LE FLOT MAXIMAL et LA COUPE MINIMALE

1. LE FLOT MAXIMAL et LA COUPE MINIMALE • Groupe de: • SAELEE Anna • TRAN Ngoc Chau • CHANTHAVITHAY Ithisone • SIRISANG Jariya • NGUYEN Quoc Khai • NGUYEN Huu Nguyen

2. Plan • Le flot dans les réseaux • Le flot maximal et la coupe minimale • L'algorithme de Ford-Fulkerson • L'algorithme de Edmons-Karp • Simulation

3. Historique Formulé par T.E. Harris et F.S. Ross en 1955 Formuler le modèle de la circulation ferroviaire. A l'Ouest Soviet et au l'Est Europe

4. Réseau et flot • Réseau: • Graphe orienté sans boucle avec pour chaque arc une capacité. • La capacité c(a) est un entier positif ou nul. • Graphe orienté G = (V, E) • Une source s ∈ V, un puits t ∈ V • Capacités d’un arc : c(a) ≥ 0 • Flot: • Un flot f est une fonction entière positive ou nulleet f définie sur les arcs satisfaisant : Contrainte de capacité : f(a) ≤ c(a) ;

5. FLOT MAXIMAL

6. Problème du flot maximal La définition - Le flot maximal est un flot qui a la valeur maximal. • - Le problème du flot maximal : • L’un des problèmes des réseaux. • Il consiste à trouver un flot maximal de la source au puits. - Le problème du flot maximal se formule : Graph G = (V, A), s, t ∈ V Capacité cap : A → R ≥ 0 Trouver un flot f de la source s au puits t. Trouver un flot f compatible avec cap et maximisant la valeur de f

7. Problème de coupe minimale La définition d’une coupe • Soit Graph G = (V, A) ; s, t ∈ V • - Un ensemble d'arcs déconnectant la source du puits • Une coupe peut également être vue comme • une partition s U t des sommets où s appartient à S et t appartient à T Problème de coupe minimale Une coupe minimale est une coupe qui a la valeur est plus moins que les autres coupes. Il existe au moins une coupe minimale dans un réseau. On peut trouver une des coupes minimales après avoir trouvé le flot maximal

8. Flot maximal et coupe minimale « La valeur maximale d’un flot s − t dans un graphe G = (V, A) est égale à la capacité d’une s − t coupe de capacité minimale. » Si f est un flot dans un réseau de transport 1. f est un flot maximal 2. Il n’y pas de chemin améliorant dans le réseau résiduel. 3. Il existe une coupe E/F dont la capacité vaut | f |.

9. Chemin améliorant Le chemin améliorant est un chemin sur lequel : On peut améliorer le flot dans les réseaux. La méthode des graphes résiduels consiste à dessiner chaque itération à un graphe résiduel (Gf) pour chercher un chemin améliorant.

10. L'ALGORITHME DE FORD ET FULKERSON

11. L'algorithme de Ford et Fulkerson • Etape 1 : • Constitution d'un flot initial • Aller à l’étape 2 • Etape 2 : • Construire Gf • Chercher un chemin améliorant p. • Pas de chemin p dans Gf => le flot f est maximal • Arrêter ! • Trouver p dans Gf, aller en étape 3

12. L'algorithme de Ford et Fulkerson • Etape 3 : • Chercher cf(p) = min{c(u,v), (u,v)∈p} dans Gf, c'est la capacité d'un arc (u,v) dans p, c'est aussi la capacité résiduel • fp = f(u,v) = cf(p) si (u,v)∈p, f(u,v) = -cf(p) si (v,u)∈p • Améliorer le flot f = f + fp dans G • Minimiser la capacité chaque arc (u,v) sur p dans le graphe résiduel Gf et augmenter les arc (v,u) dans Gf • Aller en étape 2

13. L'algorithme de Ford et Fulkerson La complexité O(m) (m est le nombre d'arc) pour initialiser le réseau. Chercher le chemin d’augmentation, ça dépend l'algorithme de chercher le chemin. On l'a trouvé au plus tard en O(m). =>O(f) pour améliorer La complexité est O(m.f).

14. L'ALGORITHME DE EDMONDS-KARP

15. L'Algorithme de Edmonds-Karp  Pour chercher et calculer le flot maximal d'un réseau de flots.  Invention en 1972 par Jack Edmonds et Richard Karp.  Développement de l'algorithme de Ford – Fulkelson

16. L'Algorithme de Edmonds-Karp C'est un cas spécial de l'algorithme de Ford-Fulkersons :  Sa structure ressemble à la structure de l'agorithme de Ford – Fulkerson  Avoir seulement une amélioration dans le travail de chercher le chemin améliorant en implémentant l'exploration du graphe en largeur.

17. L'Algorithme de Edmonds-Karp • L'algorithme de parcours en largeur avec matrice résiduel? • Trouver le chemin du nœud source s au nœud puits t qui a les moins d'arcs en utilisant un queue, diviser en 4 pas : • Mettre le nœud de départ dans le file et marquer ce nœud. • (2) Retirer le nœud de début de la file pour l'examiner. • (3) Mettre tous les voisins non marqués dans le file (à la fin) • (4) Si trouver le nœud t ou le file est vide, arrêter l'exploration.

18. L'Algorithme de Edmonds-Karp Un exemple:

19. L'Algorithme de Edmonds-Karp Un exemple:

20. L'Algorithme de Edmonds-Karp Un exemple:

21. SIMULATION

22. La grande merci à vous Bonne courage à les groupe suivants