1 / 58

Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie ID grupy: 98/78_MF_G1 Opiekun: Iwona Modzelewska Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: „Wyrażenia algebraiczne w opisywaniu prawidłowości i projektowaniu.”

nellis
Download Presentation

Dane INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie • ID grupy: 98/78_MF_G1 • Opiekun: Iwona Modzelewska • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • „Wyrażenia algebraiczne w opisywaniu prawidłowości i projektowaniu.” • Rok szkolny: 2011/2012

  2. Nasze działania: • W wybranym przez nas temacie projektowym „ Wyrażenia algebraiczne w opisywaniu prawidłowości i projektowaniu.” zajmowałyśmy się następującymi zagadnieniami: • Wyjaśnieniem poszczególnych pojęć związanych z wyrażeniami algebraicznymi oraz podaniem przykładów. • Rozwiązywaniem różnego typu zadań związanych z wyrażeniami algebraicznymi i ich zastosowaniem. • Wykonaniem projektu domu jednorodzinnego w programie GeoGebra. • Wykonaniem makiety domu jednorodzinnego

  3. Wyrażenia algebraiczne • Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi np. • -3x, a, 2x-3, 4(a-5), 3+y. • Jeżeli do danego wyrażenia algebraicznego w miejsce liter wstawimy konkretne liczby, to dla tych liczb możemy obliczyć wartość liczbową tego wyrażenia.

  4. Jednomiany • Jednomianem nazywamy wyrażenie, które jest pojedynczą liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter. • Jednomiany zapisujemy w postaci uporządkowanej, to znaczy najpierw znak, potem czynnik liczbowy, a następnie czynniki literowe w kolejności alfabetycznej np. • -3ab, -2, 5x, y, -20. • Iloczyn jednomianów jest jednomianem.

  5. Redukcja wyrazów podobnych • Wyrazy sumy algebraicznej różniące się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi np. • -7xy + 2y + xy - 5 • Wyrazami podobnymi są: -7xy i xy. • Przekształcenie sumy algebraicznej polegające na dodaniu do siebie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

  6. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 1. Redukcja wyrazów podobnych: • 7x2 - 2x + 4xy - 1 - 3x2 - 4x - xy + 5 + 3x + 2 • Teraz zaznaczamy wyrazy podobne: • 7x2 - 2x + 4xy -1 - 3x2 - 4x – xy+ 5 + 3x + 2 • Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy wyrażenie: • 4x2 - 3x + 3xy + 6 • Przykłady redukcji wyrazów podobnych : • 7x+6y-3x-4y=4x+2y • a-2a2+5-3a+4a2-3=-2a+2a2+2 • 3ab-5a2b2-6ab2+2ab+ab2+7a2b2=5ab+2a2b2-5ab

  7. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 2. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (opuszczanie nawiasów): • gdy przed nawiasem jest znak plus lub nie ma znaku opuszczając nawias przepisujemy wszystkie wyrazy bez zmian: • 2x + (3x-1) = 2x + 3x – 1 = 5x – 1 • gdy przed nawiasem jest znak minus to opuszczając nawias wszystkie wyrazy z nawiasu zmieniają znak na przeciwny : • 4a - (2a+1) = 4a - 2a – 1 = 2a – 1 • Przykłady dodawania i odejmowania sum algebraicznych: • –(3x+2) + (4y-3x+4) – 22= -3x-2+4y-3x+4-22 = -6x + 4y - 20 • (3a-6b) – (4a+8b) – (9a-2b) = 3a - 6b - 4a - 8b - 9a + 2b = -10a - 12b • -(2x-3)+(-3x-4)- (-6x+1) = -2x + 3 - 3x – 4 + 6x - 1 = x - 2

  8. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 3. Wyłączanie czynnika poza nawias: • ax – ay + az = a(x-y+z) • Przykłady wyłączania czynnika przed nawias : • 27xyz + 18ayz - 36yzw + 9yz = 9yz (3x + 2a - 4w +1) • 3·9 2·9 4·9 1·9 • 5a + 10b - 15c = 5( a + 2b - 3c ) • 1·5 2·5 3·5

  9. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 4. Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian – wymnażamy każdy wyraz sumy przez jednomian. • 4(x-2) = 4·x - 4·2 = 4x – 8 • Przykłady mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian: • 3(2x-3y) = 3·2x - 3·3y = 6x - 9y • 5(2xy-y) = 5·2xy - 5·y = 10xy - 5y • 8(x-y+1) = 8·x - 8·y + 8·1 = 8x - 8y + 8 • 2(x+1) - 3(x-1) = 2x+2-3x+3 = -x + 5 • 5(x-y-1) - 4(x+2) = 5x – 5y -5- 4x– 8 = x -13

  10. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych • 5. Mnożenie sum algebraicznych – wymnażamy każdy wyraz jednej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy • (2a – 3)(5b + 6) = 2a·5b + 2a·6 - 3·5b - 3·6 = • = 10ab +12a – 15b – 18 • Przykłady mnożenia sum algebraicznych: • (x-3)(3-x) = 3x-x2-9+3x = -x2 + 6x - 9 • (4a-b)(2b-3a) = 8ab – 12a2 – 2b2+3ab = – 12a2 – 2b2 + 11ab • 2(-2p - q)(q - 2p) = 2(-2pq +4p2 - q2 + 2pq) = 8p2 - 2q2

  11. Wykorzystanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach z treścią. • Zadanie 1 • Michał miał m złotych, Maciek cztery razy więcej, a Mirek o 6 złotych mniej od Maćka. Chłopcy złożyli wszystkie pieniądze razem, a następnie podzieli się nimi po równo. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego, ile pieniędzy dostał każdy z chłopców. Wykonaj obliczenia dla m=10.

  12. Rozwiązanie: • Pieniądze Michała - m • Pieniądze Maćka - 4m • Pieniądze Mirka - 4m - 6 • Wszystkie pieniądze razem można zapisać: m+4m+4m-6 czyli 9m- 6 • Każdy z chłopców dostanie (9m-6) : 3 czyli 3m - 2 • Dla m=10 • 3m - 2 = 3·10 - 2 = 30 - 2 = 28 • Odp: Każdy z chłopców dostanie 28zł.

  13. Zadanie 2 • Jedno wiadro benzyny waży 7kg, mleka 10,4 kg, betonu 22kg, a ołowiu 113,2 kg. Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące, ile waży: • a) b wiader mleka; • b) a+5 wiader ołowiu: • c) m wiader betonu i dwa razy więcej wiader benzyny. • Rozwiązanie: • a) b wiader mleka opisuje wyrażenie: 10,4 b • b) a+5 wiader ołowiu opisuje wyrażenie: (a+5)113,2 = 113,2a+566 • c) wiadra betonu i benzyny opisuje wyrażenie: • 22m + 2m 7 = 22m + 14m = 36m

  14. Zadanie 3 • Gosia ma x lat i jest o 2 razy młodsza od mamy. Jakim wyrażeniem algebraicznym można opisać łączny wiek Gosi i jej mamy? • Rozwiązanie: • Wiek Gosi – x • Wiek mamy - 2x • Łączny wiek Gosi i jej mamy możemy opisać takim wyrażeniem: • 2x + x czyli 3x

  15. Zadanie 4 • Świątynie greckie budowano w ten sposób, • że jeśli liczba kolumn na każdej krótszej • ścianie była równa n, to licząc kolumny • na dłuższej ścianie, powinniśmy otrzymać 2n+1. • Ile łącznie kolumn miała świątynia grecka na czterech ścianach? • Rozwiązanie: • Liczba kolumn na każdym dłuższym boku wynosi 2n + 1 • Liczba kolumn na każdym krótszym boku wynosi więc n – 2, • ponieważ dwie kolumny „narożne” wliczamy do boku dłuższego • Ilość wszystkich kolumn można więc zapisać wyrażeniem: • 2(n - 2) + 2(2n + 1) = 2n – 4 + 4n + 2 = 6n – 2

  16. Ciekawe zadania z testów z platformy e-learningowej • Zadanie 1 • Wstążkę podanej długości 10x+3y pocięto na trzy części. Pierwszą część ma następującą długość 2x+y, druga jest dwa razy dłuższa. Jaką długość ma trzecia część?Rozwiązanie : Pierwsza część : 2x+yDruga część jest dwa razy dłuższa: 2(2x+y) = 4x+2yTrzecią część obliczymy odejmując od całości pierwszą i drugą część : 10x+3-(2x+y)-(4x+2y) = 10x+3y-2x-y-4x-2y = 4x • Odpowiedź : Trzecia część ma długość 4x.

  17. Zadanie 2Rodzina Nowakowskich planuje trzy dniową wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia zamierzają przejechać x km, drugiego o 7 km więcej, a trzeciego połowę trasy pierwszego dnia i jeszcze 8 km. Zapisz jakiej długości trasę pokonają? Oblicz długość trasy gdy pierwszego dnia przejadą 42 km.Rozwiązanie : • w pierwszy dzień przejadą – x kmw drugi dzień przejadą – x + 7 kmw trzeci dzień przejadą – 1/2x + 8 kmdługość całej trasy wynosi : x + x + 7 + 1/2x + 8 = 2,5x + 15 • Gdy x = 42 km to długość trasy wynosi : 2,5·42 + 15 = 120 km

  18. Zadanie 3Na rysunku dany jest prostokąt . Jaka jest różnica pomiędzy długością przekątnej a długością krótszego boku prostokąta?Rozwiązanie : odejmujemy długość boku 2x+y • Od długości przekątnej 5x-3y • (5x-3y) - (2x+y) = 5x - 3y - 2x – y = • = 3x-4yOdpowiedź : Różnica tych długości wynosi 3x - 4y.

  19. Zadanie 4Doprowadź do najprostszej postaci podane • wyrażenie 2a(3a-4)-a(2a+5), a następnie • oblicz jego wartość liczbową dla a = -2.Rozwiązanie : 2a(3a - 4) - a(2a + 5) = 6a 2 - 8a - 2a 2 - 5a = 4a 2 - 13a • Dla a = -2 mamy: 4·(-2)2 - 13·(-2) = 4·4 + 26 = 16+26 = 42Odpowiedź : Wartość liczbowa wyrażenia wynosi 46.

  20. Zadanie 5Podane wyrażenie n(n+1)(n+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Jaka jest wartość tego iloczynu, jeśli ostatnia z tych liczb ma wartość 6?Rozwiązanie:n - pierwsza liczba naturalnan+1 – druga liczba naturalnan+2 – trzecia liczba naturalna, której wartość równa jest 6n+2 = 6 czyli n = 4, n+1 = 5, więc n(n+1)(n+2) = 4 ∙ 5 ∙ 6 = 120Odpowiedź: Iloczyn trzech liczb wynosi 120.

  21. Zadanie 6Trzech przyjaciół wybrało się na grzyby. Adam nazbierał x grzybów, Piotr połowę tego, co Adam i jeszcze 6 grzybów, natomiast Janek dwa razy tyle, co Piotr. Ile nazbierali grzybów razem, jeśli w koszyku Piotra było ich 20? • Rozwiązanie: • Grzyby Adama – xGrzyby Piotra – 1/2x+6 = 20 czyli 1/2x=14 czyli x=7Grzyby Janka - x+12Wstawiając za x liczbę 7 obliczamy:Grzyby Adama – 7Grzyby Piotra – 20 7+20+40= 67 Grzyby Janka – 40Odp: Chłopcy nazbierali razem 67 grzybów.

  22. Zadanie 7 • W 1 klasie liczącej 25 uczniów jest x dziewcząt. Z okazji dnia dziewczyn chłopcy złożyli się po 5 zł na kwiaty dla dziewcząt. Ile zebrali pieniędzy?Rozwiązanie:x – liczba dziewcząt25 - x – liczba chłopców(25 - x)∙5zł =25∙5 - 5∙x = 125 - 5xOdpowiedź: Zebrali 125-5x pieniędzy.

  23. Zadanie 8 • Normalny bilet do kina kosztuje n złotych. Bilet ulgowy jest o 30% tańszy. Ile należy zapłacić za 2 bilety normalne i 3 ulgowe? • Rozwiązanie:bilet normalny – n złbilet ulgowy – 70%n = 0,7 n • 2 bilety normalne + 3 ulgowe – 2n + 2,1n = 4,1n Odpowiedź: Za 2 bilety normalne i 3 ulgowe należy zapłacić 4,1n zł.

  24. Przekształcanie wzorów • Aby wyznaczyć z danego wzoru ustalona wielkość, musimy przekształcać ten wzór tak, jak równanie, traktując tę wielkość jako niewiadomą, a pozostałe litery jako wiadome liczby. • Poniżej na kilku przykładach pokażemy jak wyznaczać podane wielkości z wzorów.

  25. Przekształcanie wzorów • Zadanie 1. • Ze wzoru na pracę mechaniczną W = F · S wyznacz F i S. • Gdzie W- praca, F- siła, S- droga. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy F: • W = F · S / : S (dzielimy obie strony wzoru przez S) • W / S = F czyli F = W / S • Wyznaczamy S: • W = F ·S / F (dzielimy obie strony wzoru przez F) • W / F = S czyli S = W / F

  26. Przekształcanie wzorów • Zadanie 2. • Ze wzoru na moc P = W / t wyznacz W i t, gdzie: P- moc, W- praca, t- czas wykonanej pracy. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy W: • P = W / t • P · t = W czyli W = P · t • Wyznaczamy t: • P = W / t /·t (mnożymy obie strony wzoru przez t) • P · t = W / :P (dzielimy obie strony wzoru przez P) • t = W / P

  27. Przekształcanie wzorów • Zadanie 3. • Ze wzoru na energię kinetyczną wyznacz m i v. • - Wyznaczamy v: - Wyznaczamy m:

  28. Przekształcanie wzorów • Zadanie 4. • Ze wzoru na napięcie U = W / q wyznacz W i q, gdzie U- napięcie, W- praca, q- ładunek elektryczny. • Rozwiązanie: • Wyznaczamy W: • U = W / q /·q (mnożymy obie strony wzoru przez q) • U · q = W czyli W = U · q • Wyznaczamy q: • U = W / q /·q (mnożymy obie strony wzoru przez q) • U·q =W /:U (dzielimy obie strony wzoru przez U) • q = W / U

  29. Przekształcanie wzorów • Zadanie 5. • Ze wzoru na opór układu połączonego równolegle wyznacz • Wyznaczamy

  30. Wzory skróconego mnożenia • Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci gdzie n jest liczbą naturalną. • Francuski matematyk Blaise Pascal opracował metodę wyznaczania współczynników liczbowych dwumianu (a+b)n za pomocą trójkątnej tablicy liczbowej. Tablica ta została nazwana od jego nazwiska. • TRÓJKĄT PASCALA

  31. Wzory skróconego mnożenia • Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. • ( a + b )² = a² + 2ab + b² • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

  32. Wzory skróconego mnożenia • Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia, minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez długie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. • ( a – b )² = a² - 2ab + b² • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 - 2ab + b2

  33. Wzory skróconego mnożenia • Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy dwóch wyrazów przez ich różnicę. • (a - b)(a + b) = a2 - b2 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie: • (a-b)(a+b) = a2 + ab – ab - b2 = a2 - b2

  34. Wzory skróconego mnożenia • Sześcian sumy(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na kwadrat sumy): • (a+b)3 = (a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3 • Sześcian różnicy • (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 • Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na kwadrat różnicy): • (a-b)3 = (a2-2ab+b2)(a-b) = a3-2a2b+ab2-a2b+ • +2ab2- b3 = a3-3a2b+3ab2-b3

  35. Wzory skróconego mnożenia • Suma sześcianówa3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3 = a3+b3 • Różnica sześcianówa3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-ba2-ab2-b3 = a3-b3

  36. Wzory skróconego mnożenia • Zadanie 1. • Oblicz kwadrat następującej sumy (3a+ 5b) • Rozwiązanie: • Bez stosowania wzoru • (3a+5b)² = (3a+5b)·(3a+5b)=9a²+15ab+15ab+25ab²= • =9a²+2·15ab + 25ab² = 9a²+30ab+25b² • Z zastosowaniem wzoru • (3a+5b)² = (3a)² + 2·3a·5b + (5b)² = 9a² + 30ab + 25b²

  37. Wzory skróconego mnożenia • Zadanie 2 • Oblicz kwadrat następującej różnicy (2a - 4b) • Rozwiązanie: • Bez stosowania wzoru • (2a - 4b)² = (2a-4b)·(2a-4b) = 4a²- 8ab - 8ab + 16b² = • = 4a² - 2·8ab + 16b² = 4a² - 16ab + 16b² • Z zastosowaniem wzoru • (2a - 4b)² = (2a)² - 2·2a·4b + (4b)² = 4a² - 16ab + 16b²

  38. Średnia harmoniczna • Średnia harmoniczna dwóch wielkości to odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych wielkości. • Średnią harmoniczną n liczb dodatnich • nazywamy liczbę postaci:

  39. 2 • Zadanie 1 • Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego średnią harmoniczną liczb 2a i 4a oraz doprowadź to wyrażenie do najprostszej postaci. • Rozwiązanie: • 2a- pierwsza liczba odwrotność pierwszej liczby • 4a- druga liczba odwrotność drugiej liczby • Średnia arytmetyczna odwrotności liczb 2a i 4a • Średnia harmoniczna liczb 2a i 4a

  40. Zadanie 2 • Sprawdź, czy prawdą jest, że średnią harmoniczną liczb x i y można zapisać w postaci wyrażenia • Rozwiązanie: • x - pierwsza liczba odwrotność pierwszej liczby • y - druga liczba odwrotność drugiej liczby • Średnia arytmetyczna odwrotności liczb x i y • Średnia harmoniczna liczb x i y • c.b.d.u.(co było do udowodnienia) ;)

  41. Sofizmaty • Sofizmat - zwodniczy „dowód” matematyczny, pozornie poprawny, lecz zawierający trudny do wykrycia błąd. • Przykład 1 • Wykażemy, że 2=1 •   Niech x = y. • x2 = yx (mnożymy tę nierówność przez x) • x2-y2 = yx-y2(odejmujemy od obu stron  równania y2) • (x- y)(x+y) = y (x-y) (przekształcamy) • x+y = y (dzielimy przez (x-y))

  42. Sofizmaty • Ponieważ założyliśmy, że x = y • więc podstawiając mamy, że 2y = y. • Wniosek: 2 = 1. Gdzie jest błąd? • Odpowiedź: Jest to oczywiście sofizmat. Dzieląc obie strony przez x-y dzielimy tak naprawdę wyrażenie przez 0, ponieważ założyliśmy, że x=y, a dzielenie przez 0 jak wiemy jest niewykonalne.

  43. Sofizmaty • Przykład 2 • Niech a>b i niech a=b+c. • Równość tę mnożymy przez a-b: a(a-b)=(b+c)(a-b) • Przekształcamy: a2-ab=ba-b2+ca-cb • Przenosimy wyrazy: a2-ab-ac=ab-b2-bc • Wyłączamy wspólny czynnik: a(a-b-c)=b(a-b-c) • Dzielimy przez (a-b-c) i otrzymujemy: a=bDlaczego? • Odpowiedź: Jest to sofizmat. Wniosek, że a=b, jest fałszywy, mimo iż pozornie wydaje się nam prawdziwy. Błąd powstał wskutek dzielenia równania przez wyrażenie, którego wartość wynosi 0 (a-b-c=0).

  44. Nasz Projekt domu • W ramach realizacji tematu wykonałyśmy również projekt i makietę domu. Podzieliłyśmy się na grupy i każda grupa pracowała nad innym zadaniem. • Jedna grupa tworzyła projekt domu w programie GeoGebra, inna grupa pracowała nad makietą domu. • Makieta i projekt domu są wykonane w skali 1:30. • Zadanie okazało się wcale nie łatwe, jak wydawało się to na początku .

  45. Początki projektowania domu

  46. Początki projektowania domu

  47. Prace końcowe projektowania

  48. Efekt końcowy projektu domu

  49. Powierzchnia poszczególnych pomieszczeń • Pomieszczenia: 3 pokoje, garderoba, łazienka • Łączna powierzchnia użytkowa: 66,2 m2 • Pokój I: • Wymiary pomieszczenia: 6m x 5m x 2,5m • Powierzchnia podłogi: 30 m2 • Powierzchnia ścian: 51 m2 • Wymiary drzwi wejściowych: 1 m x 2,1 m • Wymiary okna: 1,4 x 1,3 metra

More Related