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方程与几何综合 题选讲

方程与几何综合 题选讲. 复习要点 例题精析 考题演练. 复习要点. 1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题;. 2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来, 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化. 例题精析. 【 例 2】 已知 AB 是半圆 O 的直径, AC 切半圆于 A,CB 交⊙ O 于 D,DE 切⊙ O 于 D,BE⊥DE, 垂足是 E,BD=10,DE、BE 是方程 x 2 -2(m+2)x+2m 2 -m+3=0 的两个根( DE<BE), 求 AC 的长. 【解析】

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方程与几何综合 题选讲

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Presentation Transcript


  1. 方程与几何综合题选讲 复习要点 例题精析 考题演练

  2. 复习要点 1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题; 2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来, 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.

  3. 例题精析

  4. 【例2】已知AB是半圆O的直径,AC切半圆于A,CB交⊙O于D,DE切⊙O于D,BE⊥DE,垂足是E,BD=10,DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE<BE),求AC的长.【例2】已知AB是半圆O的直径,AC切半圆于A,CB交⊙O于D,DE切⊙O于D,BE⊥DE,垂足是E,BD=10,DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE<BE),求AC的长. 【解析】 已知半径,一般先构造90°的圆周角, 故可以连AD,由此可容易 推得Rt△BDA∽Rt△BAC∽Rt△BED,由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组,解之,于是Rt△BED可解.欲求AC,只要先求出AB,而这通过相似三角形易求得.

  5. 解:∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE<BE)且BE⊥DE,BD=10解:∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE<BE)且BE⊥DE,BD=10 连接AD,∵AB是直径∴∠ADB=90° ∵DE是⊙O的切线∴∠EDB=∠DAB ∴Rt△BDE∽Rt△BAD ∴∠ABC=∠DBE, ∴ ∴AB= ∵AC切⊙O于A∴∠CAB=90° ∴Rt△CAB∽Rt△DEB ∴ ∴AC=

  6. 【例3】已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.【例3】已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长. 【分析】AB、AC是方程的两根,则根据根与系数的关系以及△ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程,即可求得k的值;而△ABC为等腰三角形,则要通过分类讨论三种情形,并且使分类不重不漏,再由其他条件确定k值,从而求得等腰三角形的周长.

  7. 解:(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 ∴AB+AC=2k+3,AB·AC=k2+3k+2 又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=5 ∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 ∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2 当k=-5时,方程为x2+7x+12=0 解得x1=-3,x2=-4(舍去) 当k=2时,方程为x2-7x+12=0 解得x1=3,x2=4 ∴当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

  8. (2)若△ABC是等腰三角形,则有①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC三种情况.(2)若△ABC是等腰三角形,则有①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC三种情况. ∵Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0 ∴AB≠AC,故第一种情况不成立; 当AB=BC,或AC=BC时,5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根 即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0 ∴k1=3或k2=4 当k=3时,x2-9x+20=0,x1=4,x2=5 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、4,周长是14. 当k=4时,x2-11x+30=0∴x1=5,x2=6 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、6,周长为16, 故当k=3或k=4时,△ABC为等腰三角形,周长分别为14或16.

  9. 【例4】已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,tan A、tan B是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根, 求:(1)求k的值;(2)若c=10,且a>b,求a、b的值. 【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k的值;再利用三角函数知识可求出a、b的边长. 解:(1)∵tan A·tan B=12k2-37k+26 则由∠C=90°知A+B=90°即tan A·tan B=1 ∴12k2-37k+26=1∴(12k-25)(k-1)=0 ∴k=25/12或k=1 当k=1时 ,方程变为x2-x+1=0因Δ<0∴不合题意舍去 当k=25/12,方程变为x2-25/12x+1=0 因Δ>0∴成立 ∴k的值为25/12.

  10. (2)又∵tan A+tan B=k∴tan A+ ∴(tanA)2- (tan A)+1=0∴12(tan A)2-25(tan A)+12=0 ∴tan A=3/4或tan A=4/3 又∵a>b∴tan A=a/b>1∴tan A=4/3 ∴

  11. 【例5】如图所示,锐角三角形ABC内接于⊙O,高AD、BE交于点H,过点A引圆的切线与直线BE交于点P,直线BE交⊙O于另一点F,AB12的长是关于x的方程【例5】如图所示,锐角三角形ABC内接于⊙O,高AD、BE交于点H,过点A引圆的切线与直线BE交于点P,直线BE交⊙O于另一点F,AB12的长是关于x的方程 x2- x+ (sin2C- sin C+1)=0的一个实数根. (1)求∠C的度数与AB的长; (2)设BH=x,BP=y,①求y与x间的函数关系式;②当y=3 时,试判断△ABC的形状,并说明理由.

  12. 【分析】 (1)利用根的判别式△≥0可迅速求得; (2)要寻找y与x的关系式,就要寻找y、x所在的两个 三角形相似,故即证△PBA∽△ABH;再利用y与x的关 系式,已知y值即可求出x的值.在Rt△AHE和Rt△ABE中 运用勾股定理及三角函数知识求出HE、BE的长度,最后 计算出∠BAC=60°=∠C即可.

  13. 解:(1)∵方程有实根∴Δ=(-1/2)2-4×1×1/4(sin2C-3sin C+1)≥0 即-(sin C- )2≥0∴sin C= ,∠C=60° 由Δ=0知x1=x2,而x1+x2=2x1=1/2∴x1=1/4 即AB12=14∴AB=3. (2)①∵AD⊥BC,BE⊥AC ∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90° 又∵PA切⊙O于A∴∠PAC=∠ABC ∴∠P=∠ABH∴△PBA∽△ABH ∴ x即y=

  14. ②当y= 时,即 在Rt△DAC中,∵∠C=60°∴∠DAC=30° 在Rt△AHE中,设HE=m,则AH=2m,AE= m 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2 ∴ =32∴m=- (舍)m= ∴BE=HE+HB= ∴sin ∠BAE= ∴∠BAE=60°∴∠BAE=∠C=60° ∴△ABC为等边三角形.

  15. 解:设两直角边长为a、b,则 a2+b2=(a+b)2-2ab=(m-1)2-6(m+2)=132 ∴m=18或m=-10 又∵a+b=m-1>0∴m>1∴m=-10舍去 ∴a+b=m-1=18-1=17 ∴r= (a+b-13)= (17-13)=2. 考题演练 1.斜边长为13的直角三角形的两直角边长为方程x2-(m- 1)x+3(m+2)=0的两根,求其内切圆的半径r.

  16. 解:∵a、b是方程x2-mx+2m-2=0的两个根 ∴a+b=m,ab=2m-2. 在Rt△ABC中,由勾股定理得a2+b2=c2 即(a+b)2-2ab=25. ∴m2-2(2m-2)=25∴m=7或m=-3(舍) 当m=7时 ,原方程x2-7x+12=0∴x=3或x=4. 假设a=3则sin A=ac= ∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为 . 2.(2002年·北京东城区)在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边c=5,两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.

  17. 3.(2002年·济南卷)在等腰三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,已知a=3,b、c是关于x的方程x2+mx+2- m=0的两个实数根,求△ABC的周长. 解:Δ=m2-4(2-12m)=m2+2m-8 ∵方程有两个实数根∴Δ≥0∴m2+2m-8≥0 ∴m≤-4或m≥2 又∵b、c是x2+mx+2- m=0的两个实数根 ∴b+c=-mbc=2- m ①当b、c为腰时即b=c ∴ 而此时m=-4有意义. ∴周长=a+b+c=3+2+2=7.

  18. ②当b、c中只有一个为腰时,不妨设b为腰,则有b=a=3②当b、c中只有一个为腰时,不妨设b为腰,则有b=a=3 ∴ 而此时m=225有意义. ∴周长=a+b+c=3+3+75=375. 综上所述,周长为7或375.

  19. 欢迎交流!

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