5.2 线性微分方程组的一般理论

1. 5.2 线性微分方程组的一般理论 讨论线性微分方程组 的一般理论，主要研究它的解的结构。 如果 ，则（5.14）称为非齐线性的。 如果 ，则（5.14）称为齐线性的，即称： 为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线性方程组。

2. 主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。 前提：A(t)在区间 上是连续的。 1、定理2（叠加原理）如果 和 是（5.15）的解，则它们的线性组合 也是（ 5.15 ）的解，这里 是任意常数。 5.2.1 齐线性微分方程组 一、基本定理 分析： （5.15）的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关（无关）性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。

3. 考虑定义在区间 上的向量函 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式 对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。 2、向量函数的相关性

4. 由定义在区间 上的n个向量函数 所作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即 其中， 3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式

5. 4、定理3若向量函数 在区间 上 线性相关，则在 上它们的伏朗斯基(Wronsky) 行列式为零，即有： 分析： 构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。

6. 5、定理4如果方程(5.15)的解 在区间 上线性无关，则 在 内的任何点上都不等于零，即有：　　　　　　． 分析：反证方法。 6、定理5齐线性方程组（5.15）一定存在n个线性无 关的解。 分析：构造方法。

7. 7、定理6（通解结构定理） 如果 是方程（5.15）的 个线性无关的解， 则方程（5.15）的任一解均可表为： 其中 是相应的确定常数。 推论1：方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于 　．因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空间． 定义：方程（5.15）的一组 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．

8. 推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n－1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n－1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。

9. 推论3：如果是　阶微分方程 的n个线性无关解，其中 是区间 上的连续函数，则（5.21）的任一解均可表示为 其中 是任意常数。 ( 阶线性微分方程通解的结构定理．)

10. 如果一个 矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。 如果一个 矩阵的每一列在区间 上都是线性无关的解矩阵称为在区间 上（5.15）的基解矩阵。 二、基本概念 1、解矩阵 2、基解矩阵

11. 定理1*(5.15)一定存在一个基解矩阵　　，　 如果 　是的任一解，那么 这里 是确定的 维常数列向量． C 3、定理（通解的结构定理） 为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？

12. 定理2*（5.15）的一个解矩阵　　是基解矩阵的充要条件是　　　　　　　　　 ．而且，如果对于某一个　　　　 ，则 （　　　　表示矩阵　　 的行列式）． 无穷与有限的转换！ 注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例如： 线性无关组不一定能构成解！

13. 例1 验证 是方程组 的基解矩阵。 其中 解（步骤）： 1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？ 2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。

14. 推论1* 如果是（5.15）在区间 上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那么, 也是在区间 上的一个基解矩阵． 验证方法证明。 这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的．

15. 推论2*如果 ， 在区间 上是 的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异 常数矩阵 ，使得在区间 上，有 构造方法证明：构造常数矩阵C. 这说明基解矩阵的相似性．

16. 5.2.2、非齐线性微分方程组 目的：利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的结构. 1、非齐线性微分方程组解的性质 2、非齐线性微分方程组解的结构 3、应用

17. 性质1如果 是(5.14)的解， 是对应的齐线性微 分方程组(5.15)的解,则 是(5.14)的解 . 性质2如果 , 是（5.14）的解，则 是（5.15）的解 . 1、非齐线性微分方程组解的性质 基本思想：代入式验证。 基本思想：代入式验证。

18. 定理7设 是（5.15）的基解矩阵， 是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表示为 这里 是确定的常数列向量. 2、非齐线性微分方程组解的结构 基本思想：代入式验证？利用性质2。

19. 注 释 由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变易方法求（5.14)的一个解。

20. 定理８ 设 是（5.15）的基解矩阵， 则向量函数 是（5.14）的解，且满足初始条件： . 分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初始条件 的解 可由下面公式给出 (5.15)满足初始条件 的解 公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易法。

21. 例2：试求初值问题 的解。 解：1、因为 是对应齐线性方程组的基解矩阵；

22. 2、由定理8，求满足初始条件 的解

23. 3、求题设初始条件 的解（利用解的结构定理）. 原方程的解为

24. 求非齐次线性微分方程组求解基本步骤： 1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵； 2、求初始条件为0的解； 3、再求初始条件的解； 理论基础：定理7和定理8（解的结构定理。） 注：n阶线性微分方程的求解（推论3）； 是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）

25. 3、应用（n阶非线性微分方程解的结构） (1)、推论3如果 是区间 上的连续函数， 是区间 上齐线性方程 的基本解组，那么，非齐线性方程 的满足初始条件 的解由下面公式给出

26. 这里 是任意常数． 其通解为： 基本方法：常数变易法

27. 这里 是任意常数． （2） 特殊情况，n=2时的常数变易方法的公式 其通解为：

28. 例3：试求方程 的一个解。 解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组； 第二步:求特解； 第三步:求任一解。 作业：p216-217 1,3,6,7,8,9,10(1,2)