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2B_Ch8( 1 ). A. B. C. 三角形的外角. 等腰三角形. 等邊三角形. 2B_Ch8( 2 ). 8.1 三角形的角和邊. 目錄. A. B. C. 多邊形的內角和. 多邊形的外角和. 可密舖平面的正多邊形. 2B_Ch8( 3 ). 8.2 多邊形的角. 簡介. 目錄. A. B. C. D. E. 數學的欣賞：以最少工具作圖. 角平分線的作圖法. 垂直平分線的作圖法. 特殊角的作圖法. 正多邊形的作圖法. 2B_Ch8( 4 ). 8.3 基本幾何作圖. 目錄. 8.1 三角形的角和邊.

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  1. 2B_Ch8(1)

  2. A B C 三角形的外角 等腰三角形 等邊三角形 2B_Ch8(2) 8.1三角形的角和邊 目錄

  3. A B C 多邊形的內角和 多邊形的外角和 可密舖平面的正多邊形 2B_Ch8(3) 8.2多邊形的角 簡介 目錄

  4. A B C D E 數學的欣賞：以最少工具作圖 角平分線的作圖法 垂直平分線的作圖法 特殊角的作圖法 正多邊形的作圖法 2B_Ch8(4) 8.3基本幾何作圖 目錄

  5. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(5) 三角形的外角 A) 1. 參看下圖，我們稱 c 為 △ABC 的內角而 c1就稱為三角形的外角。 目錄

  6. 2. 三角形的一個外角等於兩個內對角的和， 　即 c1 = a + b 。 【簡記：△外角】 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(6) • 例題演示 三角形的外角 A) 目錄 • 目錄 8.1

  7. p = 50° + 70° 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(7) 求右圖中的 p 。 • △外角 = 120° 目錄

  8. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(8) 求右圖中的 。 ∠BCD =  + 30° • △外角 ∴  = ∠BCD – 30° = 45° – 30° = 15° 目錄

  9. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(9) 圖中 ABCD 和 CEF 都是直線。求 m。 使用圖中記號，可得 a + 140° = 180° • 直線上的鄰角 a = 40° b + 90° = 180° • 直線上的鄰角 b = 90° 目錄

  10. 習題目標 • 利用三角形外角性質，求只涉及一個三角形的圖形中的未知量。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(10) • 返回問題 在 △BCE中， m = a + b • △外角 = 40° + 90° = 130° 目錄

  11. 習題目標 • 利用三角形外角性質，求涉及兩個或多個三角形的圖形中的未知量。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(11) 在圖中，QTP、QMR、PRS 和 TMS 都是直線。求 x 和 y。 在 △PQR中， x = 73° + 42° • △外角 = 115° 在 △MRS 中， y = x + 35° • △外角 = 115° + 35° = 150° 目錄

  12. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(12) ABC 和 PQR 分別是兩把 45°– 45°– 90° 和 30°– 60°– 90° 的三角尺。它們如下圖般放置在一起，其中 BC 和 QR 在同一直線上。 求圖中兩斜邊相交所成的角 a 和角 b。 目錄

  13. 習題目標 • 涉及三角形外角的綜合題。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(13) • 返回問題 ∠PQR = 60° ∠ACB = 45° 在 △QSC中， a = ∠PQR + ∠ACB • △外角 = 60° + 45° = 105° a + b = 180° • 直線上的鄰角 105° + b = 180° ∴ b = 75° 目錄

  14. 習題目標 • 涉及三角形外角的綜合題。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(14) 圖中是由五條相交直線所組成的五角星圖形。求所有標明的角的和。 用右圖中的記號， m = b + d • △外角 n = c + e • △外角 ∴ 所有標明的角的和 = a + b + c + d + e = a + (b + d) + (c + e) = a + m + n = 180° • △內角和 • 重點理解 8.1.1 目錄

  15. 2. 等腰三角形的兩個底角相等。 即 在 △ABC，若 AB = AC， 則∠ABC = ∠ACB。 【簡記：等腰 △ 底角】 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(15) • 例題演示 等腰三角形 B) 1. 一個有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形。 目錄

  16. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(16) 等腰三角形 B) 3. 一個等腰三角形是反射對稱圖形，它的對稱軸會 i.平分頂角； ii.平分底邊； iii.垂直於底邊。 目錄

  17. 即 在 △ABC 中，若 AB = AC 並已知下列其中一項條件成立，則其餘兩項條件也成立： i. ∠BAD = ∠CAD ii. BD = DC iii. AD ⊥ BC 【簡記：等腰 △ 性質】 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(17) • 例題演示 等腰三角形 B) 目錄 • 目錄 8.1

  18. 4.若一個三角形有兩個角相等，則與它們相對的兩條邊亦相等。4.若一個三角形有兩個角相等，則與它們相對的兩條邊亦相等。 即 在 △ABC中， 若 ∠ABC = ∠ACB， 則 AB = AC。 【簡記：等角對邊相等】 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(18) • 例題演示 等腰三角形 B) 目錄 • 目錄 8.1

  19. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(19) 求圖中的 x。 x = 40° • 等腰△底角 • 重點理解 8.1.2 目錄

  20. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(20) (a) 在圖中，OB ⊥ AC。 求 y。 (b) 在圖中，QS是∠PQR 的角平分線。求 x。 (a) y = 25° (b) x = 4 • 等腰△性質 • 等腰△性質 目錄

  21. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(21) 在圖中，M 是 YZ 的中點。 求 a 和 b 。 a = 90° • 等腰△性質 b = 70° • 等腰△性質 目錄

  22. ∴ PQ = PR 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(22) 在圖中，PQ = PR 及∠RPQ = 28°。M 和 N 分別是 PR 和 RQ 上的點，使 △RMN 是一個等腰三角形，其中∠MRN 是頂角。求 x。 用右圖中的記號， • 等腰△底角 ∴ a = b 目錄

  23. ∴ ∠MRN 是等腰三角形 RMN 的頂角。 習題目標 • 利用等腰三角的性質求未知量。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(23) • 返回問題 在 △PQR中， a + b + 28° = 180° • △內角和 a + a + 28° = 180° 2a = 152° a = 76° ∴ x = y • 等腰△底角 在 △RMN中， x + y + a = 180° • △內角和 x + x + 76° = 180° 2x = 104° x = 52° 目錄

  24. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(24) 在 △ABC 中，AB = AC。M 和 N 分別是 BC 和 AC 上的點，使 MB = MC = MN。若 BA // MN，求∠AMN 。 設∠AMN = x，並使用右圖中的記號。 在等腰三角形 ABC 中， AB = AC 及BM = MC， ∴∠AMB = 90° • 等腰△性質 及 a = b • 等腰△性質 • 內錯角，BA // MN 但 a = x ∴ a = b = x 目錄

  25. 習題目標 • 利用等腰三角及平行線的性質求未知量。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(25) • 返回問題 在 △AMN中， ∠MNC = x + b • △外角 = 2x 在等腰三角形 MNC 中， y = ∠MNC • 等腰△底角 = 2x 在 △AMC中， b + y = ∠AMB • △外角 x + 2x = 90° 3x = 90° x = 30° 即 ∠AMN = 30° • 重點理解8.1.3 目錄

  26. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(26) 求圖中的 x。 x = 4 • 等角對邊相等 目錄

  27. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(27) 在 △ABC 中，∠BAC = 36°， X 是 AB 上的一點，使 CX = CB。如果 AB = AC， (a) 求 m； (b) △AXC 是否等腰三角形？ (a) 用右圖中的記號。 在等腰三角形 ABC 中， ∠ACB = p • 等腰△底角 目錄

  28. = p 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(28) • 返回問題 (a) ∴ p + p + 36° = 180° • △內角和 = 72° 在等腰三角形CXB中， m = p • 等腰△底角 = 72° 目錄

  29. 習題目標 • 指出圖中的等腰三角形或等邊三角形。 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(29) • 返回問題 (b) 在 △AXC 中， m = q + 36° • △外角 72° = q + 36° q = 36° ∴ ∠XAC =∠XCA = 36° XA = XC • 等角對邊相等 ∴ △AXC 是一個等腰三角形。 • 重點理解 8.1.4 目錄

  30. 2. 若 △ABC 是一個等邊三角形， 則∠A = ∠B = ∠C = 60°。 【簡記：等邊 △ 性質】 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(30) • 例題演示 等邊三角形 C) 1. 一個三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形。 目錄 • 目錄 8.1

  31. = 60°  y = 30° 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(31) 在圖中，AB = BC = CA。求 x 和 y。 ∠BAC = 60° • 等邊△性質 M 是 BC 的中點。 ∴ x = y • 等邊△性質 即 x = 30° 目錄

  32. 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(32) 在圖中，ABCD 是一個正方形而 △BCE 是一個等邊三角形。求圖中的 x。 在正方形ABCD，∠ABC = 90°。 在等邊三角形BCE 中，∠CBE = 60°。 • 等邊△性質 ∴ ∠ABE =∠ABC +∠CBE = 90° + 60° = 150° 目錄

  33. 習題目標 • 利用等邊三角形的性質求未知量。 = x 8.1三角形的角和邊 2B_Ch8(33) • 返回問題 在正方形 ABCD，AB = BC。 在等邊三角形 BCE， BE = BC。 即 AB = BE ∴ △ABE是一個等腰三角形。 在等腰三角形 ABE中， ∠BEA = x • 等腰△底角 ∴ x + x + 150° = 180° • △內角和 = 15° • 重點理解 8.1.5 目錄

  34. 1. 凸多邊形各內角都小於 180°。 2. 凹多邊形至少有一個內角是反角。 反角 8.2多邊形的角 2B_Ch8(34) • 例題演示 簡介 目錄 • 目錄 8.2

  35. D A E C B 8.2多邊形的角 2B_Ch8(35) 以下哪些圖形是凸多邊形？ A、D、E • 重點理解 8.2.1 目錄

  36. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(36) • 例題演示 多邊形的內角和 A) ‧ 一個凸 n 邊形的內角和是 (n – 2)  180°。 【簡記：多邊形內角和】 目錄 • 目錄 8.2

  37. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(37) 求十邊形的內角和。 內角和 = (10 – 2)  180° • 多邊形的內角和 = 1 440° 目錄

  38. 習題目標 正多邊形各內角相等。 ∴ • 利用多邊形的內角和求未知量。 • 求多邊形的邊數或內角的大小。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(38) 求所示正五邊形中的 x。 內角和 = (5 – 2)  180° • 多邊形的內角和 = 540° ∴ x = 內角和÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108° 目錄

  39. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(39) 在圖中，ABCDEF 是一個六邊形，其中 AB // DC，求未知量 a。 用右圖中的記號。 p + q = 180° • 同旁內角，AB // DC 目錄

  40. 習題目標 • 利用多邊形的內角和求未知量。 • 求多邊形的邊數或內角的大小。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(40) • 返回問題 六邊形的內角和 = (6 – 2) 180° • 多邊形的內角和 = 720° ∴ p + q + 130° + a + 120° + 160° = 720° 180° + a + 410° = 720° a + 590° = 720° ∴ a = 130° 目錄

  41. = 習題目標 • 求多邊形的邊數或內角的大小。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(41) (a) 一個正 n 邊形的內角和是 1 800°，求 n 的值。 (b) 求這個多邊形每個內角的大小。 (a) n 邊形的內角和= (n – 2)  180° • 多邊形的內角和 ∴ (n – 2)  180° = 1 800° n – 2 = 10 n = 12 (b) 每個內角的大小 = 150° 目錄

  42. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(42) 在圖中，ABCD 是一個正多邊形的一部分。 該多邊形有多少條邊？ 設該多邊形的邊數為 n。 它的內角和 = (n – 2)  180° • 多邊形的內角和 目錄

  43. 習題目標 • 求多邊形的邊數或內角的大小。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(43) • 返回問題 該正 n 邊形每個內角都是 160°， 所以它的內角和 = n 160° ∴ (n – 2)  180° = n 160° (n – 2)  9 = n 8 9n – 18 = 8n 9n – 8n = 18 n = 18 ∴ 該多邊形有 18 條邊。 • 重點理解 8.2.2 目錄

  44. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(44) • 例題演示 多邊形的外角和 B) ‧ 一個凸多邊形所有外角的和是 360°。 【簡記：多邊形外角和】 目錄 • 目錄 8.2

  45. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(45) 求圖中的 x。 x + 110° + 170° = 360° • 多邊形外角和 x + 280° = 360° x = 80° 目錄

  46. 習題目標 • 利用多邊形的外角和求未知量。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(46) 圖中正五邊形每個外角都是 x。求 x 的值。 5x = 360° • 多邊形外角和 x = 72° 目錄

  47. 習題目標 • 利用多邊形的外角和求未知量。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(47) 求圖中的 x。 如圖所示，延長 BC 至 H，得外角 y 。 y + 74° = 180° • 直線上的鄰角 y = 106° ∴ x + 120° + 106° + 100° = 360° • 多邊形外角和 x + 326° = 360° x = 34° 目錄

  48. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(48) 在圖中，ABCDEFGH 是一個正八邊形。 若 AB 與 DC 延長後相交於一點 X，求∠BXC。 目錄

  49. 習題目標 • 涉及多邊形的綜合題。 8.2多邊形的角 2B_Ch8(49) • 返回問題 設該正八邊形的一個外角為 。 由於正多邊形各外角相等，所以 ∠XBC =∠XCB =  即　外角和 = 8 360° = 8  = 45° • 多邊形外角和 在 △BXC中， ∠BXC +  +  = 180° • △內角和 ∠BXC + 45° + 45° = 180° ∴ ∠BXC = 90° 目錄 • 重點理解 8.2.3

  50. 8.2多邊形的角 2B_Ch8(50) • 例題演示 可密鋪平面的正多邊形 C) 1. 密鋪是指將一些圖形重複地緊密排列在一起來完全覆蓋一個平面，而且這些圖形既不重疊，也無空隙。 2. 等邊三角形、正方形和正六邊形的內角可整除周角 360°，而只有這三種正多邊形能密鋪平面。 目錄 • 目錄 8.2

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