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教學例題 5.1

教學例題 5.1. 求曲線 y = x ( x 2 – 5) 2 於點 P (–1, –16) 的切線及法線方程。. 解. ∴ 曲線於 (1, 16) 的切線的斜率. ∴ 曲線於 (1, 16) 的切線是一條水平線。 曲線於 (  1,  16) 的切線方程為 y =  16 。 ∴ 曲線於 (1, 16) 的法線是一條鉛垂線。 曲線於 (  1,  16) 的法線方程為 x =  1 。. ( 續 ). 設所求的切線與 C 相切於點 P ( a , b ) 。

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教學例題 5.1

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  1. 教學例題 5.1 求曲線y=x(x2 – 5)2於點P(–1, –16) 的切線及法線方程。 解

  2. ∴曲線於 (1, 16) 的切線的斜率 ∴ 曲線於 (1, 16) 的切線是一條水平線。 曲線於 (1, 16) 的切線方程為 y = 16。 ∴曲線於 (1, 16) 的法線是一條鉛垂線。 曲線於 (1, 16) 的法線方程為 x = 1。 (續)

  3. 設所求的切線與 C相切於點 P(a, b)。 由於所求的切線與 3x– 2y + 6 = 0 垂直，可得： 教學例題5.2 求曲線C: y= 2x2 – 2x + 3 的一條切線方程，其中該切線與 直線3x – 2y + 6 = 0 垂直。 解

  4. (續)

  5. 曲線於 的切線方程為： (續)

  6. 設P(a, b) 為曲線 C與該切線的切點。 ∵P(a, b) 是 C上的一點。 ∴ ……(1) ∴C於 P(a, b) 的切線的斜率= 教學例題5.3 已知(–2, 4) 為位於曲線C: y = –x2 + 4x外的一點，求通過 該點並與C相切的直線方程。 解

  7. 連接 P(a, b) 和 (2, 4) 的直線的斜率 = ∴ ……(2) 從 (1) 和 (2)，可得 (續)

  8. 把 a = 6 代入 (2)，b = 2(6)2 + 12 = 60。 把 a = 2 代入 (2)，b = 2(2)2 + 12 = 4。 由此，兩切點為 (6, 60) 及 (2, 4)。 ∴C於 (6, 60) 的切線斜率= 2(6) + 4 = 16 C於 (2, 4) 的切線斜率 = 2(2) + 4 = 0 該兩條切線方程為： 即 (續)

  9. 教學例題5.4 設 f(x) = 4x3 – 3x + 2。求 x的取值範圍，使 (a) f(x) 是遞增的； (b) f (x) 是遞減的。 解

  10. + 0  0 + (續) (a) (b)

  11. 教學例題5.5 已知f(x) = 2x3+3x2 – 36x + 5。求它的局部極大值和局部極 小值。 解

  12. 的正負號表列如下： + 0  0 + 當 x遞增而經過 3 時， ∴ 局部極大值 = 由正變負。 當 x遞增而經過 2 時， ∴ 局部極小值 = 由負變正。 (續)

  13. 額外教學例題5.5 已知f(x) = –x3 + 5x2 – 3x + 1。求y=f(x) 的圖像的轉向點。 解

  14. 的正負號表列如下：  0 + 0 + 當 x遞增而經過 時， 由負變正；當 x遞增而經過 3 時， 由正變負。 (續)

  15. y = f(x) 的圖像的轉向點為 和 (3, 10)。 ∴ (續)

  16. 教學例題5.6 求曲線y=x4e–x的轉向點。 解

  17. 的正負號表列如下：  0 + 0  當 x遞增而經過 0 時， 由負變正；當 x遞增而經過 4 時， 由正變負。 當 x = 0 時， 當 x = 4 時， 曲線 的轉向點為 (0, 0) 和 (4, 256e4)。 ∴ (續)

  18. 教學例題5.7 已知 f(x) = 2x3 + 4x + 5。求 x的取值範圍，使曲線 y=f(x) 為 (a) 凹向上的； (b) 凹向下的。

  19. 的正負號表列如下：  0 + 解 當 x > 0 時，y = f(x) 是凹向上的。 (a) 當 x < 0 時，y = f(x) 是凹向下的。 (b)

  20. 教學例題5.8 已知曲線的方程為 (a) (b) 求曲線的駐點，並指出每個駐點是極大點還是極小點。

  21. 解 (a)

  22. (續)

  23. (續) (b)

  24. 當 x = 1 時， ∴ ∵ 是一個極大點。 ∴ (續)

  25. 教學例題5.9 求函數 的局部極值。 解

  26. 當 x = 0 時， ∵ (續)

  27. ∴二階導數判別法失效。因此，我們應用一階導數判別法。∴二階導數判別法失效。因此，我們應用一階導數判別法。 的正負號表列如下：  0 + ∵ 當 x遞增而經過 0 時， 由負變正。 局部極小值 = ∴ (續)

  28. 教學例題5.10 在 1 x 4 內的全局極值。 求 解

  29. (續)

  30. (續)

  31. ∴局部極大值 函數在端點的值為 及 ∴ (續)

  32. 教學例題5.11 某蛋糕店在一天中製作x 件蛋糕 (其中10 x 30) 所獲利潤 為P (以元為單位)，其中 P= 100xe0.04x。若該蛋糕店要獲得最 高利潤，求每天應製作的蛋糕數目。由此，求最高利潤。 (答案須準確至最接近的元。)

  33. 解

  34. 的正負號表列如下： + 0  ∴P在 x = 25 達至其局部極大值。 當 x = 25 時， (續)

  35. 函數在端點的值： 當 x = 10 時， 當 x = 30 時， ∴P在 x = 25 達至其全局極大值。 ∴最高利潤為 $920 及每天應製作的蛋糕數目為 25。 (續)

  36. 教學例題5.12 某無頂蓋直立圓柱容器的容量為 512cm3，半徑為 r cm 及 高度為 h cm。該容器的總表面面積為 S cm2。 (a) 試以 r表示 h。 (b) (i) 證明 (ii) 求 r和 h，使 S取得最小值。

  37. ∵該容器的容量= 512 cm3 ∴ (b) (i) 解 (a)

  38. (ii)

  39. ∴ S在 r = 8 處有一轉向點。 ∴S在 r = 8 處有一全局極小植。 ∴ 當 r = 8 及 h = 8 時，S取得小值。 (續)

  40. 額外教學例題5.12 某雜誌在 t月後的訂閱人數 x (單位為千人) 估計可以 表示。求未來一年內最高訂閱人數。

  41. 解

  42. (續)

  43. ∴x在 處有一局部極小值。 函數在端點的值： 當 t = 0 時， 當 t = 12 時， ∴當 t = 12 時，x 取得全局極大值。 ∴未來一年內最高訂閱人數為 39 千。 (續)

  44. 教學例題5.13 在圖中，△ABC是一個直角 三角形，其中 AB=x m (x> 2)， BC=y m 及 B= 90。長方形 PQRB 內接於 △ABC，使 PQ= 3 m 及 QR= 2 m。 設 △ABC的面積為 S m2。 (a) 證明 (b) 求 x和 y的值，使 S達至其極小值。 (c) 若 2.5 x 3.5，求 S 的極小值。

  45. 解 (a) PA // BC (同位角，PQ // BC) ∴ (△ 內角和)

  46. (續) △AQP ~ △QCR (AAA) ∴ (相似 △ 的對應邊) ∴

  47. (b)

  48. 的正負號表列如下：  0 + ∴ 當 x = 4 時，S達至其極小值。 當 x = 4 時， (續)

  49. 。因此，S 在 2.5 x  3.5 對於 2.5 x  3.5， 內是一個嚴格遞減函數。 即 S在 2.5  x  3.5 內沒有轉向點。 因此，當 x = 3.5 時，S達至其全局極小值。 ∴ (c)

  50. 額外教學例題5.13 圖中所示為梯形 ABCD，其中 AB= 5 cm，BC= 4 cm，CD= 8 cm 及 B= C= 90。P和 Q分別為 BC和 CD上的可變點，使 PC=x cm 及 QD= 2x cm，其中 0 x 4。設 △APQ 的面積為 S cm2。 (a) 證明 (b) 求 S的最小值和最大值。 (c) 若 1 x 2，求 S的最小值和 最大值。

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