Tema IEstudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

2. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Fuerzas Internas Las fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interacción entre las partículas de los materiales . Además se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a través del cuerpo.

3. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Fuerzo resultante y momento resultante

4. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo Las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en función de una cantidad llamada “esfuerzo” que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área.

5. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área referido al plano de corte P

6. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo Promedio • Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas interiores anteriormente mostrado, se define “esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se debe considerar una porción ΔA sobre la cual actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el cociente de ΔF entre ΔA

7. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo en un punto de la sección ΔA • Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se define el esfuerzo en este punto como el límite del cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

8. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo Normal • La componente vectorial de F sobre la normal a la sección trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que es la componente vectorial de ΔF sobre la normal al plano.

9. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo normal en un punto • Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el esfuerzo normal en dicho punto se define como:

10. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Dirección normal al plano que pasa por el punto P

11. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzo normal Como se vio anteriormente, la dirección normal al plano se representa de la siguiente manera: La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como: La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como: Donde  es el ángulo entre σs y σn

12. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzo normal La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy El esfuerzo normal es a tensión si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo). El esfuerzo normal es a compresión si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).

13. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo Tangencial La componente vectorial de la fuerza F en dirección de la recta t a la sección trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A se define como: El esfuerzo tangencial promedio sobre la porción de área ΔA

14. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo Tangencial en un punto Sea P un punto perteneciente a la porción de área ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:

15. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzo tangencial La dirección tangente viene dada por: La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por: La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:

16. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes vectoriales del esfuerzo resultante

17. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normal

18. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes normal y tangencial del esfuerzo σs El vector esfuerzo referido a la sección A, a la porción de área ΔA o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si, podemos decir que:

19. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes escalares del esfuerzo σs si la sección es un plano coordenado Para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de ejes cartesianos. De manera que el plano π corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado;

20. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Cortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados

21. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados

22. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados

23. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Estado de esfuerzo Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificación, para esto se busca una relación entre los esfuerzos tangenciales que actúan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paralelepípedo con aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuación se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz, para los demas se sigue el mismo procedimiento

24. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y yz ejercen su acción sobre las caras correspondientes del paralelepípedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el área de la cara. F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔz igualmente para F3 y F4

25. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo El paralelepípedo es una porción del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero. F1 + F3 = 0 F1 = -F3 F2 + F4 = 0 F2 = - F4

26. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo Las fuerzas F1 y F3 forman un par, igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el paralelepípedo esté en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula: zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0 de donde zy = yz

27. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación estado de esfuerzo Se sigue el mismo procedimiento para los demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente xy = yxxz = zxyz = zy El estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un sólido sometido a cargas se define entonces con seis componentes σx, σy, σz, xy, xz, yz

28. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Convención de signos Planos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la dirección positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano será considerado negativo. Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.

29. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación convención de signos Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la dirección negativa (o positiva) de un eje coordenado.

30. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Estado de esfuerzo en el punto P Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que actúa en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la dirección definida por el vector y que pasa por dicho punto:

31. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo vectorial resultante en el punto P

32. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto P

33. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si las dimensiones del tetraedrofueran constantes y finitas, además de las fuerzas sobre las caras habría que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el límite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentes

34. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación b e o c a n e α α A A1 β β o a A2

35. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto P

36. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elemental Cara Área Componentes de esfuerzo Componentes de fuerza

37. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)

38. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestión

39. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de: Obtendríamos:

40. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (vectorial)

41. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)

42. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Esfuerzos Principales • Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los únicos esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los “planos principales” y los esfuerzos normales a esos planos se les llama “esfuerzos principales”

43. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales

44. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales El procedimiento es maximizar la ecuación del esfuerzo normal, haciendo uso del método de Lagrange donde la condición es: Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que:

45. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condición estacionaria y esta dada por:

46. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores La proporcionalidad de la ecuación anterior genera el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo”.

47. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación esfuerzos principales De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones La condición para que este sistema de ecuaciones lineales homogéneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero

48. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Ecuación característica El desarrollo del determinante proporciona una ecuación característica de tercer grado

49. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes de esfuerzos Como los esfuerzos principales son independientes de la orientación del sistema de referencia, los coeficientes de la expresión anterior tienen que ser también independientes de la orientación del sistema de referencia; las expresiones de éste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se denominan invariantes de los esfuerzos.

50. Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación Invariantes de esfuerzo El término I3 es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzos