Download
1 / 74
860 likes | 1.2k Views
تئوری الاستیسیته. Theory of Elasticity. كريم عابدي. فصل دوم: روابط و معادلات بنيادي و ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی. فصل دوم - بخش اول: روابط و معادلات بنيادي. بخش اول : روابط و معادلات بنیادی. 1 - مقدمه.
E N D
تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي
فصل دوم: روابط و معادلات بنيادي و ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
فصل دوم - بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بخش اول : روابط و معادلات بنیادی 1 - مقدمه در بخش اول فصل پيشين، وضعيت تنش در نقطه اي اختياري (Arbitrary Point) از يك جسم كه تحت اثر نيروهايي قرار دارد، مورد بررسي و مطالعه قرار گرفت و ضمن استخراج تانسور تنش، خواص مختلف آن تشريح گرديد. در بخش دوم فصل پيشين، وضعيت كرنش (يا تغيير شكل نسبي) در نقطه اي اختياري مورد مطالعه قرار گرفت و اين در حالي بود كه اصولاً هيچ سؤالي در مورد علت ايجاد يا عامل بوجود آورنده تغيير شكل مطرح نگرديد. اساساً مسأله بررسي كرنش در نقطه اي دلخواه از يك جسم، يك مسأله صرفاً رياضي بود. اما واقعيت اين است كه تغيير شكل جسم به علت تحريك جسم توسط عاملي كه به آن كنش (Action) گفته مي شود، بوجود مي آيد. اين كنش ممكن است مستقيماً به صورت نيرو بوده و يا اينكه عاملي ديگر مانند درجه حرارت باشد كه در هر صورت علت پيدايش ميدان تنش است.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي يكي از قدم هاي اساسي در حل مسائل الاستيسيته، استخراج معادلاتي است كه اجزاء تانسور كرنش را به اجزاء تانسور تنش مربوط مي سازند. چنين معادلاتي كه ممكن است به عنوان تعميم قانون هوك به آنها توجه شود، به نام معادلات بنيادي (Fundamental Equations) خوانده مي شود. برای ارتباط تنش در یک نقطه در یک مصالح مادی با کرنش متناظر در آن نقطه، خواص مصالح (Material Properties)مورد نیاز می باشند. این خواص در معادلات بنیادی یا روابط تنش - کرنش به عنوان ضرایب مصالح (Material Coefficients) وارد می شوند. هدف در اين فصل بررسي اوليه معادلات بنيادي يا شناسايي روابط بين تنش و كرنش در مورد مصالح ارتجاعي ايزوتروپيك است تا با شناخت آنها كليه مقدمات لازم براي حل مسائل الاستيسيته فراهم شده باشد.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي مبناي نظري استخراج روابط و معادلات بنيادي مذكور، قانون اول ترموديناميك (First Law of Thermodynamics) است. قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه مجموع كار انجام يافته در يك سيستم مكانيكي به وسيله نيروهاي خارجي و نيز گرمايي كه از بيرون به درون سيستم جريان مي يابد، برابر است با مجموع افزايش انرژي داخلي و افزايش انرژي جنبشي. به طور نمادين قانون اول ترموديناميك (كه در واقع بيان دقيق قانون بقاي انرژي است) به صورت زير بيان مي شود: كه در آن: كار انجام يافته در يك سيستم به وسيله نيروهاي خارجي، گرمايي كه به داخل سيستم جريان مي يابد، افزايش در انرژي داخلي، افزايش در انرژي جنبشي.
فصل دوم – بخش اول : روابط و معادلات بنيادي 2- انرژي كرنشي (ارتجاعي) در اجسام الاستيك هنگامي كه يك جسم الاستيك تحت اثر نيرو قرار مي گيرد، نه تنها در هر نقطه آن تنش ايجاد مي شود، بلكه اين نيروها باعث مي شود كه جسم تغيير شكل (Deformation) داده و وضعيت نقاط مختلف آن نسبت به يكديگر با وضعيت اوليه تفاوت كند. تغيير نقطه اثر نيروهاي اعمالي به سيستم باعث مي شود كه در هنگام اعمال اين نيروها مقداري كار انجام گيرد. كار مزبور كه توأم با تغيير شكل جسم در وضعيت تنش مي باشد باعث ذخيره مقداري انرژي به صورت انرژي ارتجاعي در جسم مي گردد. هرگاه رفتار جسم يك رفتار الاستيك باشد با حذف نيروهاي خارجي انرژي ارتجاعي نيز آزاد شده و هيچ نوع تغيير شكلي در جسم باقي نمي ماند. مطالعه در مورد انرژي ارتجاعي با بهره گيري از قانون اول ترموديناميك قابل درك بوده و فرموله كردن آن ممكن مي گردد.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي براي اعمال قانون اول ترموديناميك يك جسمي را در نظر مي گيريم كه تحت اثر بارهاي وارده در حال تعادل است. جسم مذكور داراي حجم V و سطح بسته (Closed Surface)S است و نيروهاي وارد بر آن عبارتند از: نيروهاي سطحي (Surface Forces)که به وسیله توزیع تنش در سطح S نمایش داده می شود و نيروهاي حجمي (Body Forces)که به وسیله توزیع نیروهای حجمی در واحد حجم (يعني ) مشخص میشود. فرض بر اين است كه تغيیر مكان نقاط جسم معلوم است و به وسيله مؤلفه هاي تغيير مكان u و v و w در هر نقطه در راستاي مختصات دكارتي x و y و z مشخص مي شود. اكنون به هر نقطه اي از جسم، نموهاي بي نهايت كوچك به مؤلفه هاي تغيير مكان u وv و w كه با و ونشان داده مي شوند اعمال مي شود. مؤلفه هاي تنش در هر نقطه از جسم در اثر اعمال تغيير مكان هاي كوچك و و دست نخورده و ثابت در نظر گرفته مي شوند.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي اين تغييرات تغيير مكان اختياري مي باشند، جز اينكه دو يا چند ذره نمي توانند نقطه يكساني را در فضا اشغال نمايند يا اينكه يك ذره منفرد نمي تواند بيش از يك نقطه در فضا را اشغال نمايد (به عبارت ديگر جسم پاره نمي شود). به علاوه، تغيير مكان هاي نقاط مشخصي (مانند شرايط تكيه گاهي) از پيش تعيين شده مي باشند. تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان هاي و و عبارتند از:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي براي شرايطي كه جريان حرارت به داخل حجمVوجود نداشته باشد( ) و نيز تعادل ايستايي ) )، قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه هنگام تغييرات تغيير مكان و و ، تغيير در كار نيروهاي خارجي برابر است با تغييرات انرژي داخلي : ساده تر خواهد بود كه به دو قسمت تقسيم شود: كار نيروهاي سطحي و كار نيروهاي حجمي .
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي در نقطه P از سطح S، يك مساحت نموي ds را در نظر مي گيريم. بردار تنش كه در سطح ds عمل مي كند داراي سه مؤلفه و و مي باشد. نيروي سطحي مساوي است با حاصل ضرب مؤلفه هاي تنش و ds. كار نيز برابر است با مجموع كار اين نيروها در روي سطح S. از طرف ديگر مي دانيم كه:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بنابراين به صورت زير بدست مي آيد: براي يك عنصر حجمي بي نهايت كوچك dv، نيروي حجمي به وسيله حاصل ضرب dV و مؤلفه هاي نيروي حجمي در واحد حجم (يعني )مشخص مي شود. بنابراين داريم: انتگرال روي سطح (مربوط به نيروهاي سطحي) را مي توان با استفاده از قضيه ديورژانس به انتگرال روي حجم تبديل نمود.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي طبق قضيه ديورژانس داريم: كه در آن n بردار يكه عمود بر سطح S و به سمت خارج در هر نقطه مي باشد كه به صورت زير نيز نمايش داده مي شود: اگر قضيه ديورژانس را به عبارت مربوط به اعمال كنيم خواهيم داشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي با داشتن تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان و و و معادلات ديفرانسيل تعادل، رابطه نهايي زير براي به دست مي آيد: يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي انرژي داخلي U براي حجم V بر حسب انرژي داخلي در واحد حجم كه چگالي انرژي داخلي ناميده مي شود بيان مي گردد. به عبارت ديگر داريم: تغيير انرژي داخلي به صورت زير در مي آيد: با توجه به قانون اول ترموديناميك داريم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت: در حالت کلی می توان گفت که چگالی انرژی کرنشی تابعی است از نه مولفه تانسور کرنش. پس مي توان نوشت: بنابراین اگر تغییرات δu و δv و δw در تغییرمکان های u و v و w اعمال شوند، در این صورت مولفه های کرنش نیز تغییرات δexx و δeyy... را به خود می گیرند و در نتیجه تغییر در چگالی انرژی کرنشی به صورت زیر در می آید:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي با توجه به روابط استخراج شده و مقايسه آنها مي توان به صورت نماد انديسي نوشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي 3- رابطه تنش - كرنش در اجسام ارتجاعي خطي در حالت كلي تابع چگالي انرژي كرنشي ارتجاعي در اجسام ارتجاعي را مي توان با چند جمله اي درجه n از نشان داد. به عبارت ديگر داريم: كه در آن تعداد جملات درجه صفر، يك جمله و تعداد جملات درجه يك، نه جمله و... و تعداد جملات درجه n، مي باشد. مي توان نوشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي از طرفي داريم: با فرض خطي بودن رابطه تنش و كرنش در تئوري الاستيسيته، رابطه مذكور به شكل زير درمي آيد: چون در تمامي اجسام ارتجاعي، هنگامي كه كليه مؤلفه هاي كرنش صفر باشند، تنش ها نيز مساوي صفر مي باشند، بنابراين ضرايب بايد مساوي صفر باشند. در اين صورت رابطه تنش و كرنش براي اجسام ارتجاعي خطي در نهايت به صورت زير به دست مي آيد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي و در اين حالت چگالي انرژي داخلي عبارت است از: بنابراين انرژي داخلي اجسام ارتجاعي خطي، تابع درجه دوم از كرنش مي باشد. در عبارت مربوط به ، در ضرايب ، چون هريك از انديس ها مي تواند سه مقدار داشته باشد، پس تعداد آنها 81 عدد مي باشد (تانسور از مرتبه 4). بنابراين برای تعیین رابطه بین تنش و کرنش در اجسام ارتجاعی، نیاز به شناسایی 81 ضریب بوده و بنابر این باید 81 آزمایش انجام گیرد. البته بعدا ثابت خواهد شد که با استفاده از تقارن تانسورهای کرنش و تنش و تانسور مشخصه مصالح ، این ضرایب به 21 تقلیل پیدا می کنند.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي رابطه بين تنش و كرنش را مي توان به صورت ماتريسي زير نشان داد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي كه با نماد ماتريسي به صورت زير نشان داده مي شود: كه در آن ماتريس C ماتريس ضرايب مصالح يا ماتريس ضرايب الاستيك يا ماتريس مشخصه مصالح ناميده مي شود. چون تانسور تنش متقارن است به عبارت ديگر ، از اينرو داريم : چون دو رابطه مذكور به ازاي كليه مقادير كرنش ها صادق می باشند، از اينرو بايد داشته باشيم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بدين ترتيب تعداد 18 ضريب ديگر كاهش مي يابد و در نهايت تعداد ضرايب به 36 عدد تقليل مي يابد. پس نتيجه مي گيريم كه در ضرايب ، زوج اول انديس ها خاصيت جابجايي دارند. بدين ترتيب تعداد 27 ضريب كاهش پيدا مي كند. از طرف ديگر چون تانسور كرنش متقارن است به عبارت ديگر ، از اينرو مي توان نوشت كه: به عبارت ديگر دومين زوج انديس ها نيز در ضرايب خاصيت جابجايي دارند.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي اما مي توان نشان داد كه ماتريس C حاصل با 36 ضريب متقارن است. به عبارت ديگر دو زوج انديس هاي اول و دوم خاصيت جابجايي دارند. تقارن ماتريس C را مي توان به صورت زير اثبات نمود: اما مي دانيم كه:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بدين ترتيب تعداد ضرايب ماتريس C به 21 كاهش مي يابد. چون مولفه های تانسورهای تنش و کرنش در یک نقطه یا نقاطی از جسم تابع جهت محورهای مختصات می باشند، ضرایب نیز تابعی از جهات محورهای مختصات بوده و می توان ثابت کرد که اگر محورهای مختصات جدید Ox'1با کوسینوس های هادی n11و n21 و n31و Ox'2با کوسینوس های هادی n12و n22 و n32و Ox'3با کوسینوس های هادی n13و n23 و n33را در نظر بگیریم، در اين صورت ضرايب C در اين دستگاه مختصات جديد به وسيله رابطه زير بيان مي گردند (برای تانسور از مرتبه 4): یاد آوری می شود که برای تبدیلات برداری (تانسور از مرتبه اول) داریم: برای تبدیلات تانسور تنش و کرنش (تانسور از مرتبه دوم) نیز داریم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي 4- اثر صفحات و محورهاي تقارن بر ضرايب در قسمت قبلي نشان داده شد كه در حالت كلي (يعني براي اجسام غير ايزوتروپيك كه در ساختمان داخلي آنها هيچ گونه تقارني مشاهده نمي شود)، مؤلفه هاي تنش توسط 21 ضريب برحسب كرنش بيان مي شوند. اكثر مواد داراي نوعي تقارن در ساختمان داخلي خود هستند و اين تقارن باعث تقليل تعداد ضرايب الاستيك ماده به كمتر از 21 مي گردد. در اين قسمت تقارن در ماده را مورد بررسي قرار مي دهيم تا روشن شود كه با توجه به نوع تقارن تعداد ضرايب الاستيك تا چه تعداد تقليل پيدا مي كند.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي اجسام الاستيك را از نظر تقارن به سه نوع مي توان تقسيم بندي كرد: • اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه، • اجسام ارتوتروپيك با تقارن نسبت به دو سطح متعامد، • - اجسام ايزوتروپيك با تقارن نسبت به دو محور متعامد (به بياني ديگر موادي كه داراي دو محور تقارن متعامد باشند، اين خاصيت را دارند كه ضرايب ارتجاعي آنها مستقل از محورهاي مختصات می باشند). مبنای تعیین اثر صفحات و محورهای تقارن برضرایب رابطه زیر است: اکنون به عنوان یک نمونه، حالت اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي الف) مواد مونوكلينيك رفتار اين مواد، داراي خاصيت تقارن نسبت با يك سطح با بردار يكه مشخص مي باشد. فرض مي كنيم كه رفتار ماده نسبت به يكي از سطوح محورهاي مختصات مثلاً سطح Ox1x2 متقارن مي باشد. اين تقارن بدين معني است كه با تغيير دادن محور Ox3 در خلاف آن، يا به عبارت ديگر تغيير محورهاي Ox1x2x3 بهOx1'x2'x3' مطابق شكل زير، تغييري در ضرايب ايجاد نمي گردد.
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي كوسينوس های هادی محورهاي جديد نسبت به قديم عبارتند از: (n11=1, n21=0, n31=0)و (n12=0, n22=1, n32=0)(n13=0, n23=0, n33= -1). با استفاده از رابطه تعيين به عنوان مثال بايد داشته باشيم: كه رابطه اش به ازاي كليه مقاديرiو j و k و l صحت دارد. چون فقط سه مؤلفه كوسينوس هاي هادی مخالف صفر داريم. يعني1 n11 = و n22 =1 و1 -= n33. از طرف ديگر به عنوان مثال بايد داشته باشيم: كه غير ممكن است، چون:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بنابراين براي اينكه ضرايب تغيير نيابد، بايد بالاجبار مساوي صفر باشد. به همين ترتيب مي توان ثابت كرد كه و و و و و و بايد مساوي صفر باشند و در نتيجه ضرايب در اين حالت به 13 ضريب تقليل مي يابند:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي اگر صفحه تقارن، سطح Ox2x3 باشد، مي توان با استدلالي مشابه به آنچه ارائه شد، نشان داد كه باز هم ضرايب به 13 ضريب تقليل مي يابد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي به همین ترتیب برای مواد ارتوتروپيك (تقارن نسبت به سطوح Ox2x3 و Ox1x2) خواهیم داشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي ب) مواد ايزوتروپيك: مواد ايزوتروپيك موادي هستند كه خواص الاستيسيته آنها مستقل از جهات انتخاب شده براي تعريف اين خواص هستند. به عبارت ديگر مواد ايزوتروپيك داراي ضرايب ارتجاعي اند كه مستقل از جهت محورها مي باشد. به بياني ديگر موادي كه داراي دو محور تقارن متعامد باشند، اين خاصيت را دارند كه ضرايب ارتجاعي آنها مستقل از محورهاي مختصات می باشند. با تكرار استدلال هايي نظير آنچه كه آمد، مي بينيم كه در اين گونه مواد علاوه بر خاصيت تقارن نسبت به يك محور – مثلاً محور Ox3– ، تقارن نسبت به محور Ox2 و Ox3 نتايج زير را به دست مي دهد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بنابراين ضرايب ارتجاعي به دو عدد تقليل مي يابد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي 5- نمايش هاي مختلف ضرايب ارتجاعي در مورد مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك ملاحظه نموديم كه مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك را مي توان با دو ضريب مشخص نمود. اين دو ضريب به سه صورت نمايش داده مي شوند: الف) ضرايب لامه اگر پارامترهاي را كه به ضرايب لامه معروف هستند، به صورت زير در نظر بگيريم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي در اين صورت خواهيم داشت: در اين صورت رابطه ماتريسي تنش – كرنش به صورت زير در خواهد آمد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي با استفاده از قرارداد انديس هاي تكراري، رابطه بين تنش و كرنش براي مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپیک به صورت زير نوشته مي شود: مي توان نشان داد كه رابطه زیر نیز برای رابطه تنش- كرنش صحيح است:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي ب) ضرايب هوك - اگر درمورد اجسام ارتجاعي خطي ايزوتروپیک، به جاي ضرايب لامه از ضرایب E و ν به صورت زير استفاده كنيم: كهEرا مدول ارتجاعي و را ضريب پواسون مي ناميم، در اين صورت روابط تنش-كرنش به صورت زير در خواهد آمد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي كه مي توان آن را با استفاده از قرارداد انديسي به صورت زير نیز نشان داد:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي مي توان نشان داد كه رابطه تنش – كرنش زير نيز صادق است: لازم به ذكر است كه ضريب را مدول ارتجاعي برشي نيز مي نامند وآن را با Gنشان مي دهند. روابط مذكور را قانون هوك تعميم يافته مي ناميم، زيرا حالت تعميم يافته حالت يك بعدي قانون هوك است كه با رابطه نمايش داده مي شود .
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي پ) مدول حجمي و مدول برشي در ابتدا لازم است كه تغيير حجم واحد حجم يا كرنش حجمي را تعريف نماييم. كرنش حجمي عبارت است از : اگر تنش هاي وارد بر جزئي از جسم به صورت هيدرواستاتيكي باشند، يعني:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي در اين صورت با توجه به رابطه خواهيم داشت: با توجه به تعريف كرنش حجمی نتیجه مي شود كه: كه در آن k ضريب انبساط و انقباض حجمي و يا ضريب تغيير حجم ماده و یا مدول حجمی ناميده مي شود .
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي روابط تنش – كرنش را مي توان بر حسب دو ضريب k و G نيز تعريف كرد. داريم: و ، بنابراين خواهيم داشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي ت) تعيين حدود ضرايب ارتجاعي ( ) اگر ميله باريكي از مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك را تحت اثر تنش كششي قرار دهيم، بايد طول آن زياد شود. يعني ، پس با توجه به روابط تنش – كرنش خواهيم داشت: پس ضريب ارتجاعي E همواره مثبت است. اگرجزء كوچكي از مصالح مذكور را تحت تنش هيدرواستاتيكي (كشش p>0)قرار دهيم بايد حجم آن زياد شود. يعني كرنش حجمي آن بايد مثبت باشد. به عبارت ديگر . با توجه به روابط تنش - كرنش داريم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي و با توجه به رابطه خواهيم داشت : بديهي است كه اگر جسم تراكم ناپذير باشد، در اين صورت به ازاي كليه مقادير تنش هاي هيدرواستاتيك، در جسم تغيير حجمي رخ نمي دهد. يعني . در اين صورت خواهيم داشت: در آزمايش برش مستقيم، جزئي از جسم را كه تحت اثر تنش هاي برشي قرار گرفته است، در نظر مي گيريم. فرض مي كنيم كه . در اين صورت بديهي است كه خواهد بود. با توجه به روابط تنش- كرنش خواهيم داشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي چون مي باشد و است پس بايد ولي در عمل مقادير ضريب پواسون منفي در طبيعت يافت نمي شود، بنابراين مي توان نوشت:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي ث) روابط تنش – كرنش برحسب ضرايب ارتجاعي در دستگاه مختصات استوانه اي: درمختصات كروي نيز داريم :
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي 6) چگالي انرژي كرنشي اجسام ارتجاعي خطي ايزوتروپیک برحسب ضرايب ارتجاعي - قبلاً نشان داديم كه و ، اما براي خود U0، يك ضريب را نيز وارد مي كنيم. به عبارت ديگر : برحسب ضرايب داريم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي از طرف ديگر برحسب ضرايبkو G داريم: از طرف ديگر با استفاده ضرايب لامه داريم:
فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي كه از بسط نتيجه مي شود: از رابطه بالا نتيجه مي شود كه هميشه چگالي انرژي كرنشي و در نتيجه كل انرژي ذخيره شده در تمام اجسام مقداري مثبت است.
