Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων

1. Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Καρτεσιανό Γινόμενο

2. Διατεταγμένο Σύνολο • ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο δύο στοιχείων (x, y) στο οποίο μπορεί να οριστεί ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο λέγεται «διατεταγμένο ζεύγος». • ΙΣΟΤΗΤΑ: (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2 & y1 = y2 • Συντεταγμένες ονομάζονται οι τιμές x και y.

3. Καρτεσιανό Γινόμενο • ΟΡΙΣΜΟΣ: Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α καιΒ ονομάζεται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών(x, y) με xΑκαι y B . • ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A×B ={(x, y) : x A& y B}

4. Διατεταγμένη ν-αδα • ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο S(a1,a2,…,av) ν στοιχείων το οποίο ορίζεται με συγκεκριμένη σειρά λέγεται «διατεταγμένη ν-άδα στοιχείων». • ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: 􀀦 • Σημείωση: Είναι γενίκευση της δυάδας.

5. Καρτεσιανό Γινόμενο Ν-Συνόλων • Ορισμός: Το σύνολο των διατεταγμένων ν-άδων που ορίζονται από το σύνολο Α1×Α2×…×Αν={(x1,x2,…,xv) : xi Ai, i=1,2,…v} καλείται καρτεσιανό γινόμενο των Α1,Α2,…,Αν. Το στοιχείο xiείναι η i – συντεταγμένη της διατεταγμένης ν-άδας

6. Παράδειγμα I • Έστω τα σύνολα Α={x, y, z} και Β= {a, b, c} • Το γινόμενο Α × B θα ισούται με Α × B = {x, y, z} x {a, b, c}= = { (x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c), (z, a), (z, b), (z, c) }

7. Παράδειγμα II • Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης, Μόνικα} και Β= {, {}} • Το γινόμενο Α × B θα ισούται με Α × B = {Μαρία, Μανόλης, Μόνικα} x {, {}}= { (Μαρία, ), (Μαρία, {}), (Μανόλης, ), (Μανόλης, {}), (Μόνικα, ), (Μόνικα, {}) }

8. Παράδειγμα III • Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης}, Β= {x,y}και Γ={1,2} • Το γινόμενο Α × B× Γθα ισούται με Α × B× Γ= {Μαρία, Μανόλης} × {x,y} × {1,2} = {(Μαρία, x, 1),(Μαρία, x, 2), (Μαρία, y, 1), (Μαρία, y, 2), (Μανόλης, x, 1),(Μανόλης, x, 2), (Μανόλης, y, 1), (Μανόλης, y, 2),}

9. Παράδειγμα IV • Έστω τα σύνολα Α={Μαρία, Μανόλης, Νίκος}, Β= {x,y}και Γ={1} • Το γινόμενο Α × B× Γθα ισούται με Α × B× Γ= {Μαρία, Μανόλης, Νίκος} × {x,y} × {1}= {(Μαρία, x, 1),(Μαρία, y, 1), (Μανόλης, x, 1), (Μανόλης, y, 1), (Νίκος, x, 1),(Νίκος, y, 1)}