1 / 16

PROGRESII MATEMATICE

PROGRESII MATEMATICE. PROGRESII ARITMETICE. PROGRESII ARITMETICE Def. Un şir ( a n ) n 1 în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin adunare cu un număr fix ( r numit raţie ) se numeşte progresie aritmetică .

nara
Download Presentation

PROGRESII MATEMATICE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. PROGRESII MATEMATICE

  2. PROGRESIIARITMETICE

  3. PROGRESII ARITMETICE Def.Un şir (an )n1 în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin adunare cu un număr fix (r numitraţie) se numeşte progresie aritmetică . a1 ,a2 , ... , an-1 , an , an+1 , ... an = a n-1 + r, n  2 r = an- an-1 , n  2 . Ex.: 2, 6, 10, a4 ,a5 ,... r = a3 –a2 = 10 – 6 = 4; a4 = a3+ r = 10 + 4 = 14; a5 = a4 + r = 14 + 4 = 18 . .

  4. TEOREMĂ Fie (an)n 1 un şir de numere reale. Atunci are loc echivalenţa:  a1, a2, ... , an-1, an , an+1 , ...   Exerciţiu Fie numerele reale x - 1, 2x , x+7 în progresie aritmetică. Să se determine x . Rezolvare:  x – 1, 2x, x + 7 

  5. Formula termenului general Teoremă: Într-o progresie aritmetică (an )n  1 cu raţia r, termenul general este dat de formula: Exerciţiu Să se determine primii doi termeni ai progresiei aritmetice (an )n  1ştiind că a10= 131 şi r = 12.

  6. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice Sn = a1 +a2 + ... + an , n  1 Cu , formulasumei devine:

  7. Obs. Orice progresie este bine determinată dacă se cunosc primul termen şi raţia. Exerciţii 1)Într-o progresie aritmetică se cunosc a1 = 9şi r = -3 . Să se determine suma primilor 7 termeni. 2) Într-o progresie aritmetică se cunosc a47 = 74şi a74 = =47. Să se determine primul termen şi raţia. 3) Să se determine termenul general şi raţia unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este:

  8. PROGRESIIGEOMETRICE

  9. Definiţie Se numeşte progresie geometrică, un şir de numere reale : ,cu b1≠ 0, în care , fiecare termen începând cu al doilea, se obţine din precedentul, prin înmulţirea cu acelaşi număr q≠0. Numărul q se numeşte raţia progresiei . • Observaţii : 1) Şirul : este progresie geometrică, dacă: bn = bn-1 . q , n ≥ 2, b1≠ 0, q≠0. 2) Numerele : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….se numesctermenii progresiei geometrice.

  10. Comentarii: 1)Din definiţie, rezultă că, într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi : bn-1 , bn , este constant : = constant, n ≥2 . 2) Pentru a pune în evidenţă, că şirul : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……., este o progresiegeometrică, se foloseşte notaţia : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. 3) O progresie geometrică : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. este bine determinată, dacă se cunosc : primul termen : b1≠0şi raţia : q ≠ 0 ; b2 = b1. q , b3 = b2 .q = b1 . q2 ,………… . 4) Numerele : b1 , b2 , b3, ……, bn - 1, bn , sunt în progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, adică , dacă : = =……….. = .

  11. Exemple: 1) Dacă : b1 = 1 , q = , se obţine progresia geometrică : 1, , ,……, ,…….. 2) Dacă : b1 = , q = , se obţine progresia geometrică: , , ,..…. , , ……. 3) Dacă : b1 = 1 , q = 2 => 1 , 2 , 4 , 8 , ….., 2n-1 , ….. 4) Dacă : b1 = 2 , q = - 2 => 2 , - 22 , 23 , ………., ( - 1 )n+1. 2n ,…

  12. PROPRIETĂŢILEPROGRESIEIGEOMETRICE G1( Monotonia) Fie o progresie geometrică de raţie q . Daca:  b1 > 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict crescător : b1 < b2 < b3 <…….< bn < bn+1 < ….. b1 > 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict descrescător : b1 > b2 > b3 >…….> bn > bn+1 > …..  b1 < 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict descrescător;  b1 < 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict crescător .

  13. G2 Formulatermenuluigeneral Dacă şirul este o progresie geometrică de raţie q , atuncitermenul general, are forma : bn = b1 . qn-1 , n ≥ 1 .

  14. G3Caracterizarea progresiei geometrice Şirul , cu termeni nenuli, este progresie geometrică pentru <=> orice termen al său, incepând cu al doilea, avem : =  , n ≥ 2

  15. G4 Dacă numerele: b1, b2 , b3 , ……., bn-1 , bn , sunt în progresie geometrică,atunci: b1 bn = b2 bn-1 = ……= bk bn-k+1 , k = .

  16. G5Sumaprimilor ntermeni Dacă este o progresie geometrică, de raţie q, cu  Sn = b1 + b2 + …………+ bn , atunci  Sn =

More Related