第七章线性变换

第七章线性变换 • §1线性变换的定义 • §2 线性变换的运算 • §3 线性变换的矩阵 • §4特征值与特征向量 • §5 对角矩阵 • §6 线性变换的值域与核 • §7 不变子空间

表示符号 • A B C D E F G H I J K L M • N O P Q R S T U V W X Y Z • A B C D E F G H I J K L M • N O P Q R S T U V W X Y Z • A B C D E F G H I J K L M • N O P Q R S T U V W X Y Z

§1 线性变换的定义 • 定义 • 例题 • 性质

定义上一章我们看到，数域P上任意一个n维线性空间都与同构，因之，有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了。线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换。线性变换是线性代数的一个主要研究对象。下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P上的线性空间。

定义1线性空间V的一个变换A 称为线性变换，如果对于V中任意的元素和数域P中任意数k,都有以后我们一般用黑体大写拉丁字母代表V的变换，或代表元素在变换A下的象。定义中等式所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。

例1平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角，就是一个线性变换，我们用表示。如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是 , 那么象的坐标，即旋转角之后的坐标是按照公式来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换。

例2设 是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它。用公式表示就是这里表示内积。例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E,即以及零变换0，即都是线性变换。

例4设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数 定义V的变换如下：这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示。显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换。

例5在线性空间或者 中，求微商是一个线性变换。这个变换通常用D代表，即例6定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空间中，变换是一线性变换。

从定义推出线性变换的以下简单性质：1.设A是V的线性变换,则这是因为2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变。换句话说，如果 是的线性组合：那么经过线性变换A之后，是同样的线性组合：

又如果 之间有一线性关系式那么它们的象之间也有同样的关系 3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。例如零变换就是这样。 BACK

§2 线性变换的运算 • 乘法 • 加减数乘 • 逆变换 • 变换的多项式

线性变换的运算 在这一节,我们来介绍线性变换的运算及其简单性质。首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法。设A，B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积AB为容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事实上，

这说明AB是线性的。 既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换的乘法当然也适合结合律，即但线性变换的乘法一般是不可交换的。例如,在实数域R上的线性空间R[x]中，线性变换

的乘积，但一般。 对于乘法，单位变换E有特殊的地位。对于任意线性变换A 都有

其次，对于线性变换还可以定义加法。 设A，B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为容易证明，线性变换的和还是线性变换。事实上，

这就说明A+B是线性变换。不难证明，线性变换的加法适合结合律与交换律，即证明留给读者完成。这就说明A+B是线性变换。不难证明，线性变换的加法适合结合律与交换律，即证明留给读者完成。

对于加法，零变换0有着特殊的地位。它与所有线性变换A 的和仍等于A，对于每个线性变换A，我们可以定义它的负变换(-A)：容易看出，负变换(-A)也是线性的，且线性变换的乘法对加法有左右分配律，即事实上，

这就证明了左分配律，右分配律可以类似地证明。这就证明了左分配律，右分配律可以类似地证明。在上一节例4中我们看到，数域P中每个数k都决定一个数乘变换K。利用线性变换的乘法，可以定义数域P中的数与线性变换的数量乘法为kA=KA.即当然KA还是线性变换。容易看出，线性变换

的数量乘法适合以下的规律： 对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算。由加法与数量乘法的性质可知，线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间。

V的变换A 称为可逆的，如果有V的变换B存在，使这时，变换B称为A的逆变换，记为A -1。现在来证明，如果线性变换A 是可逆的，那么它的逆变换A -1也是线性变换。事实上，

这就说明是线性变换。

最后，我们引进线性变换的多项式的概念。 当n个(n是正整数)线性变换A 相乘时，我们就可以用n个来表示，称为A 的n次幂，简单地记作A n。此外，作为定义，令根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：

当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形。线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来设是P[x]中一多项式，A 是V的一线性变换，我们定义

显然，f(A)是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式。不难验证，如果在P[x]中那么特别地，即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。例1在三维几何空间中，对于某一向量的内

射影是一个线性变换(参看图1)。 可以用下面的公式来表示(§1,例2)：其中表示向量的内积。图1图2

从图2不难看到，在以 的法向量的平面x上的内射影可以用公式表示。因此这里E是恒等变换。对于平面x的反射也是一个线性变换，它的象(图2)由公式给出，因此设是空间的两个向量。显然，与互相

垂直的充分必要条件为 例2在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示(§1例5)。显然有其次，变数的平移也是一个线性变换，用表示。根据泰勒展开式

因之实质上是D的多项式： BACK

§3 线性变换的矩阵 线性变换的矩阵线性变换的运算与矩阵运算的对应矩阵相似

线性变换的矩阵 设V是数域P上n维线性空间，是V的一组基。空间V中任一向量可以被基线性表出，即其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标。

由于线性变换保持线性关系不变， 因而在的象与基的象之间有关系：

1.设是线性空间V的一组基， 如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即那么A=B。证明 A 与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量，等式成立。而由(2)及假设，即得

结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。 2.设是线性空间V的一组基。对于任意一组向量一定有一个线性变换A使证明我们来作出所要的线性变换。设

是线性空间V的任意一个向量，我们定义V的变换A 为下面来证明变换A 是线性的。在V中任取两个向量，于是

按所定义的A 的表达式(4)，有因此, A 是线性变换, 再来证A 满足(3)式。因为所以

综合以上两点，得 定理1设是线性空间V的一组基，是V中任意n个向量。存在唯一的线性变换A使

有了以上讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。有了以上讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。定义2设是数域P上n维线性空间V的一组基，A 是V中的一个线性变换。基向量的象可以被基线性表出：

用矩阵来表示就是其中 矩阵A称为A 在基下的矩阵。

例设 是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基,把它扩充为V的一组基。指定线性变换A 如下：如此确定的线性变换A 称为对子空间W的一个投影。不难证明投影A在基下的矩阵是

m行 m列

定理2 设 是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对应一个n×n矩阵。这个对应具有以下的性质：1)线性变换的和对应于矩阵的和；2)线性变换的乘积对应与矩阵的乘积；3) 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证明设是两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别是 ,即

1) 由 可知，在基下，线性变换的矩阵是

相仿地，因此，在基下， • 线性变换的矩阵是AB。

3) 因为所以数乘变换K 在任何一组基下都对应与数量矩阵kE。由此可知，数量乘积 kA对应与矩阵的数量乘积kA.

4) 单位变换对应于单位矩阵，因之等式 与等式相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵对应。

利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的象。利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的象。定理3设线性变换在基下的矩阵是 A，向量在基下的坐标则在基下的坐标可以按公式计算。

证明由假设 于是

第七章 线性变换