DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

1. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

2. Függvénygörbék jellemzői Az f(x) függvény egy [a;b] intervallumban alulról konvex (alulról konkáv),ha ott értelmezve van, és az intervallum minden a < x1< x2< b pontjára a függvény grafikonja az (x1 ; f(x1 )) és az az (x2 ; f(x2 )) pontokat összekötő szakasz alatt ( szakasz fölött )halad. A függvénygörbe az [a;b] intervallumban alulról konvex, a [b;c] intervallumban alulról konkáv

3. Görbék érintői Görbék meredeksége, az érintő szemléletes fogalma • A lineáris függvény meredekség: az irányszög tangense, m= tgα ha tgα > 0, a fv. szig.mon. növekvő ha tgα < 0, a fv. szig.mon. csökkenő ha tgα = 0, a fv. állandó

4. Görbék érintői 2. Az érintő fogalma Az érintőnek a görbével „egyetlen közös pontja ” van Az érintő definícióját nyilvánvalóan másképpen kell megadni

5. 3. Az érintő értelmezése - Legyen az f(x) függvény mindenütt folytonos. - Rögzítsünk a függvénygörbén egy P pontot és egy a P-től különböző tetszőleges Q (vagy Q* ) pontot. - Mozgassuk a Q (vagy Q*) pontot a P pont felé, ekkor a PQ (vagy PQ*) szelő egy „határhelyzethez”, egy e egyeneshez közeledik, amely áthalad a P ponton - Ezt a közös e egyenest a függvénygörbe P pontbeli érintőjének nevezzük

6. A parabola érintője Feladat: Határozzuk meg az y = x2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában a parabola érintőjét! Legyen Q (x ; x2) tetszőleges pont A PQ szelők iránytangense: Ha Q* (-1 ; 1) tetszőleges pont A PQ* szelő iránytangense:

7. A parabola érintője Az y = x2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában az érintő iránytangensét az m (x) függvény x = 2 helyen vett határértékével definiálhatjuk: A P pontban az érintő egyenlete: P(2;4) Az érintő egyenlete:

8. Differencia- és differenciálhányados Definíció: Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. Ha a differenciahányadosnak az x0 pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x0 pontban differenciálható vagy deriválható. Megjegyzés: Az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban deriválható, ha az intervallum minden x0 pontjában teljesül a deriválhatóság.

9. Differencia- és differenciálhányados Szemléletes jelentés: Differenciahányados fizikában matematikában s(t)út-idő függvény esetén az átlagsebesség a grafikon x0és x pontját összekötő szelő iránytangense Differenciálhányados fizikában matematikában s(t)út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség a grafikon x0pontjában húzott érintő iránytangense

10. Tétel: Ha az f(x) függvény x0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azonban nem elégséges feltételahhoz, hogy az f(x) függvény valamely pontban differenciálható legyen. Pl: pontban folytonos nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható

11. A függvény deriváltja Feladat: Igazoljuk, hogy az függvény mindenütt differenciálható! A tetszőleges de rögzített x0 ponthoz tartozó differenciahányados: A differenciahányados határértéke az x0 pontban: Mivel x0 az értelmezési tartomány tetszőleges eleme, ezért az f(x) függvény mindenütt differenciálható. A tetszőleges x pontban a differenciálhányados: 2x

12. A függvény deriváltja Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüggvényének vagy röviden deriváltjának nevezzük. Jelölés: Pl:

13. Deriválási szabályok 1.A konstans függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont: 2.Az elsőfokú függvény deriváltja

14. Deriválási szabályok 3.Az függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont: 4.A hatványfüggvény deriváltja

15. Deriválási szabályok 5.Az függvény deriváltja Legyen x0 tetszőleges pont:

16. Deriválási szabályok Felhasználhatjuk, azt is hogy: 6.Az függvény deriváltja

17. Deriválási szabályok 7.Az függvény deriváltja Például:

18. Deriválási szabályok 8.A szinusz- és koszinuszfüggvény deriváltja Bebizonyítható, hogy:

19. Deriválási szabályok Tétel: Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények x0 [a;b] pontban differenciálhatók, akkor függvények is differenciálhatók az x0 [a;b] pontban. Bebizonyítható, hogy:

20. Deriválási szabályok A szorzatfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. Határozzuk meg a függvény deriváltját! A számlálóhoz adjuk hozzá és vonjuk ki az szorzatot:

21. Deriválási szabályok

22. Deriválási szabályok Például:

23. Deriválási szabályok A hányadosfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. A h(x) függvény deriválását visszavezethetjük a szorzatfüggvény deriválására, ugyanis Bebizonyítható, hogy

24. Deriválási szabályok Például: 1. 2.

25. Deriválási szabályok Az összetett függvény deriváltja Bebizonyítható, hogy Ha a g függvény deriválható az x0helyen, és az f függvény deriválható a g( x0) helyen, akkor az f [g(x)] összetett függvény is deriválható az x0helyen, és a deriváltja: Ha az x0az értelmezési tartomány tetszőleges helye:

26. Deriválási szabályok Például: