激光的物理基础

1. 激光的物理基础 • 光的相干性和光波模式的联系 • 光的受激辐射 • 光放大和振荡的基本概念

2. 1.1 相干性的光子描述 • 1.2 光的受激辐射基本概念 • 1.3 光的受激辐射放大 • 1.4光的自激振荡

3. 1.1 相干性的光子描述 一、光子的性质 • 具有能量 • 具有运动质量 • 具有动量 • 具有两种可能的独立偏振状态 • 光子具有自旋，且自旋量子数为整数，大量光子的集合，服从玻色——爱因斯坦统计规律，处于同一状态的光子数目是没有限制的

4. 量子电动力学从理论上把光的电磁（波动）理论和光子（微粒）理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，在理论上阐明了光的波粒二象性。量子电动力学从理论上把光的电磁（波动）理论和光子（微粒）理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，在理论上阐明了光的波粒二象性。

5. 任意电磁波可看作是一系列单色平面电磁波（以波矢 为标志）的线性叠加，或一系列电磁波的本征模式（或本征状态）的叠加。每个本征模式所具有的能量是量子化的，是基元能量 的整数倍，本征模式的动量也可表示为基元动量 的整数倍。 • 具有基元能量 和基元动量 的物质单元称为属于第l个本征模式（或状态）的光子。具有相同能量和动量的光子彼此间不可区分，因而处于同一模式（或状态）。每个模式内的光子数目是没有限制的。

6. 二、光波模式和光子状态 • 按照量子电动力学概念，利用波动和粒子两种观点，说明：光波的模式和光子的状态是等效的。

7. 光电磁波的运动规律由麦克斯韦方程决定 • 单色平面波是一种特解 • 麦克斯韦方程的通解可表示为一系列单色平面波的线性叠加 （一）波动观点

8. 在自由空间，具有任意波矢 的单色平面波都可以存在。 • 在一个有边界条件限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢 的平面单色驻波。 • 这种能够存在于腔内的驻波（以某一波矢 为标志）称为电磁波的模式或光波模。一种模式是电磁波运动的一种类型，不同模式以不同的 区分。 • 同一波矢对应着两个具有不同偏振方向的模。

9. 设空腔为 的立方体，沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件为 • 波矢 的三个分量应满足条件 求空腔内的模式数目： 每一组正整数m、n、q对应腔内一种模式 （包含两个偏振）

10. 以kx、ky、kz为轴建立直角坐标系，即在波矢空间中表示光波模，每个模对应波矢空间的一点。每一模式在三个坐标轴方向与相邻模的间隔为以kx、ky、kz为轴建立直角坐标系，即在波矢空间中表示光波模，每个模对应波矢空间的一点。每一模式在三个坐标轴方向与相邻模的间隔为 • 每个模式在波矢空间占有一个体积元

11. 在空间内，波矢绝对值处于 的区间的体积为 • 在此体积内的模式数为 • 在体积为V的空腔内，处在频率附近频带d内的模式数为（考虑偏振）

12. （二）粒子观点 • 在经典力学中，质点运动状态完全由其坐标（x、y、z）和动量（Px、Py、Pz）确定。用广义笛卡儿坐标x、y、z、Px、Py、Pz所支撑的六维空间来描述质点的运动状态。这种六维空间称为相空间，相空间内的一点表示质点的一个运动状态。 • 光子的运动状态受量子力学测不准关系的制约：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置测得越准确，动量就越测不准。

13. 对于一维运动情况，测不准关系为，意味着处于二维相空间面积元 之内的粒子运动状态在物理上是不可区分的，它们应属于同一种状态。 • 在三维运动情况下，测不准关系 • 在六维相空间中，一个光子态对应（或占有）的相空间体积元为

14. 上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。或者说，光子的状态并不对应于相空间的点，而是对应于相空间中体积为h3的相格。上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。或者说，光子的状态并不对应于相空间的点，而是对应于相空间中体积为h3的相格。 • 一个相格所占有的坐标空间体积（或称相格空间体积）为

15. （三）等效性 • 一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻波，因此一个光波模在相空间的Px、Py和Pz轴方向所占的线度为 • 利用 ，在相空间中得到 • 一个光波模在相空间也占有一个相格。因此，一个光波模等效于一个光子态。

16. 三、光子的相干性 • 光的相干性（在不同的空间点上、在不同时刻的光波场的某些特性的相关性。光场的相干函数来度量） • 如果在空间体积Vc内各点的光波场都具有明显的相干性，则Vc称为相干体积。 • Vc=AcLc，Ac--相干面积，Lc--相干长度 • 相干时间c是光沿传播方向通过相干长度Lc所需的时间。 Lc=cc

17. 普通光源发光，是大量独立振子（例如发光原子）的自发辐射。每个振子发出的光波是由持续一段时间t或在空间占有长度ct的波列组成普通光源发光，是大量独立振子（例如发光原子）的自发辐射。每个振子发出的光波是由持续一段时间t或在空间占有长度ct的波列组成 对波列进行频谱分析

18. 另外：光波的相干长度就是光波的波列的长度（物理光学知识）另外：光波的相干长度就是光波的波列的长度（物理光学知识） : 光源频带宽度 t: 波列持续时间 结论：光源单色性越好，则相干时间越长

19. 物理光学 杨氏双缝干涉 由线度为x的光源A照明的S1和S2两点的光波场具有明显空间相干性的条件为 用表示两缝间距对光源的张角，则光源面积 空间性方面：

20. 如果要求传播方向限于张角之内的光波是相干的，则光源的面积必须小于(/)2。或者说，只有从面积小于 (/)2的光源面上发出的光波才能保证张角在之内的双缝具有相干性。 • 光源的相干体积为 • 如果要求传播方向限于张角之内并具有频带宽度的光波相干，则光源应局限在空间体积Vcs之内。

21. 从量子观点分析杨氏双缝干涉： • 由面积为(x)2的光源发出动量为的限于立体角内的光子，因光子具有动量测不准量 • 假定具有上述动量测不准的光子处于同一相格之内，即处于一个光子态，则光子占有的相格空间体积（即光子的坐标测不准量）为 在很小时

22. 相格的空间体积和相干体积相等。如果光子属于同一光子态，则它们应该包含在相干体积之内。即属于同一光子态的光子是相干的。相格的空间体积和相干体积相等。如果光子属于同一光子态，则它们应该包含在相干体积之内。即属于同一光子态的光子是相干的。 关于相干性的重要结论 • 相格空间体积以及一个光波模或光子态占有的空间体积都等于相干体积。 • 属于同一状态的光子或同一模式的光波是相干的，不同状态的光子或不同模式的光波是不相干的。

23. 四、光子简并度 • 相干光强：具有相干性的光波场的强度，是描述光的相干性的参量之一 • 相干光强决定于具有相干性的光子的数目或同态光子的数目 • 处于同一光子态的光子数称为光子简并度 。具有以下几种相同的含义：同态光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、处于同一相格内的光子数。

24. 五、原子的能级结构 （一）原子能级、简并度 • 原子由原子核和绕原子核旋转的核外电子组成，原子核带正电，电子带负电，但二者电量相等。电子一方面绕核作轨道运动，一方面本身作自旋运动。 • 电子围绕原子核旋转时，运动并非杂乱无章，各有各的轨道。按照一定规律分布在若干层特定的轨道上。两层之间没有可以让电子停留的轨道。

25. 通常情况下，电子在距原子核最近的轨道上运动，原子处于最低的能量状态，称为基态(ground state) 。这种状态很稳定。 • 一旦有外界的作用，例如电的激发、光的照射或其它粒子的撞击，原子系统就得到外力（能量），原子中的电子就会从低轨道跳（跃迁）到某一高轨道上去。原子处在这种状态时，称为激发态(excited state)。原子在激发态很不稳定，通常只能停留很短（10-8s）的时间。 • 除基态、激发态外，还有一个中间状态存在。原子在中间状态停留的时间比在激发态停留的时间长得多，这一状态称为亚稳态(10-3s左右)。

26. 原子中电子的状态由四个量子数来确定： 1、主量子数n。n=1,2,3,… 。主量子数大体上决定原子中电子的能量值。不同的主量子数表示电子在不同的壳层上运动。 • 2、角量子数l。l=0,1,2,…,(n-1) 。它表征电子有不同的轨道动量矩。对于l=0，1，2，3等的电子，依次用s，p，d，f字母表示。 • 3、磁量子数m。m=0,±1, ±2, …, ±l。磁量子数可以决定轨道动量矩在外磁场方向上的分量。 • 4、自旋量子数s。s=±1/2 ，决定电子自旋动量矩在外磁场方向上的分量。

27. 电子具有的量子数不同，表示不同的电子运动状态。电子在一系列确定的分立状态运动时，相应有一系列分立的不连续的能量值。这些能量通常叫电子（原子系统）的能级(energy levels)。依次用E1、E2、E3、…、En表示。也就是说，原子处于每一个能量状态时，都有一个确定的能量值，这些数值各不相同，把它们用高低不同的水平线形象地表示出来，就是原子的能级图。

28. 一般说，处于一定电子态的原子对应某个一定的能级。反过来，某一能级并不只对应一个电子态，可以对应于若干个量子态，即电子可以有两个或两个以上的不同运动状态具有相同的能级。这种能级叫简并能级，它所对应的不同电子运动状态的数目，叫能级的简并度，用字母f（或g）表示。一般说，处于一定电子态的原子对应某个一定的能级。反过来，某一能级并不只对应一个电子态，可以对应于若干个量子态，即电子可以有两个或两个以上的不同运动状态具有相同的能级。这种能级叫简并能级，它所对应的不同电子运动状态的数目，叫能级的简并度，用字母f（或g）表示。 • 换句话说，如果一个能级中包含的量子态数目不止一个，称这一能级是简并的，所包含的数目称为该能级的简并度。如果一个能级只与一个量子态对应，即g=1，则此能级是非简并的。

29. In real systems containing atoms, molecules or ions, it frequently happens that different configurations of the system can have exactly the same energy. If a given energy level corresponds to a number of different arrangements specified by an integer g, we call g the degeneracy of the level. We call the separate states of the system with the same energy sub-levels.

30. 氢原子1s、2p态的简并度

31. （二）粒子数目按能级的分布 • 把原子、分子和离子，统称为粒子。 • 由于原子热运动，原子间相互碰撞或原子与器壁的碰撞，不可能所有原子都处在基态，有一定数量的原子激发到不同的激发态。 • 大量原子组成的系统在热平衡条件下，原子数（或称集居数）按能级分布遵循一个确定的统计分布规律，即服从玻尔兹曼定律： • N表示处于能级E上的单位体积中的粒子数，N0为单位体积中的总粒子数， kb=1.38×10-23J/K，称为玻尔兹曼常数； T为热平衡时的绝对温度，单位为开【尔文】（符号K）；e=2.718。

32. 玻尔兹曼分布阐明了粒子在能级上的正常分布。从总的粒子集团来看，处于能量较低能级的粒子较多，处于能量较高能级的粒子较少，而处于基态粒子最多。也就是说，处于热平衡状态的粒子体系，高能级上的粒子数总是少于低能级上的粒子数。处于越高的能级，粒子数越少，而且按指数减少。玻尔兹曼分布阐明了粒子在能级上的正常分布。从总的粒子集团来看，处于能量较低能级的粒子较多，处于能量较高能级的粒子较少，而处于基态粒子最多。也就是说，处于热平衡状态的粒子体系，高能级上的粒子数总是少于低能级上的粒子数。处于越高的能级，粒子数越少，而且按指数减少。 N2为单位体积内处于高能级(upper level)E2上的原子数，N1为单位体积内处于低能级(lower level)E1上的原子数。 f2、f1分别为能级E2和E1的简并度，为简化起见令f2=f1。

33. Boltzmann’s Principle states that when a collection of atoms is in thermal equilibrium at a positive temperature T, the relative populations of any two energy levels E1 and E2 are given by • Thus for a collection of atoms is in equilibrium at a normal positive temperature T, an upper-level population is always smaller than a lower-level population.

34. （三）辐射跃迁和非辐射跃迁 • 一个处于高能级E2的原子，总是力图使自己的能量状态过渡到低的能级E1。 • 只有在满足辐射跃迁选择定则时，一个处于高能级E2的原子才能通过发射一个能量=h=E2-E1的光子，而使它跃迁到低能级E1。 • 也只有在满足辐射跃迁选择定则时，一个处于低能级E1的原子才有可能吸收一个能量为=h=E2-E1的外来光子，而使该原子跃迁到高能级E2。

35. 这种发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象叫辐射跃迁。它必须满足辐射跃迁选择定则。这种发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象叫辐射跃迁。它必须满足辐射跃迁选择定则。 • 非辐射跃迁表示原子在不同能级跃迁时并不伴随光子的发射或吸收，而是把多余的能量传给了别的原子或吸收别的原子传给它的能量(如果放出的内能以热运动的形式出现)，所以不存在选择定则的限制。

36. 1.2光的受激辐射基本概念 • 光与物质的共振相互作用，特别是其中的受激辐射是激光器的物理基础 • 1900年普朗克（Max Planck）用辐射量子化假设成功地解释了黑体辐射分布规律 • 1913年波尔（Niels Bohr）提出原子中电子运动状态量子化假设 • 1917年爱因斯坦提出受激辐射的概念

37. 一、黑体辐射的普朗克公式 • 处于某一温度T的物体能够发出和吸收电磁辐射，称为热辐射或温度辐射。如果某一物质能够完全吸收任何波长的电磁辐射，则称此物体为绝对黑体，简称黑体。 • 处于某一温度T的黑体在热平衡情况下，吸收的辐射能量等于发出的辐射能量，即黑体与辐射场之间处于能量(热)平衡状态。

38. 这种平衡必然导致空腔内存在完全确定的辐射场。这种辐射场称为黑体辐射或平衡辐射（blackbody radiation） 。 • 黑体辐射是黑体温度T和辐射场频率的函数，用单色能量密度来描述：在单位体积内，频率处于附近的单位频率间隔中的电磁辐射能量(Jm-3s）

39. A particularly important kind of radiation field is that emitted by a black body. Such a body absorbs with 100% efficiency all the radiation falling on it, irrespective of the radiation frequency. A close approximation to a black body (absorber and emitter) is a enclosed cavity containing a small hole. Radiation that enters the hole has very little chance of escaping. If the inside of this cavity is in thermal equilibrium it must lose as much energy as it absorbs and the emission from the hole is therefore characteristic of the equilibrium temperature inside the cavity. Thus this type of radiation is often called ‘thermal’ or ‘cavity’ radiation.

40. 普朗克提出辐射能量量子化假设：在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为普朗克提出辐射能量量子化假设：在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为 • 腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数为 • 黑体辐射的普朗克公式 模密度 energy density per unit frequency

41. 二、光的辐射和吸收 • 黑体辐射实质上是辐射场和构成黑体的物质原子相互作用的结果 • 原子中的电子可以通过和外界交换能量的方式发出量子跃迁，或称能级跃迁 • 热跃迁：交换的能量是热运动的能量 • 光跃迁：交换的能量是光能 • 光跃迁中将同时存在着光的自发辐射跃迁、受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三个过程

42. 光（辐射场）和物质相互作用三过程 • 假设：1）物质是同类原子（粒子）组成的体系；２）参与相互作用的原子只有两个能级E2、E1，单位体积内处于两能级的原子数分别为n2、 n1 • 1、自发辐射 • 原子处于高能级E2原子处于低能级E1 • 特点：1）自发产生；2）辐射是独立的 h21 h21＝E2－E1

43. 物理描述： • 设在某一粒子集合中，在高能级E2上的粒子数密度为n2，在tt+dt时间内，由高能级E2自发跃迁到低能级E1的粒子数dn21可由下式描述： 表示每一个处于E2能级的粒子在单位时间内自发向E1能级跃迁的几率 • A21：自发跃迁概率

44. 1）只与原子自身的性质有关 • 2）是原子在E2能级上的平均寿命的倒数 • A21：自发跃迁爱因斯坦系数 单位时间内能级E2所减少的粒子数为

45. Let us concentrate on two of these levels-1 and 2, for example. If the atom is known to in state 2 at t=0 there is a finite probability per unit time that it will undergo a transition to state 1, emitting in the process a photon of energy h=E2-E1. This process, occuring as it does without the inducement of a radiation field, is referred to as spontaneous emission.

46. Another equivalent way of thinking about spontaneous transitions, and one corresponding more closely to experimental situations, is the following: consider a large number N2 of identical atoms that are known to be in state 2 at t=0. The average number of these atoms undergoing spontaneous transitions to state 1 per unit time is

47. where A21 is the spontaneous rate and  is called the spontaneous lifetime associated with the transition 21. It follows that from quantum mechanical considerations that spontaneous transitions take place from a given state only to states lying lower in energy, so no spontaneous transitions take place from 1 to 2. The rate A21 can be calculated using the eigen-functions of states 2 and 1.

48. 2、受激吸收 在tt+dt时间内，由低能级E1受激吸收到高能级E2的粒子数dn12可由下式描述： • 非自发的，有辐射场作用；减弱辐射的强度 • W12=B12，W12与原子性质有关，与场有关，称为受激吸收跃迁概率 • B12只与原子性质有关，称为受激吸收跃迁爱因斯坦系数

49. 3、受激辐射 在tt+dt时间内，由高能级E2受激辐射到低能级E1的粒子数dn21可由下式描述： • 非自发的，有辐射场作用；增强辐射的强度；与原光子性质、状态完全相同 • W21与原子性质有关，与场有关，称为受激辐射跃迁概率； • B21只与原子性质有关，称为受激辐射跃迁爱因斯坦系数

50. Induced transition • In the presence of an electromagnetic field of frequency ~(E2-E1)/h an atom can undergo a transition from state 1 to 2, absorbing in the process a quantum of excitation (photon) with energy h from the field. If the atom happens to occupy state 2 at the moment when it is first subject to the electromagnetic field, it will make a downward transition to state 1, emitting a photon of energy h.