Tema 2 Autómatas finitos

1. Tema 2 Autómatas finitos 1. Autómata finito determinista Formas de Representación de un AFD Diagrama de transiciones Tabla de transiciones 2. Autómata finito no determinista Equivalencia AFN - AFD 3. Autómata finito no determinista con transiciones vacías Equivalencia AF - AFD 4. Equivalencia Autómatas finitos-Gramáticas Regulares

2. Autómata finito determinista conjunto de estados finales F Q control finito estado inicial, q0 Q A = (Q, , , q0, F) ... a1 a2 a3 an función de transición : Q   Q alfabeto conjunto de estados Extensión de  a palabras (: Q *  Q):

3. Formas de Representación de un AFD A = ({q0 , q1 , q2), {a, b},  , q0 , {q1}) con: (q0 ,a) = q1, (q0 , b) = q2 , (q1 ,a) = q2, (q1 ,b) = q0 , (q2,a) = q2, (q2,b) = q2 Diagrama de transiciones Tabla de transiciones a a b q0 q1 q2 q1 q2 q0 q2 q2 q2 q0 q1 b b a q2 a, b Lenguaje aceptado: L(A) = {x *: (q0 , x)  F}

4. Autómata finito no determinista conjunto de estados finales F Q estado inicial, q0 Q A = (Q, , , q0, F) función de transición : Q   2Q alfabeto conjunto de estados Extensión de  a cadenas (: Q *  2Q)

5. Ejemplo de AFN A = ({q0 , q1 , q2), {a, b, c},  , q0 , {q0, q1, q2}) con: (q0 ,a) = {q0, q1, q2}, (q0 , b) = {q1, q2}, (q0 ,c) = {q2}, (q1 ,a) = , (q1, b) = {q1, q2}, (q1,c) = {q2 }, (q2 ,a) = , (q2, b) = , (q2,c) = {q2 }. Tabla de transiciones a b c q0 {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2} q1  {q1, q2} {q2 } q2   {q2 } Diagrama de transiciones Lenguaje aceptado: L(A) = {x *: (q0 , x)  F   }

6. Equivalencia AFN - AFD Dado un lenguaje L aceptado por un AFN, existe un AFD que acepta L. Paso de AFN a AFD a b c a,b b,c q0 q1 q2 a,b,c a b c {q0 } {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2} {q0, q1, q2} {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2} {q1, q2}  {q1, q2} {q2} {q2}   {q2}    

7. a b c {q0 } {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2} {q0, q1, q2} {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2} {q1, q2}  {q1, q2} {q2} {q2}   {q2} a,b,c a p1 b b a a a,b c p0 p2 b c c c p3

8. Autómata finito no determinista con transiciones vacías conjunto de estados finales F Q estado inicial, q0 Q A = (Q, , , q0, F) función de transición : Q ( {}) 2Q alfabeto conjunto de estados   -clausura de un estado  Lenguaje aceptado: L(A) = {x *: (q0 , x)  F   }

9. Equivalencia AF - AFD -Dado q Q, -clausura(q) es el conjunto de estados a los que se puede llegar desde q sin consumir símbolos. -Dado P  Q -clausura(P )= pP -clausura(p) Extensión a cadenas de la función de transición -’(q, ) = -clausura(q) -’(q, xa) = -clausura(p ’(q , x) (p, a) ) Dado A = (Q, , , q0, F) AF , construimos A’ = (Q, , ’, q0, F’) con F’ = F {q0} si -clausura(q0)  F   F en caso contrario Se cumple que L(A) = L(A’ )

10. Ejemplo de AF- A = ({q0 , q1 , q2 , q3), {0, 1},  , q0 , {q0}) con: Tabla de transiciones 0 1 q0   {q1} q1  {q3} {q2 } q2 {q1}{q2}  q3  {q3} {q0} Diagrama de transiciones Lenguaje aceptado: L(A) = {x * : (q0 , x)  F   }

11. Equivalencia Autómatas finitos-Gramáticas Regulares Si L es un lenguaje regular, L es aceptado por un A. Finito -Dada G = (N, , P, S) lineal por la derecha con L = L(G) se construye un AFA = (Q, , , q0, F) con L(A) = L(G): Q = N {X}, X N; q0= S; F ={X}. Función de transición: 1.  (A  aB) P se define B  (A, a); A,B  N; a   {} 2.  (A  a) P se define X  (A, a); A  N; a   {} 3. a   {} se define (A, a) = 

12. Equivalencia Autómatas finitos-Gramáticas Regulares Si L es aceptado por un A. Finito, L es un lenguaje regular. -SeaA = (Q, , , q0, F) un AF tal que L = L(A) se construye una G = (N, , P, S) lineal por la derecha con L = L(G): N = Q; S = q0 El conjunto de reglas de producción se construye: 1.  q’  (q, a) se define (q  aq’)  P ; q,q’  Q; a   {} 2. q F se define (q  )  P