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金融高频时间序列分析

金融高频时间序列分析. 李胜歌. 一、金融计量学 二、金融高频时间序列分析 三、基于高频数据的金融波动率. 一、金融计量学. (一)金融定量分析 金融计量学 ,是经济计量学的一个重要分支,主要是研究如何将经济计量学的基本原理与方法运用于金融领域,针对金融数据的特殊性,构造相应模型,以便实证检验金融理论和假设或者提提供金融预测。. (二)金融数据 1 、低频数据 二十世纪九十年代以前,人们对金融时间序列的研究都是针对日、周、月、季度或者年度数据进行的,这种金融数据在金融计量学研究领域通常称为低频数据。 2 、高频数据

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金融高频时间序列分析

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  1. 金融高频时间序列分析 李胜歌

  2. 一、金融计量学 • 二、金融高频时间序列分析 • 三、基于高频数据的金融波动率

  3. 一、金融计量学 (一)金融定量分析 金融计量学,是经济计量学的一个重要分支,主要是研究如何将经济计量学的基本原理与方法运用于金融领域,针对金融数据的特殊性,构造相应模型,以便实证检验金融理论和假设或者提提供金融预测。

  4. (二)金融数据 • 1、低频数据 • 二十世纪九十年代以前,人们对金融时间序列的研究都是针对日、周、月、季度或者年度数据进行的,这种金融数据在金融计量学研究领域通常称为低频数据。 • 2、高频数据 • 近年来,随着计算工具和计算方法的发展,极大地降低了数据记录和存储的成本,使得对更高频率的金融数据进行研究成为可能。 • 在金融市场中,高频率采集的数据可以分为两类:高频数据(high frequency data)和超高频数据(ultra high frequency data)。 • 高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。高频数据即日内数据,是指在开盘时间和收盘时间之间进行抽样的交易数据,主要是以小时、分钟、甚至秒为抽样频率的、按时间顺序排列的时间序列。 • 3、超高频数据 • 超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。 • 高频数据和超高频数据两者之间的最大区别是:前者是等时间间隔的,后者的时间间隔是时变的。 • 一般而言,金融市场上的信息是连续的影响证券市场价格运动过程的。数据的离散采集必然会造成信息不同程度的缺失。采集数据频率越高,信息丢失越少;反之,信息丢失越多。

  5. 二、金融高频时间序列分析 • 对金融高频数据统计特征的研究 • 基于金融高频时间序列的波动性研究 • 微观结构噪声研究 • 最优抽样频率研究 • 基于高频数据的金融管理方面的应用研究

  6. 三、基于高频数据的金融波动率 • (一)“已实现”波动(Realized Volatility,RV) • (二)“已实现”双幂次变差(Realized Bipower Variation,RBV) • (三)RV与RBV的比较研究

  7. (一)“已实现”波动(Realized Volatility,RV) • 1、“已实现”波动的定义 • 2、“已实现”波动的理论基础 • 3、“已实现”波动的性质 • 4、“已实现”波动的应用 • 5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展

  8. Andersen和Bollerslev提出 “已实现”波动(RV)的定义为: t=1,2,…,T 1、RV的定义

  9. 2、“已实现”波动的理论基础 • 基本条件就是金融市场中不存在风险套利的机会,这样金融资产的对数收益率就是一个特殊半鞅过程。 • 由特殊半鞅的性质,又可以将其进一步分解为可料有限变差过程和局部鞅过程,从经济意义上来讲,可料有限变差过程和局部鞅过程分别代表均值过程(Mean Process)和新息过程(Innovation Process)。 • 由二次变差的性质,收益率平方和的极限为金融资产对数价格收益的二次变差; • 再由伊藤定理,可以得到二次变差与积分波动(Integrated Volatility, IV)的对应关系。 • “已实现”波动就是收益率的平方和,这样就可以得出“已实现”波动的概率极限为积分波动。

  10. 3、“已实现”波动的性质 • 根据Andersen和Bollerslev等(2000,2001,2001,2003)对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究,“已实现”波动通常具有下列性质: • (1)由于日内高频收益率之间存在序列相关和异方差性,所以“已实现”方差(Realized Variance)与“已实现”标准差(Realized Standard Deviation)的无条件分布都是极端右偏,而且具有极高的峰度。但是“已实现”标准差的偏度要比“已实现”方差的低; • (2)虽然“已实现”标准差的无条件分布都是极端右偏,而且具有极高的峰度,但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布却很近似正态分布; • (3)虽然日间收益率的无条件分布并非正态分布,具有明显的“高峰厚尾”性,但是日间收益率除以“已实现”标准差后的条件分布却近似是正态分布; • (4)以上三条性质都是针对每日的“已实现”波动而言的,然而对“已实现”波动的时间聚合性质的研究,即对每周,每两周,每三周及每月的“已实现”波动的研究中发现:在时间聚合下,“已实现”波动的方差按 的尺度增长,其中表示时间跨度,d是常数; • (5)“已实现”波动的自相关系数按双曲线的速率缓慢下降; • (6)“已实现”波动取对数后的无条件分布是正态分布,具有显著的分数维单整的性质。

  11. 4、“已实现”波动的应用 • “已实现”波动无模型、计算方便、并且是金融波动率的一致估计量,“已实现”波动在多变量的情形下还可以扩展为“已实现”协方差矩阵(Realized Covariance Matrix,RCM),它不仅包括各变量自身的“已实现”波动率,也包括变量之间的“已实现”协方差。因此,“已实现”波动近年来被广泛应用于金融高频数据的应用研究中。 • 如:VaR的计算;资产定价研究;运用“已实现”波动理论构建“已实现”Beta并对“已实现”Beta的持续性和预测进行研究;进行动态投资组合研究等。

  12. 5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展 • 赋权 • 偏差校正

  13. (二)“已实现”双幂次变差(Realized Bipower Variation,RBV) • 1、“已实现”双幂次变差的概念 • 2、“已实现”双幂次变差的概率极限 • 3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究

  14. 1、“已实现”双幂次变差的概念 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变差(RBV)的定义为:

  15. 表示伽玛函数 2、“已实现”双幂次变差的概率极限 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下,当s=2-r时,都有下式成立 :

  16. 3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究 • 本节使用深证成指和上证综指两个市场的金融高频数据来构建“已实现”双幂次变差,然后对该估计量的特性进行实证研究。该高频数据是从2005.4.14至2006.4.14深证成指和上证综指的1分钟间隔时段内的收盘价,这期间共有243个交易日,共有241×243=58563个数据。 • “已实现”双幂次变差的参数r、s的取值只要满足r+s=2,那么估计量的概率极限即为积分波动。因此,不失一般性的,本文选取了r=s=1、r=1/2且s=3/2、r=7/4且s=1/4时的“已实现”双幂次变差来研究估计量的统计特性。

  17. 图3-2 r=s=1时的深证成指的5分钟 “已实现”双幂次变差的自相关函数图 图3-1 r=s=1时的深证成指的1分钟 “已实现”双幂次变差的自相关函数图

  18. 当r=s=1时,从图3-1至3-5和图3-6至3-10中可以看到,深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的150阶自相关函数,都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降。当r=1/2且s=3/2时,从图3-11至3-15和图3-16至3-20中,以及当r=7/4且s=1/4时,从图21-25和图26-30中,可以看到深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的自相关函数,也都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降的。当r=s=1时,从图3-1至3-5和图3-6至3-10中可以看到,深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的150阶自相关函数,都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降。当r=1/2且s=3/2时,从图3-11至3-15和图3-16至3-20中,以及当r=7/4且s=1/4时,从图21-25和图26-30中,可以看到深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的自相关函数,也都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降的。 • 同时,表3-1与表3-2中深证成指和上证综指分维数d的估计值也都显著不为零。这说明“已实现”双幂次变差时间序列为长记忆时间序列,并且具有分数维特性。

  19. 表3-3至3-5分别给出了当r=s=1时,当r=1/2且s=3/2时,以及当r=7/4且s=1/4时,深证成指在1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的抽样时间间隔下,“已实现”双幂次变差RBV、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和J-B统计量。表3-3至3-5分别给出了当r=s=1时,当r=1/2且s=3/2时,以及当r=7/4且s=1/4时,深证成指在1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的抽样时间间隔下,“已实现”双幂次变差RBV、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和J-B统计量。 • 表3-6至3-8则分别给出了当r=s=1时,当r=1/2且s=3/2时,以及当r=7/4且s=1/4时,上证综指在1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的抽样时间间隔下,“已实现”双幂次变差RBV、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和J-B统计量。

  20. 表3-3 r=s=1时深证成指在各个抽样频率下的统计量特征

  21. 从表3-3至3-8中可以看出,无论r、s取何值,都可以得出“已实现”双幂次变差具有如下的统计特性:从表3-3至3-8中可以看出,无论r、s取何值,都可以得出“已实现”双幂次变差具有如下的统计特性: • (1)“已实现”双幂次变差与标准差的无条件分布都是极端右偏,而且具有极高的峰度,但是标准差的偏度要比“已实现”双幂次变差的低; • (2)虽然“已实现”双幂次变差的标准差的无条件分布都是极端右偏,而且具有极高的峰度,但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布在抽样频率不是很高时(10分钟以上),却为正态分布; • (3)虽然国内外的实证研究表明日间收益率的无条件分布并非正态分布,具有明显的“高峰厚尾”性,但是日间收益率除以“已实现”双幂次变差的标准差后的条件分布却近似是正态分布(由J-B统计量)。

  22. 通过对中国股市的深证成指和上证综指的高频金融时间序列的研究,从图3-1至3-30和表3-1至3-8中得到的“已实现”双幂次变差的统计性质,同Andersen和Bollerslev等对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究得到的“已实现”波动的性质是基本一致的。通过对中国股市的深证成指和上证综指的高频金融时间序列的研究,从图3-1至3-30和表3-1至3-8中得到的“已实现”双幂次变差的统计性质,同Andersen和Bollerslev等对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究得到的“已实现”波动的性质是基本一致的。

  23. (三)RV与RBV的比较研究 • “已实现”波动(Realized Volatility,RV)是Anderson和Bollerslev等人基于金融高频时间序列提出的一种全新的波动率度量方法,该方法由于具有无模型、计算方便、并且在一定条件下是波动率的一致估计量等优点,近年来已被广泛应用于高频金融数据的研究中。“已实现”波动的概念和方法,近年来也获得不断的改进和发展。“已实现”双幂次变差(Realized Bipower Variation,RBV)是Barndorff-Nielsen和Neil Shephard提出的另一类似于“已实现”波动的波动率度量方法,该估计量同样是波动率的一致估计量。 • 针对这两种文献中常被提及和讨论的有代表性的波动率估计方法,本节在定义形式、估计量的稳健性、有效性等方面对这两个估计量进行了比较,发现“已实现”双幂次变差的定义形式更广泛,除了具有稳健性,本节还证明了“已实现”双幂次变差比“已实现”波动更有效。 • 通过对深证成指和上证综指的实证研究,我们可以看出“已实现”双幂次变差的稳健性,同时也证实了“已实现”双幂次变差能更准确的估计金融股市收益率的波动。

  24. Andersen和Bollerslev提出 “已实现”波动(RV)的定义为: t=1,2,…,T 1、定义形式 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变差(RBV)的定义为: 当r=0,s=2或者r=2,s=0时, RBV即为RV,因此从定义形式上看,RV是RBV当参数取特定值时的特殊形式。

  25. 表示伽玛函数 当不存在跳跃时,“已实现”波动的极限收敛到积分波动: 2、稳健性 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下,当s=2-r时,都有下式成立 : 假设加入跳跃后金融资产对数价格的日收益为: 此时,“已实现”波动的收敛结果为:

  26. 在有限区间上发生有限次跳跃后,若波动率估计量的估计结果不变,则认为该估计量具有稳健性。在有限区间上发生有限次跳跃后,若波动率估计量的估计结果不变,则认为该估计量具有稳健性。 在加入有限次的跳跃后,“已实现”波动与“已实现”双幂次变差的收敛结果不再相同,“已实现”波动的收敛结果中除积分波动以外,还包含了跳跃带来的对波动的影响,而“已实现”双幂次变差仍收敛到积分波动。同没有加入跳跃时相比,“已实现”波动的收敛结果发生了改变,而“已实现”双幂次变差则没有发生变化。 因此同“已实现”波动相比,“已实现”双幂次变差对波动特性的估计具有更好的稳健性。

  27. 3、有效性 RV与RBV的有效性对比: 在一定条件下,“已实现”双幂次变差与“已实现”波动都是积分波动的一 致估计量,那么“已实现”双幂次变差与“已实现”波动哪个更有效呢?本节 给出三个定理:定理3-3证明了在每一点的波动相等的前提条件下,当 时“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差;在引 入引理3-1后,定理3-4证明了当r=1时,“已实现”双幂次变差的方差小于 “已实现”波动的方差;在证明了引理3-2后,定理3-5证明了当 并且r+s=2时,“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差, 而且当r=1时,“已实现”双幂次变差的方差最小。

  28. 4、实证研究 • 本节实证研究采用的高频金融时间序列的原始数据是2005.4.14-2006.4.14深证成指和上证综指的1分钟间隔时段内的收盘价,这期间共有243个交易日,共有241×243=58563个数据。

  29. 在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中,找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个(t1)和第31331个(t2)时间点,t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066,t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点,t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中,找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个(t1)和第31331个(t2)时间点,t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066,t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点,t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。 图3-33画出了[31100,31350]区间上的对数价格收益路径,从图中可以看到时间点为31149(t1)和31331(t2)处发生了跳跃。 图3-34画出了[125,135]区间上的“已实现”波动(RV)和“已实现”双幂次变差(RBV),可以看出在第130天和第131天的位置上“已实现”波动(RV)明显的大于“已实现”双幂次变差(RBV),这正是由于“已实现”波动(RV)此时还包含跳跃带来的波动,而“已实现”双幂次变差(RBV)描述的仅仅是积分波动。 图3-33 深证成指1分钟数据在[31100,31350]上的对数价格路径图

  30. 在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中,找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个(t1)和第31331个(t2)时间点,t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066,t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点,t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。图3-33画出了[31100,31350]区间上的对数价格收益路径,从图中可以看到时间点为31149(t1)和31331(t2)处发生了跳跃。在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中,找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个(t1)和第31331个(t2)时间点,t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066,t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点,t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。图3-33画出了[31100,31350]区间上的对数价格收益路径,从图中可以看到时间点为31149(t1)和31331(t2)处发生了跳跃。 图3-34画出了[125,135]区间上的“已实现”波动(RV)和“已实现”双幂次变差(RBV),可以看出在第130天和第131天的位置上“已实现”波动(RV)明显的大于“已实现”双幂次变差(RBV),这正是由于“已实现”波动(RV)此时还包含跳跃带来的波动,而“已实现”双幂次变差(RBV)描述的仅仅是积分波动。 图3-34 深证成指在时间区间[125,135]上的RV与RBV

  31. 图3-35 上证综指1分钟数据在[18701,18800]上的对数价格路径图 图3-36 上证综指在时间区间[71,80]上的RV与RBV 图3-35画出了[18701,18800]区间上的对数价格收益路径,从图中可以看到时间点为18771处发生了跳跃。图3-36画出了[71,80]区间上的“已实现”波动(RV)和“已实现”双幂次变差(RBV),可以看出在第78天的位置上“已实现”波动(RV)明显的大于“已实现”双幂次变差(RBV)。

  32. 为了说明定理3-5(有效性),分别求出“已实现”波动和r=s=1时的“已实现”双幂次变差,再任取 r≠1时的“已实现”双幂次变差,不妨取 r=1/2,s=3/2。

  33. 表3-7 各种收益率序列的分布特征

  34. 从表3-7中可以看出,r=s=1时的YRBVt的J-B统计量最小,其次是YRBV1t的J-B统计量,YRVt的J-B统计量最大。这说明用r=s=1时的“已实现”双幂次变差的标准差标准化后的日收益率的正态化程度最高,从而说明r=s=1时的“已实现”双幂次变差对真实波动率的度量更准确。对深证成指和上证综指两个市场的实证结果与定理3-5的结论相一致。从表3-7中可以看出,r=s=1时的YRBVt的J-B统计量最小,其次是YRBV1t的J-B统计量,YRVt的J-B统计量最大。这说明用r=s=1时的“已实现”双幂次变差的标准差标准化后的日收益率的正态化程度最高,从而说明r=s=1时的“已实现”双幂次变差对真实波动率的度量更准确。对深证成指和上证综指两个市场的实证结果与定理3-5的结论相一致。

  35. 谢谢大家!

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