Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

1. Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen Virtueller Vortrag von Andreas Kautsch und Andreas Litschauer im Rahmen der VO Festkörperphysik Grundlagen

2. Outline • elektrische Leitfähigkeit • Gründe für den elektrischen Widerstand • Umklapp-Streuung • Bewegung in Magnetfeldern – Hall Effekt • Thermische Leitfähigkeit von Metallen 2

3. 2. Newtonsches Gesetz für ein freies Elektron • F ... Kraft auf das Elektron • E ... elektrisches Feld • B ... magnetisches Feld • c ... Konstante im CGS-System 3

4. Fermi-Kugel im elektrischen Feld • das elektrische Feld E bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel: 4

5. Bewegung der Elektronen ohne äußeres Magnetfeld • Driftgeschwindigkeit der Elektronen: • elektrische Stromdichte in einem konstanten E-Feld: • wegen (Ohmsches Gesetz): • ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit zu: 5

6. elektrische Leitfähigkeit am Beispiel Kupfer • Leitfähigkeit von reinen Kupferkristallen bei 4 K fast 105 mal größer als bei Raumtemperatur (283,15 K) • daraus folgt für die mittlere freie Weglänge: l(4 K) ≈ 0,3 cm wohingegen l(283,15 K) ≈ 3*10-6 cm • maximal beobachtete mittlere freie Weglänge bei Temperaturen von flüssigem Helium: 10 cm 6

7. Experimente zum elektrischer Widerstand von Metallen bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanischen Gitterfehler • Korngrenzen und Versetzungen • Fremdatome • Leerstellen • Zwischengitteratome • Konzentrationsschwankungen • Isotopenschwankungen bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen • im Bild rechts sind die Phononen durch unterschiedliche Abstände der Netzebenen symbolisiert 7

8. Relaxationszeit • bei Abschaltung von E geht Impulsverteilung wieder in Grundzustand zurück nach: • τL ... Stoßzeit mit Phononen • τi ... Stoßzeit mit Gitterfehlern • daraus resultiert der Widerstand im Metall • ρL ... spezifischer Widerstand durch thermische Phononen • ρi ... spezifischer Widerstand durch Streuung der Elektronenwellen an statischen Defekten 8

9. Matthiessensche Regel • Matthiessensche Regel: ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte • wenn die Temperatur bzw. die Konzentration der Defekte klein ist, können die spezifischen Widerstände unabhängig von diesen sein • ρi(0) ist der auf 0 K extrapolierte spezifische Widerstand; ρL verschwindet mit T0 • Gitterwiderstand ρL(T) = ρ - ρi(0) ist derselbe für verschiede Proben aus dem gleichen Metall • Widerstandsverhältnis= ρ(293,15)/ ρ(0)Maß für Reinheit 9

10. Debyetemperatur • Die Kollisionsrate von Elektronen mit Phononen ist proportional zur Konzentration d. thermischen Phononen • Über der Debyetemperatur Θ ist die Phonoenkonzentration proportional zur Temperatur  ρ ~ T für T > Θ • Beispiele für Debyetemperaturen in K: Cs 38 Al 428 Pb 105 Fe 467 NaCl 321 C 2230 Cu 343 10

11. Umklapp-Streuung (Stöße an Phononen) • bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur • Erklärung: reziproker Gittervektor beteiligt Normalprozess Umklapp-Prozess (Kleinwinkelstreuung) (starke Streuzentren) k‘ = k + qk‘ = k + q + G k: Elektronenimpuls vor Stoß; k‘: Elektronenimpuls nach Stoß q: Phononenimpuls; G: reziproker Gittervektor 11

12. Ergebnis von Bloch • analytisches Ergebnis für die normale Streuung bei sehr tiefen Temperaturen: • konnte noch nicht nachgewiesen werden, weil zu viele konkurrierende Effekte wie: • Störstellenstreuung • Elektron-Elektron-Streuung • Umklapp-Streuung 12

13. Bewegung in Magnetfeldern 13

14. Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B • Im CGS-System: • Im SI-System: 14

15. Hall-Effekt Das Hall-Feld: • elektrisches Feld in Richtung j x B • Strom j senkrecht zu Magnetfeld B • Größe der Spannung: • wobei als Hall-Konstante bezeichnet wird und d die Dicke der Probe parallel zu B ist 15

16. Hall-Konstante • Mit und erhalten wir für die Hallkonstante • Dieser Ausdruck ist negativ für freie Elektronen, denn e ist laut Definition positiv • Ladungsträgerkonzentration klein => Betrag der Hall-Konstante groß 16

17. Standardgeometrie für den Hall-Effekt • Ein stabförmiger Körper mit rechteckigem Querschnitt wird in ein Magnetfeld B gebracht 17

18. Ein elektrisches Feld E an die Elektroden angelegt, verursacht eine Stromdichte j in Stabrichtung • Ablenkung in y-Richtung von Magnetfeld erzeugt • Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit der Elektronen setzt gerade ein 18

19. Elektronen auf der einen, positiver Ionen-Überschuss auf der anderen Seite bis das Hallfeld (transversale elektrische Feld) die Lorentz-Kraft durch das Magnetfeld gerade aufhebt • Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit im stationären Zustand 19

20. Tabelle: Vergleich zw. beobachteten Werten und direkt aus der Konzentration der Ladungsträger berechneten Werten der Hall-Konstante 20

21. Thermische Leitfähigkeit von Metallen 21

22. Wärmeleitzahl K • Vermögen des Stoffes, thermische Energie zu transportieren: • Wärmeleitzahl • v ... Teilchengeschwindigkeit • C ... spezifischen Wärme pro Volumeneinheit • l ... mittlere freie Weglänge 22

23. Wärmeleitfähigkeit von Cu • In unten stehendem Graph ist die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer nach Berman und MacDonald zu sehen 23

24. Verhältnis aus thermischer und elektrischer Leitfähigkeit Wiedemann-Franzsche Gesetz: • Das Wiedemann-Franzsche Gesetz zeugt von der Tatsache, dass in Metallen die Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie sind • Für alle Metalle bei nicht zu tiefen Temperaturen ist das Verhältnis aus thermischer Leitfähigkeit K und elektrischer Leitfähigkeit σ direkt proportional zur Temperatur 24

25. Zusammenfassung • das elektrische Feld bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel • Ohmsches Gesetz: • elektrische Leitfähigkeit: • bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanische Gitterfehler • bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen • Matthiessensche Regel: ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte • Umklapp-Streuung bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur 25

26. Zusammenfassung • Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B • Hall Konstante: • Wärmeleitzahl: • Wiedemann-Franzsche Gesetz: in Metallen Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie 26

27. Wir bedanken uns fürs Zuhören! 27