积 分 的 应 用

1. 第四章 积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用

2. 微分方程

3. 不定积分的应用 第 一 节 微分方程的概念 一阶微分方程的求解 学习重点

4. 特点： 和 可以不出现，但 的导数一定要出现。 通解：满足 阶微分方程且含 个独立任意常数的函数。 • 微分方程的概念 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程。如： 等…… 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数。 上面三个微分方程的阶数分别是二阶、一阶、三阶。 微分方程的解：满足微分方程的函数。 特解：满足微分方程且不含任意常数的函数。 课堂练习P175 1及2题

5. 例：对微分方程： 即： 是它的解，且是通解。 又如：对于微分方程 若给定条件： 则可得特解： • 微分方程的概念 称为初始条件。 也是一特解，但不含于通解中，特别地称为奇解。 容易验证 通解 通解或特解？ 特解 特解 都是微分方程的解。 既非特解也非通解 既非特解也非通解

6. 是 的解。 即 是 的解。 例1.验证下列所给函数是所给微分方程的解： 因为 解 所以 解

7. 理由：设 是该微分方程的解，则 • 一阶微分方程 一. 可分离变量的微分方程 求解方法：两边同时积分

8. 一. 可分离变量的微分方程 求解方法：两边积分 特例： 情形，即 因此，形如 的微分方程的求解方法是： • 一阶微分方程 两边积分，得 两边直接积分，得解为

9. 例2.求下列微分方程的通解或特解： 解 原方程可变形为（分离变量） 两边积分，得 所以，原方程的通解为 （隐函数形式）

10. （注 是一奇解） 例2.求下列微分方程的通解或特解： 解 原方程可变形为 即 两边积分，得 所以，原方程的通解为

11. 例2. 求下列微分方程的通解或特解： 解 原方程可变形为 两边积分得 得 即 所以，原方程的通解为

12. 将初始条件代入，得特解： 例2. 求下列微分方程的通解或特解： 解 原方程可变形为 （课堂练习） 两边积分

13. 例3. 设曲线 上任一点 P 处的法线与 X 轴有交点 Q， 且线段 PQ 被 Y 轴平分，曲线过点 求该曲线方程。 由曲线过点 得所求曲线方程： 或 解：由题设及导数的几何意义，得微分方程： （这是一个多值函数）

14. 二. 一阶线性微分方程 若 ，则称（1）为齐次的。 若 ，则称（1）为非齐次的。 可将其改写成 （这里 表示某一确定的原函数，不带任意常数。） • 一阶微分方程 对一阶线性齐次微分方程 这是一个可分离变量的微分方程。 这是（2）的通解。

15. 比较方程（1）、（2）： （2）的通解是： 猜想（1）的解是： 则 将 代入（1），得 即 故（1）的通解是： 这种方法称作 常数变易法。

16. 比较方程（1）、（2）： （1）的通解是： （2）的通解是： 非齐次线性微分方程的通解=非齐次的特解+对应齐次的通解 ——线性微分方程解的结构，称为叠加原理。

17. 通解公式 （1） 例4 求解下列微分方程 解 这是一个一阶线性微分方程，方程的通解为

18. 例4 （2） 解 原方程的通解为 凑微分

19. 例4 解：将原方程化为 （课堂练习） 则方程的通解为

20. 变通公式 例4. 解：将原方程化为 原方程的通解为

21. 公式的变通：如果微分方程为 则方程的通解为 （课堂练习） 例4 （5） 解：原方程可化为 则方程的通解为

22. 型 • 可降解的高阶微分方程 求解方法：连续积分n次。 例5（1）求解微分方程 解 由原方程积分得： 再积分得 再积分得 再积分得 所以，原方程的通解为

23. 例5（2）设曲线满足 过点 ，且在此点与 直线 相切，试求该曲线的方程。 解 由题设可知： 由原方程积分得 可得 因为 即： 得 再由： 故所求曲线方程为

24. 的通解。 例5（3）求微分方程 解：令 则原方程变为 即：

25. 再 见！