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行列式

行列式. 排列定義： 對整數集合 {1,2, … , n } 中的元素依照沒有省略且重複的原則作一重新的整理安排。. 註： 1. 若整數集合有 n 個元素 {1,2, … , n } ，通常我們會以符號 { j 1 , j 2 , … , j n } 表示此整數集合 {1,2, … , n } 的一般排列，其中 j i 表式排列之第 i 個整數。理論上，含有 n 個元素的整體集合共有 n ! 種排列情形。

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行列式

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Presentation Transcript

  1. 行列式

  2. 排列定義： 對整數集合{1,2,…,n}中的元素依照沒有省略且重複的原則作一重新的整理安排。 註： 1. 若整數集合有n個元素{1,2,…,n}，通常我們會以符號{j1,j2, …,jn}表示此整數集合{1,2,…,n}的一般排列，其中ji表式排列之第i個整數。理論上，含有n個元素的整體集合共有n!種排列情形。 2. 在所有排列情形中，若較大整數擺在較小整數之前，則稱此排列有一個倒置，又在jk之後且小於jk，k=1,2, …,n-1之整數個數的和，稱為該排列之倒置總個數。

  3. 例：在排列(6,1,3,4,5,2)中 j1=6且小於j1的整數有5個 j2=1且小於j2的整數有0個 j3=3且小於j3的整數有1個 j4=4且小於j4的整數有1個 j5=5且小於j5的整數有1個 故可得排列(6,1,3,4,5,2)得倒置個數為5+0+1+1+1=8。

  4. 定義： 若排列的倒置個數為偶數時，則此排列稱為偶排列(even permutation)；而若排列的倒置個數為奇數時，則此排列稱為奇排列(odd permutation)。

  5. 基本乘積定義(elementary product) 若A為一n×n矩陣，則矩陣A中不同列且不同行之任意n個元素相乘積稱為基本乘積。 註：若排列{j1,j2, …,jn}為一偶排列，則基本乘積a1j1,a2j2,…,anjn將乘以”+1”；若排列{j1,j2, …,jn}為一奇排列，則基本乘積a1j1,a2j2,…,anjn將乘以”-1”，此結果稱為矩陣A之符號基本乘積(signed elementary product)。

  6. 行列式定義(determinant) 方陣A所有符號基本乘積的和稱為方陣A的行列式，且將以符號表示如下

  7. 例：計算下列矩陣之行列式值 解： det(A)=1×4-2×3=4-6=-2 det(B)=45+96+84-105-48-72=225-225=0

  8. 餘因子定義(cofactor) 設A為一方陣，則Mij表是由方陣A移去第i列及第j行之元素後所剩餘之子矩陣的行列式稱為元素aij之子行列式(minor)而Cij=(-1)i+jMij稱為元素aij之餘因子。

  9. 餘因子展開式 若A為一n×n矩陣，則矩陣的行列式可將任一列(或行)裡之每一元素乘其餘因子後相加，即 det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…ainCin det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj

  10. 例：設矩陣 試利用矩陣A之第一行、第三行及第一列、第三列的餘因子展開式計算det(A)？ 解：

  11. 性質：設A為一方陣，則det(A)=det(AT) 例：若矩陣 試求det(A)及det(AT)，並比較其結果？ 解：

  12. 性質：設A為一n×n矩陣 (1) 若B為A之任一單列(行)乘以k倍後之矩陣，則det(B)=kdet(A) (2) 若B為A之兩列(行)互換後的矩陣，則det(B)=-det(A) (3) 若B為A之某一列(行) 乘以k倍後加至另一列(行)後之矩陣，則det(B)=det(A)

  13. 例：求 的行列式值？ 解：

  14. 性質：設E為任意n×n階的基本矩陣 (1) 若E為In之任一單列(行)乘以k倍，則det(E)=k (2) 若E為In之任兩列(行)互換，則det(E)=-1 (3) 若E為In之一列(行)乘以k倍後加至另一列(行)，則det(E)=1

  15. 性質：設E為任意n×n階的基本矩陣，而A為任意n×n階的矩陣，則性質：設E為任意n×n階的基本矩陣，而A為任意n×n階的矩陣，則 det(EA)=det(E)det(A)

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