1 / 19

a minory s ą postaci:

Ü      warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:. a minory s ą postaci:. Ü      Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero .

nailah
Download Presentation

a minory s ą postaci:

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Ü     warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: • tworzony jest Hessian:

  2. a minory są postaci:

  3. Ü     Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero. • Ü     Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana: • dla maksimum - zmieniają znaki na przemian „-”, „+”, „-”,... • dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

  4. Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz jednym warunku dodatkowym g(x1,x2,..,xn.)=0 Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x1,x2,...,xn) o własnościach analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x1,x2,...,xn)=0 tworzymy funkcję Lagrange’a: F(x1,x2,...,xn,)=f(x1,x2,...,xn)+g(x1,x2,...,xn)

  5. Ü    warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

  6. Ü     warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla:maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,...minimum - wszystkie minory powinny być dodatnieWyznacznik Hessiana ma postać:

  7. Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz wieloma warunkami dodatkowymi liniowymi gj(x1,x2,..,xn.)=cj • Dla funkcji n-zmiennych y=f(x1,x2,...,xn) oraz j-ograniczeniach dodatkowych (liniowych) gj(x1,x2,...,xn)=cjgdzie m<n; j=1,2,...,m funkcja Lagrange’a ma postać:

  8. a Hessian obrzeżony: gdzie: fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y, - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych i

  9. 1 Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. • Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x1 jest:

  10. Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać: • gdzie: • fj - pierwsze pochodne funkcji, • xjfj - warunek komplementarności.

  11. Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać: a funkcja Lagrange’a jest postaci:

  12. Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:

  13. gdzie: • i=1,2,...,m • j=1,2,...,n • Dwa pierwsze równania są podobne do warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim. • Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrange’a. • Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

  14. Dla wypukłych f(x1,...,xn) i gi(x1,...,xn) gdzie i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. • Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym.

  15. W przypadku maksymalizacji funkcji f(x1,...,xn) przy i-warunkach dodatkowych (i=1,2,...,m): gi(x1,...,xn) xj funkcja Lagrange’a ma postać:

  16. Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej postaci:

  17. Mnożniki Lagrange’a przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

  18. Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca: fj-wartość graniczna produktu, - cena korzyści czynnika i („cena cieniowa”), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki marginalnej dobra j , - marginalne koszty zastosowania czynnika i w produkcji dobra j . -agregaty marginalnychkosztów produkcji dobra j .

More Related