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第五章 无限长单位冲激响应（ IIR ）数字滤波器的设计方法 (3)

第五章 无限长单位冲激响应（ IIR ）数字滤波器的设计方法 (3). 尚 勇. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）. 上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失真，这主要是因为从 s 平面到 z 平面的映射是多值（多对一）的映射关系。双线性变换法就是从克服混叠失真的角度出发，寻找从 s 平面到 z 平面的单值映射关系。. 其原理是先将 s 平面进行压缩至 s 1 平面，再将压缩的 s 1 平面向 z 平面进行单值映射。由于这种映射是单值的，可以很好的克服频率响应的混叠失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的.

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第五章 无限长单位冲激响应（ IIR ）数字滤波器的设计方法 (3)

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  1. 第五章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法(3)第五章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法(3) 尚 勇

  2. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值（多对一）的映射关系。双线性变换法就是从克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面的单值映射关系。 其原理是先将s平面进行压缩至s1平面，再将压缩的s1平面向z平面进行单值映射。由于这种映射是单值的，可以很好的克服频率响应的混叠失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的

  3. 图7 双线性变换的映射关系 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 一、变化原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，其变换原理为： 1、首先把整个s平面压缩变换到某一s1平面的一条横条内（从-π/T到 π/T）； 2、利用z=es1T 将s1平面内的横条变换到整个z平面上去。 这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真

  4. (1) s平面 s1平面： 将s平面整个虚轴j压缩至s1平面虚轴j上的 (-/T，/T)这一段内，压缩关系为： 通过上式就将(-，) 1(-/T，/T) 其中+ /T，- -/T，0 0 (5.17)式按指数形式展开可另写为： § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）

  5. 结合(1)、(2)两步变换，可得双线性变换法中由 s 平面 z 平面的单值映射为 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 将这一压缩变换延拓至整个s平面和s1平面有 (2) 将 s1 平面映射到 z 平面(映射关系如下 ) 以上就是双线性变换的原理及映射公式。

  6. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率不再是线性对应关系），可引入待定常数c，通过c的选择来实现不同的频率对应关系。 加入常数c之后的双线性变换公式为

  7. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 二、变换常数c的选择 前面提到，常数c的选择（改变）为模拟滤波器到数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，通过常数c的不同选择可以起到灵活调节数字滤波器频带的作用。 常用选择c的方法和依据、准则主要有：

  8. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 1、选择c，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频端有较确切的对应关系，即在低频端有＝1 因为当1＝ / T 较小时，有 根据(5.21)式可知，此时 即当c=2/T时，可保证模拟滤波器低频特性近似于数字滤波器的低频特性

  9. 此时有 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一个特定频率Ωc=2fc严格对应，即 这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可以较准确地控制截止频率的位置。

  10. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 三、双线性变换法优缺点分析 双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的混叠现象。 关于这一点，通过前面的图7和（5.17）式和（5.21）式就可以清楚的看到。 下面再具体说明一下双线性变换法的有效性（正确性）

  11. 即s平面的虚轴的确与z平面的单位圆相对应(j ej) § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 首先将z=ej代入(5.23)式，可得 其次，将s=+j代入(5.24)式，有 此时z的模为

  12. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 讨论： 所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的

  13. 它表示 是单值的一一对应的映射关系 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和数字频率ω之间的变换关系为 关键频点的对应关系：

  14. Ω/c Ω=ctan(ω/2) -π π ω § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠 缺点：有可能存在严重的非线性失真，这一点是由tan函数所决定的，tan(.)函数在0附近有较好的线性近似，但随着Ω的增加，Ω和ω之间便存在着严重的非线性关系，如下图8所示。 根据前面的讨论，当c=2/T时，能保证在低频端ω和Ω有效的近似线性关系。 但随着Ω的增大，Ω和ω之间存在严重的非线性关系

  15. 1、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得到的数字滤波器是非线性相位的。1、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得到的数字滤波器是非线性相位的。 2、这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应应近似等于某一常数，否则变换后所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，换句话说，经过这种非线性变换设计出的数字滤波器不能很好的反映出原模拟滤波器幅频特性随模拟频率变化的部分。 （非线性变化会造成，当Ω的刻度是均匀的时候，映射到z平面ω的刻度则是不均匀的，而是随着ω的增加越来越密。各关键频点的变换用Ω=ctan(ω/2)来计算。） 这种非线性关系可带来的问题有：

  16. 3、好在一般典型的低通、高通、带通、带阻滤波器的幅频特性在大部分频段都是分段常数型的，但在这些滤波器各分段边缘临界频率点附近，其幅频特性是会随着频率变化的，这时设计的数字滤波器就会有畸变，为了克服这种频率畸变，可通过频率预畸变来加以校正。3、好在一般典型的低通、高通、带通、带阻滤波器的幅频特性在大部分频段都是分段常数型的，但在这些滤波器各分段边缘临界频率点附近，其幅频特性是会随着频率变化的，这时设计的数字滤波器就会有畸变，为了克服这种频率畸变，可通过频率预畸变来加以校正。 预畸变原理： 按照给定的数字滤波器关键频率点，用Ω=ctan(ω/2)来求解相应的模拟滤波器的关键频率点，而不是用Ω=ω/T来求解。根据Ω=ctan(ω/2)得到了模拟滤波器各关键频率点之后，设计相应的模拟滤波器，再用双线性变换法设计相应的数字滤波器，则此时得到的数字滤波器各关键频率点正是给定的数字滤波器的关键频点。

  17. 根据（5.23）式 有 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 四、数字滤波器的双线性设计方法 利用（5.27）式可直接完成双线性变换设计，但当滤波器阶数较高时，将H(z)整理成需要的形式，不是一件简单的工作。为了方便设计，目前已将模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤波器各系数之间的关系，列成表格供设计时使用，见书中P251表6－2。

  18. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 表中各参数含义如下各式所示 当然，由于双线性变换法中s和z之间变换关系为s=c(1-z-1)/(1+z-1)，是非超越函数关系，故可先将模拟系统的系统函数Ha(s)分解成并联的子系统或级联的子系统，再对每个子系统函数分别用双线性变换进行设计。而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来可直接查表进行，方便易行。

  19. 将Ha(s)分解为级联子系统Ha(s)=Ha1(s)Ha2(s)…Ham(s) 对Hai(s)分别做双线性变换后得到 H(z)=H1(z)H2(z)…Hm(z) 将Ha(s)分解为并联子系统 Ha(s)=Ha1(s)＋Ha2(s)＋…＋Ham(s)， 对Hai(s)分别做双线性变换后得到 H(z)=H1(z)＋H2(z)＋…＋Hm(z) § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）

  20. 解： 按要求，此时c=2/T，令T=1s， 则上式有 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 例：已知模拟滤波器 Ha(s)=1/(1+s)，试利用双线性变换法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，要求模拟滤波器和数字滤波器在低频端有确切的对应关系。

  21. |Ha(jΩ )| |H(ejω )| Ω π/2 π ω § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 下面分别画出上式中的|Ha(jΩ)|和|H(ejω)| 由图可见，Ha(jΩ)并不是带限的，它拖了很长的“尾巴”，但由于双线性变换具有频率压缩作用，故设计得到的H(ejω)被限制在(0,π]之间，故不存在频率混叠现象。

  22. § 5.4 双线性变换法（频域逼近法） 通过上述两节的讨论，我们介绍了两种最常用的由模拟滤波器设计数字滤波器的设计方法，这两种方法各有优缺点。 在下一节里我们将通过一个较完整的设计例子来总结由模拟滤波器到数字滤波器的设计方法。给出设计步骤，同时指出设计中应注意的问题。 作业：3

  23. §5.5 由模拟滤波器到数字滤波器的设计举例

  24. 由模拟滤波器到数字滤波器设计举例 首先给出这种设计思想的设计步骤 以数字低通滤波器的设计为例 ⑴ 确定数字滤波器的性能指标(设计要求)，这一步根据工程需要，明确设计指标 ⑵ 确定对应的模拟低通滤波器的性能指标 这一步主要是根据设计方法，利用相应的映射关系将数字低通滤波器的关键频率参数映射到模拟域得到模拟低通滤波器相应的频率参数。 当采用冲激响应不变法设计时，映射关系为=/T 当采用双线性变换法设计时，映射关系为=ctan(/2)

  25. ⑶按照模拟低通滤波器的参数和性能指标，利用模拟低通滤波器设计方法设计模拟低通滤波器，得到Ha(s)⑶按照模拟低通滤波器的参数和性能指标，利用模拟低通滤波器设计方法设计模拟低通滤波器，得到Ha(s) ⑷ 利用冲激响应不变法或双线性变换法， 由Ha(s)得到H(z) 以上设计步骤中 • 第(1)步要明确工程要求，确定满足这一要求的数字低通滤波器指标； • 第(2)步确定用何种方法(冲激响应不变法或双线性变换法等)完成模拟低通滤波器到数字低通滤波器的设计； • 第(3)步完全是模拟滤波器的设计问题，为了下面设计举例的完整性，这里我们予以简单介绍； • 第(4)步实现模拟滤波器到数字滤波器的设计。

  26. 模拟低通滤波器设计方法简介 • 在设计举例之前，有必要先简单介绍一下模拟滤波器设计的思想和方法。 一、巴特沃思低通逼近(又称最平幅度逼近) 巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为 其中N为滤波器的阶次，c称为截止频率, 当=c时有 通常允许的最大衰减(波纹) 所以又称c为巴特沃思低通滤波器的3dB带宽。

  27. 模拟低通滤波器设计方法简介 3dB带宽是一个很有用的指标——代表功率谱以最大值下降到一半时对应的频带宽度。 巴特沃思低通滤波器的特点： =0时，|Ha(j)|2=1，滤波器在=0处无衰减 =c时，|Ha(j)|2=1/2，无论滤波器如何设计(即选择不同的N)，所有的幅频特性均经过-3dB点——3dB点不变性 <c时，通带内|Ha(j)|2有最平坦的幅度特性(与其它滤波器相比)当从0到c时，|Ha(j)|2单调减小，N越大，减小的越慢，即通带越平坦

  28. 1 N=8 N=4 图11. 巴特沃思滤波器幅频特性与其阶数N的关系 N=2 0 • ⑷ 当>c时，即在过渡带和阻带内|Ha(j)|2也随着的增加而单调减小，从(5-28)式可以看到，此时/c>1，故比通带内(/c<1)衰减的速度要快得多，且N越大，衰减的速度就越大。当=st时(即频率为阻带截止频率时，衰减为 • 2=-20lg|Ha(jst)|， 2——阻带最小衰减 ⑸ 巴特沃思滤波器的所有零点均在s=处。在有限的s平面仅有极点。因此该滤波器又被称为“全极点型”滤波器。

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