Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи

1. Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1) Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок) (2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях термодинамического равновесия 5.1. Плотность состояний в зонах Состояние электронов (дырок) в зонах характеризуется 1) квазиимпульсом 2) номером зоны l Объем в зоне на каждое значение , где V – объем кристалла Отсюда число состояний в элементе объема  на единицу объема кристалла 2 - Вырождение по спину Перейдем к энергиям  от E до E+dE Число состояний N(E)dE Если известно нет проблем Вблизи края зоны или Объем в -пространстве Аналогично для дырок:

2. 5.2. Распределение Ферми-Дирака для электронов для дырок F>0 электронный газвырожден - Функция распределения Ферми-Дирака Если F<0 и Распределение Больцмана (Максвелла-Больцмана) Электронный газ невырожден 5. 3. Концентрация электронов и дырок в зонах - химический потенциал электронов   эффективная интеграл плотность состояний Ферми-Дирака Аналогично для дырок  подсчитываем пустые места в валентной зоне где

3. Невырожденные полупроводники. (E), f(E.T) и dn/dE Случай сильного вырождения Схематический вид функций (E), f(E.T) и dn/dE Схематический вид функций

4. 5. 4. Эффективная масса плотности состояний Если закон дисперсии отличен от изотропного?! Если имеется  долин. Для невырожденного газа т.е. эффективная масса плотности состояний В общем случае масса плотности состояний не равна массе электропроводности Так вGe

5. 5.6Плотность состояний в квантующем магнитном поле. По правилам статистики число электронов N в объеме V  - совокупность квантовых чисел, от которых зависит энергия электрона El, - кратность вырождения. В магнитном поле и проекция спина на ось 0z (+,-) Кратность вырождения была найдена нами ранее т.е. где E – четная функция , где плотность состояний  осциллирует – Осцилляции Шубникова – де Гааза (магнитосопротивления ) - де Газа- Ван Альфена (Магнитной восприимчивости)

6. 5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях 5.7.1 Однозарядные центры _____________________ Ec Невырожденные состояния примеси Ed либо заполнен одним электроном -------------------------------- Ed либо пустой заполнено пустые Если состояние вырождено: то нужно ввести кратность вырождения - заполненных; - пустых (на центре только 1 электрон !!! всегда) Отсюда находим Если полупроводник не вырожден, то концентрация электронов в зоне и где энергия связи электрона на примеси

7. ----Учет возбужденных состояний ____________________ Ec вероятность того, что ------------------------------ Ek электрон находится на уровне k ------------------------------ - кратность вырождения k- уровня ____________________ Ed Полная вероятность, что электрон находится на одном из уровней Отношение концентрации центров с электроном к концентрации пустых центров равно отсюда 5.7.2 Многозарядные центры а) Пустой уровень б) Уровень - заполнен Появляется уровень в) Уровень заполнен Появляется и т. д. Подчеркнем отличие от нескольких однородных центров, когда. все уровни существуют всегда !!! Распределение Ферми в простом виде к многозарядным центрам неприменимо – нужен более общий подход

8. Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Внутри среды с объемом V0, полным числом частиц N0 и энергией E0=const выделим тело с объемом V, находящееся в термодинамическомравновесии и с возможностью перехода частиц из V0 в среду V и обратно Допустим, что в тело V перешло j частиц Новое число частиц в V – N+j Частицы заняли энергии т.е. новая энергия тела стала Вероятность перехода j частиц в состояние m , (5.1) где А – нормировочный множитель - изменение энтропии среды При этом изменение свободной энергии в условиях термодинамического равновесия (Т=const)  свободная энергия на одну частицу т.е. При V=const производная  распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Применим эту формулу к многозарядному центру Условие нормировки и из (5.1) где M  максимальное число электронов

9. Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится электрон, то где E(j) энергия центра с j электронами в основном состоянии bjm кратность вырождения соответствующих уровней  называется химическим потенциалом. часто отсчитывается от края зоны проводимости Если есть электрическое поле, то электрохимический потенциал  дополнительная потенциальная энергия электрона в поле. Очевидно, что Формула Гиббса применима к обычному однородному примесному центру j  либо 0 либо 1. т.е.

10. 5.8 Определение положения уровня Ферми Если известна концентрация, то все просто Если известна концентрация ND и NA Из классической электродинамики известно, что зарядрассасывается за время (максвелловское время релаксации) В полупроводниках с характерными величинами e=10; s~ 1 oм-1см-1 т.е. можно считать полупроводник электронейтральным и уровень Ферми нужно находить из условия В собственном полупроводнике т.е. или

11. В легированном полупроводнике n-типа NA=0 nh<<ne (5.2)  Невырожденный полупроводник Для невырожденных полупроводников из (5.2) следует, что где При низких температурах эта формула сводится к EF При T~0 уровень Ферми располагается посередине между Ec и ED С ростом температуры он уходит на середину запрещенной зоны

12. Гл. 6 Явления в контактах (Монополярная проводимость) 6.1 Потенциальные барьеры Разные химпотенциалы в разных веществах - потенциальные барьеры Вблизи контакта электронейтральность нарушается – искривление зон В случае металлов толщина барьеров меньше длины волны де-Бройля благодаря большой концентрации электронов Поэтому электроны свободно проходят через барьер в результате туннельного эффекта В полупроводниках картина противоположная и роль контатных эффектов необычайно велика 6.2 Плотность тока; Соотношение Эйнштейна n=n(x); ток состоит из дрейфа электронов в электрическом поле + диффузия ( ). (6.1) Для дырок: В изотропной среде или в кубических кристаллах в отсутствие магнитного поля

13. Для невырожденного полупроводника (6.2) Чтобы понятие диффузии имело смысл, изменениеnна длине свободного пробега должно быть мало ; - радиус экранирования заряда - контактная разница потенциалов зависят друг от друга так как они определяются одной величинойt и ; то из 6.1 и 6.2 следует, что если Для невырожденного полупроводника (6.3) В общем случае: (6.4) 6.3 Условие равновесия контактирующих тел электрохимический потенциал = const введем

14. Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6.4)) для De Находим электрохимический потенциал Контакт металл n велико, мал барьер Металл-полупров. велик Высота барьера, равная полупров.n мало, вся в полупроводнике. 6.4 Граница полупроводник-вакуум; Равновесие: Электроны «испаряются» из полупроводника в вакуум n электронов/сек; столько же должно возвращаться Электронный газ в вакууме не вырожден: скорость по Максвеллу , где  или где  для всех веществ !!! Ф называется термоэлектронной работой выхода из полупроводника или металла

15. В металлах Ф  работа по удалению электрона с поверхности Ферми. В полупроводниках: На уровне EFнет электронов Удаление электронов перераспределение электронов зонах по энергиям В металлах Ф=const В полупроводниках (1) Ф зависит от легирующей примеси !!! (2) От примесей на поверхности, которые ведут к искривлению зон т.е. определение Ф для полупроводника- деликатная задача !!! 6.5 Контактная разность потенциалов Измерение работы выхода – - нагрев до высокой температуры - что проблематично для многих кристаллов - измерение контактной разности потенциалов – между несоприкасающимися кристаллами в электронном равновесии - (равновесие с помощью соединения металлическим проводником)

16. Контакт металл- металл 1) нет контакта между незаряженными металлами – поле между ними Е=0. электрический потенциал j=const термоэлектронная работа выхода равна F1=E0-F1, F2=E0-F2 2) соединяем - F1=F2 поле Е не равно нулю – появятся заряды на поверхности. электрический потенциал j=const по определению – контактная разность потенциалов – разность потенциалов между точками 1 и 2 вне металлов, но находящимися в непосредственной близости от их поверхностей. -euk=-e(j1-j2)=F2-F1=F1-F2 Контакт металл-полупроводник до контактапосле соединения Электрическое поле частично проникает в полупроводник Полная разность потенциалов распределяется между зазором и слоем объемного заряда в полупроводнике

17. 6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда Одномерный случай вдоль x Невырожденный полупроводник n-типа для определенности 3 уравнения: (1)  соотношение Эйнштейна использовано (2)  уравнение Пуассона (3)  уравнение непрерывности Стационарное решение: т.е. и Пусть В этом случае (6.5) (6.6) n0 - равновесная концентрация в глубине полупроводника Положим, что контакт при x=0 и j(x=0)=0 n(x=0)=nk При -- j=uk+u n=n0 Здесь u внешняя разность потенциалов В отсутствие тока nk связано с n0 соотношением

18. то плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0) тепловой поток электронов из полупроводника в металл ~n(x=0) обратно~nk (так же, как и в отсутствие тока) т.е. Если и можно считать, что Даже для относительно больших токов Можно оценить границыприменимости: для nk=1013cм-3 и vT=102 см/с  ¼ evTnk~10 При j=0 из (6.5 ) имеем Подставляем в (6.6) и получаем уравнение (6.7) Из которого можно найти распределение потенциала в полупроводнике j(x) 6.7 Длина экранирования Если искривление зон мало, т.е. , разлагаем exp в ряд находим из (6.7) (6.8) где - длина экранирования Дебая Решение LD~1/n для n=1015cм-3 при комнатной температуре LD=10-5 см Уменьшаемn - величина LD – растет,пока не станет существенным вклад от зарядов на остаточных примесях

19. 6.8 Обогащенный контактный слой euk<0; | euk >>kT|; Рассмотрим отдельно области вблизи контакта (1) и в объеме полупроводника, где зоны уже не искривлены (2) область (1) И из уравнения (6.7) Умножаем обе части уравнения на dj/dx и интегрируем по j Постоянная интегрирования из граничных условий j=uk ; dj/dx=0 т.е. В силу условия euk<<ejвеличиной с можно пренебречь, т.е (6.8) т.к. обогащенный слой, который мы рассматриваем – - электронный j<0 и |j|растет с x.т.е. решение со знаком -. Интегрируя (6.8) от 0 до  получаем . , где т.е. , где в LD стоит nk Потенциал изменяется по логарифмическому закону Область (2) вдали от контакта j=uk Таким образом, электропроводность слоистых структур металл-диэлектрик-металл может быть велика, даже если электропроводность диэлектрика мала.

20. 6.9 Истощенный контактный слой Предельный случай сильного обеднения – запорный контакт Контакт металл-полупроводник К контакту приложено внешнее напряжение u, создающее обедненный слой. В первом приближении считаем, что в слое толщиной d зарядов свободных нет, только заряженные центры т.е. euk>0 (запорный слой) и уравнение (6.7) имеет вид Принимая во внимание граничные условия x=0: j=0 x=d:j=u+ eukdj/dx=0 интегрируем d2j/dx2=0 два раза и получаем где - толщина запорного слоя

21. Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа- p-n переход Толщины слоев dn и dp зависят от концентрации доноров и акцепторов Резкий p-n переход Объемный заряд равен p - область n-область Положим, что j=0 на границе x=-dp: j=up, dj/dx=0 x=dn: j=un, dj/dx=0 u- внешнее напряжение источника

22. 6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом Токи через границу металл-полупроводник во внешнем электрическом поле Картина различна для контактов с обогащенным и обедненным слоями в полупроводниках (1) случай обогащенного слоя Край Ec - без тока  -ej увеличивается по логарифмическому законув области объемного заряда и равен const вне этой области ток диффузии = току дрейфа Если прикладывается + к полупроводнику Энергия электронов в объеме понижается. В точках максимума ( x’)напряженность электрического поля =0 т.е. ток дрейфа равен нулю и весь ток определяется диффузией в точке x’э поле растет, точка x’ приближается к контакту – в область с большей концентрацией электронов – растет ток Очень большое напряжение  везде есть дрейф. Такой контакт называется антизапорным или омическим. Металлический контакт – выступает в качестве катода – т.е. в роли эмиттера электронов (2) блокирующий контакт;Выпрямление в контакте Влияние барьера зависит от соотношения между шириной барьера LD и длиной волны электрона l: LD<< l туннелирование LD> l только через барьер n0=1015 cм-3; 300 K LD~10-5 см - классический барьер (l(300K) ~10-6 см). n0=1018 -1019 cм-3  нужно учитывать туннельный ток

23. Классический слабо легированный барьер j1 ток электронов из полупроводника в металл j2 ток электронов из металлав полупроводник Расчет тока 2 случая: (1) длина свободного пробега l >>LD (2) длина свободного пробега l <<LD Ge 300 K; l~10-5 см ~LDпри n~ 1015 cм-3; n> 1015 cм-3диодная теория n <1015 cм-3диффузионная теория Диодная теория ( число соударений в запорном слое мало, l >>LD) В полупроводнике преодолеть барьер могут электроны с энергией из больцмановского хвоста Ранее мы нашли, что плотность тока термоэмиссионной эмиссии из металла равна В нашем случае работа выхода Т.е. электроны из полупроводника

24. Концентрацияэлектронов в глубине Средняя тепловая скорость Отсюда , где , a=e/kT В реальности есть сопротивление объема, т.е. u=v-ir диффузионная теория ( число соударений в запорном слое велико, l <<LD) В диффузионной теории нужно исходить из уравнений: При этом после вычислений опять же получаются формула Только В диффузионной теории ток меньше, чем в диодной!

25. Глава 7. Неравновесные электроны и дырки 7.1 Неравновесные носители тока В условиях термодинамического равновесия V12=v21 для всех переходов ( Принцип детального равновесия ) Это означает, что частоты переходов из зоны проводимости в валентнуюзону и обратно равны. Внешнее дополнительное воздействие нарушает термодинамическое равновесие ; и В равновесии: При внешнем воздействиипоявляются

26. 7.2 Время жизни неравновесных носителей (7.1) ge,hгенерация за счет внешнего воздействия (кроме тепла!) Ri=ri-gi,T - темп рекомбинации свободных электронов (i=e) и дырок (h) где ri - полный темп ухода из зоны i, gi,T  генерация за счет тепла Можно ввести среднее время жизни одного избыточного носителя Ri=dni/ti; и (7.1) записать в виде ddni/ti =gi-dni/ti В стационаре dni/ti=0 В случае отсутствия тока находим установившееся стационарное значение dni=giti В общем случае ti зависит от n, T и т.д. Если ti не зависит от концентрации dni=giti - Cexp (-t/ ti ) Если при t=0 было термодинамическое равновесие, т.е. dni(0)=0, то dni=giti (1- exp (-t/ ti ) ) (7.2) Если при t=0 выключена генерация, т.е. dni(0)=(dni)1 dni(0)=(dni) exp (-t/ ti ) (7.3) т.е. 1/ ti - вероятность рекомбинации

27. 7.3 Уравнение непрерывности Включим в рассмотрение электрический ток В объеме DV: токи электронов и дырок где (7.4) где Полные темпы изменения концентраций электронов и дырок (7.5) (7.5) – это уравнения непрерывности для электронов и дырок При нарушении термодинамического равновесия изменяются и концентрации связанных электронов и дырок Возникает объемный заряд Электрическое поле в (7.4) определяется уравнением Пуассона и граничными условиями.

28. Заметим, что с учетом очевидного тождества уравнения (7.5) дают обычное выражение для заряда r В общем случае нужно решать всю задачу. Однако в целом ряде случаев использование уравнения Пуассона может оказаться излишним Возникновение заряда приводит к появлению токов диффузии и дрейфа, которые стремятся уничтожить изменение объемного заряда Если диффузионно-дрейфовое равновесие устанавливается быстрее, чем термодинамическое - объемный заряд успевает обратиться в нуль за время tM (максвелловское время релаксации), которое много меньше te,th. В этом случае можно положить на частотах w<<1/ tMr~0; При этом Из уравнения Пуассона подставив r имеем: Второе слагаемое – ток смещения Максвелла т.е. линии полного тока – конвекционного jи тока смещения Максвелла - непрерывны Таким образом, рассматриваемый случай div j=0 означает, что токи смещения малы. Из написанных уравнений два важных следствия (1) Если , то из условия dr~0 dne = dnh (2) Если генерация только зона-зона, тогда И следовательно

29. 7.5 Фотопроводимость Фотовозбуждение неравновесных электронов и дырок Собственная генерация пар примесная генерация пар I(x)  световой поток на единицу поверхности g коэффициент поглощения -dI=I(x)gdx  число поглощенных фотонов в слое dx I(x)g число поглощенных фотонов в единице объема где n(w) - квантовый выход электрон (дырка) имеют энергию при t=0 E0 время релаксации по энергии tE<<te - время жизни При однородной генерации divj=0 (собственная фотопроводимость)

30. Стационарный случай Если tфп=const После выключения при 7.6 Квазиуровни Ферми В равновесии Фотовозбуждение Ток при неоднородном возбуждении : 

31. Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории 8.1 Вопросы зонной теории Мы рассматриваем одноэлектронное приближение Электрон в периодическом поле где Но ядра тоже движутся. Движение ядер и фононы. (1) Можно ли движение электронов рассматривать отдельно от движения ядер? (2) Можно ли пренебречь взаимодействием электронов с фононами  рассматривая задачу об энергетическом спектре электронов (3) Электронов много  когда можно пренебречь их взаимодействием? 8.2 Адиабатическое приближение Оправдывает раздельное рассмотрение движения электронов и тяжелых частиц (ядер) Физическая причина: различие масс. Электроны движутся быстро и характер их движения определяется мгновенным расположением ядер. Ядра движутся медленно и поэтому «замечают» лишь среднее расположение электронов. Квантовомеханическое оформление этих соображений: Электроны i,j… их радиус-вектор ri, масса m0 Ядра…a,b…………их радиус-вектор Ra, ….масса Ma r={r1….) R={R1…}

32. Энергия взаимодействия Уравнение Шредингера Ищем волновую функцию в виде Желательно, чтобы в c(r,R) переменные R можно было считать параметрами, т.е. чтобы по R не было дифференцирования 8.1 В третьей строке производные от c по координатам ядер они существенно меньше, чем в первой строке, т.е. в первом приближении можно положить, что 8.2 и 8.3 (8.2)  уравнение Шредингера для системы электронов,взаимодействующих друг с другом и с ядрами «прибитыми»в данный момент времени. Умножим (8.2) на c* и проинтегрируем по всем riи учтем, что

33. Получаем 8.4 E(R)есть квантовомеханическое среднее значение полной энергии электронов при заданной конфигурации ядер. Далее уравнение (8.3)  это уравнение Шредингера для ядер спотенциальной энергией т.е. разделили ядра и электроны. Такое разделение и есть Адиабатическое приближение - описывает поведение системы электронов при бесконечно медленном изменении координат ядер R. Оператор неадиабатичности (третья строка в уравнении (8.1)) Поправку к адиабатическому приближению через теорию возмущения  (Если возбужденное состояние имеет большую энергию по отношению к основному). Расчет показывает, что поправки пропорциональны (m0/M)1/4.

34. 8.3 Приближение малых колебаний (амплитуда колебаний мала по сравнению с постоянной решетки) Потенциальная энергия ядер зависит от состояния электронов, Следовательно, и положение ядер и их колебания относительно равновесных положений зависят от состояния электронов c(r) Этот эффект при рассмотрении рассеяния электронов в теории подвижности электронов невелик: испускание или поглощение нескольких фононов слабо влияет на интегральный эффект При захвате или испускании электрона одним центром – ситуация может отличаться кардинально – D-центры в III-V полупроводниках и т.д. Влияние неидеальности решетки из-за колебаний решетки Взаимодействие с акустическими и оптическим колебаниями в неполярных кристаллах в приближении малых колебаний  поправки обычно невелики. Исключение составляют полярные кристаллы. Колебания атомов  ионов  изменение дипольных моментов поляризационные колебания Дипольные моменты – поле спадает медленно – - ячеек, с которыми взаимодействует электрон - много Поэтому представление о движении электронов в идеальной решетке становится неоправданным. В этом случае  движение электронов – вызывает поляризацию ионов в среде  которая, в свою очередь,  взаимодействует с электронами и понижает энергию электронов  автолокализация электронов Электрон движется вместе с созданной им поляризацией  “полярон”. Если поляризация среды мала, то этим эффектом можно пренебречь. Si, Ge ….ковалентные полупроводники В III-V – поправки малы В II-VI и особенно I-VII – поправки весьма существенны.

35. 8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной. Метод самосогласованного поля заменить эффективным полем,так чтобы Нужно тогда (8.5) где Решение Уравнение (8.5)  это уже одноэлектронное уравнение Шредингера Теперь нужно определить и такое равенство невозможно !!! Можно попробовать, чтобы это равенство удовлетворялось в среднем.

36. При этом U’ не задано априори !!! Последовательные приближения , и т.д. Такое поле  называют самосогласованным. Если взять в качестве , Снова из функции Блоха То получим U’ периодичную функцию !!!  независимые события Причина - не учтена корреляция электронов из-за а) Принцип Паули б) Отталкивание электронов т.е. в приближении самосогласованного поля попадание электрона в элементы Соответственно, изменения в формуле (8.5) для U’ Отталкивание  поправки В целом, Кинетическая энергия  Вырожденный газ - из-за принципа Паули Таким образом, парадоксальный результат ---- чем больше плотность, тем идеальнее газ электронов! ; Невырожденный газ Чем меньше плотность, тем идеальнее газ

37. 8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной системы в полупроводниках Сильно взаимодействующая система  Слабо возбужденные состояния такой системы можно представить как идеальный или слабо неидеальный газ квазичастиц – элементарных возбуждений (1) Эти квазичастицы будут либо Бозе либо Ферми (2) будут иметь импульс (квазиимпульс) (3) могут иметь заряд, спин, и т.д. Заряженные частицы должны возникать парами (закон сохранения заряда) Электроны и дырки в полупроводнике суть элементарные возбуждения квазичастицы. Пока не рассматривается взаимодействие между квазичастицами зонная теория и многоэлектронная теория  неразличимы (кроме слов).

38. 8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения 8.5.1 Экситон Эксперимент  свет поглощается - фототока нет Связанное состояние электрона и дырки ; Пусть электрон и дырка движутся на расстоянии друг от друга r>> a a - параметра решетки т.е. метод эффективной массы можно использовать (8.6)  выход за пределы одноэлектронного приближения где В уравнении e при Уравнение (8.6) аналогично уравнению для атома водорода ; ; для c уравнение аналог зонного решения 2) l<0 1) l>0непрерывный спектр , где n=1, 2, …

39. где боровский радиус экситона  наиболее вероятное расстояние между e и h. GaAs aB~100 A Si aB~30 A Возможны экситоны Френкеля, когда aexc~ amol Экситоны Френкеля - в молекулярных кристаллах и в кристаллах инертных газов с малой диэлектрической постоянной и большой эффективной массой Использовать приближение эффективной массы и диэлектрическую постоянную кристалла в расчетах в этом случае нельзя 8.5.2 Границы применимости экситонного приближения До тех пор, пока концентрация экситонов мала  газ экситонов можно считать невзаимодействующим Что же возможно при повышении концентрации?: 1) Очевидное  развал экситонов на электроны и дырки e-h плазма с постоянной плотностью. 2) Электронно-дырочная жидкость с плотностью n1, окруженная экситонами с плотностью n2 3) Экситонные молекулы 4) Бозе-конденсат экситонов Экситоны Ванье-Мотта

40. Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 9.1 Межзонное поглощение света Законы сохранения E Ec Ev Прямые переходы Электромагнитное поле может быть описано векторным потенциалом k  Гамильтониан электрона с зарядом -e в периодическом поле кристалла V + Условие Лоренца +электромагнитное поле  мало  0 Т.е. возмущение света где

41. связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону проводимости Матричный элемент энергии возмущения  где  Коэффициент поглощения a разрешенные переходы Eg a запрещенные переходы Eg

42. 9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ 9.2.1 Одноэлектронное приближение ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ a E Eg E=hck E a Eex E Eex Eg K=ke+kh Для экситонов поглощение совпадает с энергиейEex при k~0

43. НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ Переход из состояния i в состояние j 1 + 2 либо 3 + 4  фотон фонон фонон фотон - т.е. второе приближение теории квантовых переходов Законы сохранения энергии и импульса выполняются только для начального и конечного состояния Nq число фононов, + испускание; - поглощение Эксперимент где   ~ ~ Вблизи края Eg a Eg -hW

44. 9.2.2 Экситонное поглощение РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ E=hck E  Eex ~ K=ke+kh 9.2.3 Экситонная рекомбинация РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ E=hck E экситоны – бозоны, но при малых плотностях статистика Больцмана Eex K=ke+kh exp(-E/kT) I Низкие температуры только испускание фононов Узкая линия с шириной 1,8 kТ E1/2 E Eexc-hW

45. 9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 9.3.1 Излучение ЭМ По аналогии с H2 экситоны должны образовывать экситонные молекулы Основное состояние  спиновый синглет для 2-х электронов и спиновой синглет для 2-х дырок в экситоне где dM - энергия связи молекулы Оптический переход  Линия излучения должналежать со стороны меньших энергий от экситона Излучение экситонов и биэкситонов в одноосно сжатом Si вдоль оси [100] В условиях равновесия mM =2mex , где nM,ex концентрации молекул и экситонов; nM,ex их кратности вырождения dM  энергия связи молекулы т.е. с увеличением плотности nM ~nex2

46. 9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем: Молекулы в основном состоянии находятся в состоянии спинового синглета В магнитном поле энергия спинового синглета в первом приближении (без учета диамагнетизма) не зависит от поля Экситон  включает электрон и дырку с неспаренными спинами В Si, Ge спин электрона sz=1/2спин дырки jz=3/2 при происходит развал молекулы на экситоны 2Eex B4>B3>B2>B1=0 EM Bcr 9.4 Электронно-дырочные капли Исследования излучения недеформированных Si и Ge показали, что поведение их спектров излучения с ростом накачки не соответствует описанному для экситонных молекул В спектре вместоизлучения молекул – широкая линия,отстоящая от линии излучения экситона на ~10 мэВ, что сравнимо сэнергией связи экситона и полностью отсутствуетизлучение молекул. В чем же отличие недеформированного Si и Ge от одноосно сжатых кристаллов, в которых наблюдаются экситонные молекулы? B

47. Причина  большая кратность вырождения зоны число долин (вырожд.) вырожд. Валентной зоны Si6 (12) 4 т.е. только Ge[111] Ge4 (8) 4 является аналогом Si[100] 2 (4) 2 для водорода !!! Ge[111] 1 (2) 2 Энергия e-h состояний зависит от кулоновской энергии взаимодействия электронов и дырокEкул ~1<r>~n1/3 и кинетической энергии вследствие локализации электронов и дырок  число долин Чем больше долин, тем меньше средняя кинетическая энергия, тем более связанные состояния могут образоваться. В Si - 6 долин  минимум полной энергии находится при Eкинn=1 n=6 E Etot n=1 n=6 Экситоны разваливаются и образуется металлическая e-h жидкость с энергией связи ~ 10 мэВ, что в 10 раз больше энергии связи экситонных молекул (~1 мэВ) . Eg Eex=Eg-Ry n1/3 EЭДЖ Eкул Равновесная плотность ЭДЖ n1/3>aB-1 В результате в системе экситонов происходит расслоение на разреженный газ экситонов и плотную электронно-дырочную жидкость в согласии с условием mexc=mЭДЖ

48. Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в недеформированном и одноосно сжатом вдоль разных направлений Si Вырождение зоны вален- прово- тной димости зоны 12 4 12 2 8 2 4 2 Ширина линии излучения ЭДЖ равна сумме энергий Ферми электронов и дырокEFe+EFh) Расстояние между фиолетовым краем линии излучения ЭДЖ и красным краем линии излучения экситона – энергия связи ЭДЖ С уменьшением вырождения валентной зоны и зоны проводимости величина энергии связи и энергии Ферми (и, следовательно, плотность жидкости) монотонно уменьшаются (Энергия связи уменьшается в 4 раза, а плотность в 3 раза при уменьшении числа долин с 6 до 2 и отщеплении зоны легких дырок в валентной зоне P||<111> P||<110> P||<100>

49. 9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном пространстве в непрямых полупроводниках Спектр излучения Экситоны – бозоны, при малых плотностяхmX<eX , |mX-eX|>>kT статистика Больцмана Узкая линия с шириной 1,8 kТ В одноосно сжаты кристаалах Ge c с одной долиной в загне проводимости и невырожденной валентной зоной в магнитном поле оказываются нестабильными и экситонные молекулы и электронно –дырочная жидкостью. Поэтому с ростом плотности экситонов химпотенциал может увеличиваться вплоть до энергии экситонного уровня T= 2.15 K 1.75 K При |mX-eX|<kT Статистика Бозе- Эйнштейна Спектр излучения C ростом плотности возбуждения наблюдается сужение линии В пределе mX=eX спектр, который достигается при nX= В спектре излучения ожидается излучения d-функция на энергии экситона, отвечающая излучению конденсата, со слабым фиолетовым хвостом, отвечающим излучению надконденсатных частиц. В эксперименте предел не был достигнут из-за разогрева экситонного газа с ростом плотности возбуждения

50. 9. 6 Экситонные поляритоны Законы дисперсии прямых экситонов и фотонов пересекаются Если симметрия одинаковая, то термы должны расталкиваться. Величина расталкивания определяется константой экситон-фотонного взаимодействия - W , или частотой Раби. В результате образуются смешанные экситон-фотонные состояния, получившие название – экситонные поляритоны с двумя ветвями нижней (low polariton LP) и верхней (upper polariton, UP) Условие образования поляритонов - частота Раби должна превышать обратное время рассеяния экситонов по импульсу, tX,p-1. Energy, E UP Eex Ypol(k)=akYX(k)+bkYph(k) Дисперсия поляритонных мод описывается уравнением где 4pb(0) – сила осциллятора для экситонного перехода k=0 -  w=0 и w=wex(0)(1+ 4pb/e)1/2 Одной энергии в кристалле 2 волны с разными к и с разными скоростями распространения – Следует ожидать при импульсном возбуждении – 2 импульса, выходящих из кристалла с задержкой друг относительно друга при стационарном возбуждении – интерференции для интерференции Оба эффекта были наблюдены экспериментально LP 0 k