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运筹学 Operations Research

运筹学 Operations Research. Chapter 2 线性规划 Linear Programming. 2.1 LP 的数学模型 Mathematical Model of LP 2.2 图解法 Graphical Method 2.3 标准型 Standard form of LP 2.4 基本概念 Basic Concepts 2.5 单纯形法 Simplex Method. 2.1 数学模型 Mathematical Model. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP.

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Presentation Transcript

  1. 运筹学 Operations Research Chapter 2 线性规划 Linear Programming 2.1 LP的数学模型Mathematical Model of LP 2.2 图解法Graphical Method 2.3 标准型Standard form of LP 2.4 基本概念Basic Concepts 2.5 单纯形法Simplex Method

  2. 2.1 数学模型 Mathematical Model

  3. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 2.1.1 应用模型举例 【例2.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表2.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？

  4. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 表2.1 产品资源消耗

  5. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 【解】 设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量, 则 数学模型为： 最优解X=(50,30,10); Z=3400

  6. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 【解】 设( j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 【例2.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表2.2所示。 表2.2 营业员需要量统计表 问：商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少？

  7. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

  8. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 线性规划数学模型的特征： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是 求最大值或最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 线性规划数学模型的三要素： 决策变量( Decision variables);目标函数(Objective function); 约束条件(Constraints); 建立一个问题的线性规划模型的一般步骤： • 确定决策变量； (2)确定目标函数； • (3)确定约束条件； (4)确定变量是否有非负约束。

  9. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 【例2.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7(m)，这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表2.3所示。

  10. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 1.5y1+y2+0.7y3 ≤ 4 表2. 3 下料方案 设xj ( j = 1,2…,10)为第 j 种下料方案所用圆钢的根数，则用料最少数学模型为:

  11. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

  12. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 注 意 • 求下料方案时，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。

  13. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 2.1.2 线性规划的一般模型 一般地，假设线性规划数学模型中,有m个约束,有n个决策变量xj(j=1,2…,n)，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi 表示，bi 称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成

  14. 2.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP 为了书写方便，上式也可写成： 在实际中一般xj≥0, 但有时 xj≤0或 xj 无符号限制。

  15. 2.2 图解法 Graphical Method

  16. 2.2 图解法 The Graphical Method 图解法的步骤： 1. 在直角坐标系中画出可行解集：分别画出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集，或称可行域；； 2. 绘制目标函数图形：先过原点作一条矢量指向点(c1,c2 )，矢量的方向就是目标函数值增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形； 3. 求最优解：依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线， 直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。 一般地，先将目标函数直线放在可行域中： 若要求最大值，则将目标函数直线沿着矢量方向移动； 若要求最小值，则将目标函数直线沿着矢量的反方向移动。

  17. 2.2 图解法 The Graphical Method x2 例1.4 40 30 20 最优解X=(15,10) (15,10) 最优值Z=85 (3,4) 10 O x1 40 10 20 30

  18. 2.2 图解法 The Graphical Method min Z=x1+2x2 x2 例2. 5 6 4 最优解X=(3,1) 最优值Z=5 (3,1) (1,2) 2 x1 4 2 6

  19. 2.2 图解法 The Graphical Method 例2.6 min Z=5x1+5x2 x2 6 有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为 X（1）＝（1,3） 4 0≤α≤1 X（2）＝（3,1） 当α=0.5时 Ｘ=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 2 (5,5) x1 4 6 2

  20. 2.2 图解法 The Graphical Method x2 例1.7 max Z=x1+2x2 6 4 无界解(无最优解) 2 (1,2) x1 4 2 6

  21. 2.2 图解法 The Graphical Method x2 50 例2.8 max Z=10x1+x2 40 30 20 无可行解，从 而无最优解。 10 O x1 10 30 20 50 40

  22. 2.2 图解法 The Graphical Method 由以上例题可知，线性规划的解有4种形式： 1.有惟一最优解(例1.4、例1.5) 2.有多重解(例1.6) 3.有无界解(例1.7) 4.无可行解(例1.8) 1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解

  23. 2.2 图解法 The Graphical Method 1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子； 2.线性规划数学模型的组成及其特征； 3.线性规划数学模型的一般表达式。 4.通过图解法了解线性规划有几种解的形式； 5.作图的关键有三点： (1)可行解区域要画正确； (2)目标函数增加的方向不能画错； (3)目标函数的直线怎样平行移动。 作业：教材P33－34 3、7 (2) 下一节：线性规划的标准型

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