روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II

2. روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II کریم عابدی

3. فصل دوم: تحليل غیرخطی عناصر محدود (بخش چهارم)

4. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته - در اين فصل، مباني نظريه پلاستيسيته با نگرش به سوي ايجاد و توسعة يك روش عمومي عددي براي محاسبه تنش ارائه مي شود. بعد از يك مقدّمه مختصر بر مفاهيم اساسي پلاستيسيته، مدل مصالح von Mises تعريف مي شود. ايجاد، توسعه و كاربرد نظريّات پلاستيسيته براي مسائل مهندسي با كارهاي پيشگامانة Tresca (1864)؛ St. Venant (1870)؛ Levy (1870) آغاز گشته و با كارهاي برجسته و اصلي von Mises (1913)؛ Prandtl (1924) و Reuss (1930) ادامه پيدا كرد. 1-نظريات ميكرومكانيكي در حالت كلّي، نظريه هاي پلاستيسيته را به دو رده مي توان تقسيم كرد: 2- نظريات ماكرومكانيكي

5. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 1-4-8- مقدمه نظريات ميكرومكانيكي، تغيير شكل هاي پلاستيك را در سطح ميكروسكوپي تحليل كرده و در پي تشريح شرايطي در كريستال ها و بلورهاي فلزات هستند كه منجر به جريان پلاستيك مي شود. نظريات ماكرومكانيكي پلاستيسيته (كه نظريات رياضي نيز ناميده مي شوند)، تغيير شكل هاي پلاستيك را از نقطه نظر پديدارشناسي، در سطح ماكروسكوپي، توصيف نموده و روابطي را بين كميت هاي مكانيكي ماكروسكوپي (نظير تنش ها، كرنش ها و جز آنها) برقرار مي كند. اين روابط براساس اصول عمومي مكانيك و مشاهدات تجربي استوار مي باشند.

6. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 1-4-8- مقدمه • روش هاي حل اوليه براساس قضاياي وردشي استوار هستند. • اين روش هاي حل وردشي، قضاياي كران پايين و بالا را براي ظرفيت نهايي باربري سازه ها فراهم مي آورند. • ظرفيت باربري نمونه ها را مي توان با استفاده از روش مشخصه نيز محاسبه نمود. • با استفاده از اين روش هاي كلاسيك، يافتن يك پاسخ الاستوپلاستيك كه كل تاريخچة تغيير شكل را از حالت ارتجاعي تا حالت بارحدّي به دست دهد، عملاً بسيار دشوار و حتي غيرممكن است. • در فضاي امروزين مهندسي، انجام تحليل با جزئيات كامل براي سازه هايي كه داراي هندسة بسيار پيچيده اي مي باشند، الزامي است. • اين تحليل ها بايد تاريخچة كامل پاسخ را از شرايط ارتجاعي تا شرايط پلاستيك، از جملة گسترش تغيير شكل هاي بزرگ و الاستوپلاستيك تا وقوع محتمل خرابي را دنبال نمايند.

7. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 2-4-8- پلاستيسيتة ايزوتروپيك مفاهيم لازم براي فرمول بندي يك مدل مصالح در محاسبة پاسخ مصالح در حين تغيير شكل هاي پلاستيك عبارتند از: 1- سطح تسليم يا تابع تسليم شرايط تسليم را مشخص مي كنند. تغيير سطح تسليم در حين تغيير شكل را نمايش مي دهند. 2- قاعدة سخت شدگي 3- قاعدة روابط تنش ـ كرنش پلاستيك مصالح از مشاهدات تجربي شروع كرده و سپس روابط رياضي براي مدل سازي اين مشاهدات را ارائه خواهیم کرد. در ارائه اين مفاهيم بنيادي، دو روش را اتخاذ خواهيم كرد: روابط رياضي مبتني بر اصول مكانيكي را ايجاد نموده و نتايج تجربي كه مؤيد اين روابط هستند، ارائه می شوند.

8. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك بحث خود را از داده های تجربی آغاز خواهیم کرد که نقش مهمی را به عنوان یک پایه و اساس برای ایجاد و توسعه روابط ریاضی برای نمایش رفتار یک، دو و سه بعدی ایفا می نمایند. - آزمايشات اساسي: نتايج تجربي حاصل از آزمايش تك­محوري كشش/ فشار يك فلز مطابق با [Smith and Sidebottom (1965)]. اين شكل همچنين هنگامي كه نمونه ابتدا تحت اثر فشار و سپس كشش قرار مي گيرد، رفتار تنش ـ كرنش مشابهي را نشان مي دهد. نتايج مشابهي براي ساير فلزات به دست آمده اند. اگر يك نمونة فولادي با كربن بالا و بازپخت شده تحت اثر كشش و سپس فشار باشد، كه شامل باربرداري نيز خواهد بود، رفتار تنش ـ كرنش آن به صورت زیر است:

9. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك براساس اين داده هاي آزمايشگاهي، مدل هاي مصالحي را براي تغييرشكل الاستوپلاستيك يك فلز در بارگذاري تك محوري تعريف مي نمائيم: در بررسي هاي تجربي، منحني تنش ـ كرنش تك محوري به صورت رابطه اي بين تنش حقيقي (تنش Cauchy، نيرو در واحد سطح كنوني) و كرنش حقيقي (كرنش لگاريتمي كه در آن و به ترتيب طول هاي كنوني و اوّلية نمونة مصالح مورد نظر مي باشند) رسم مي شود. كرنش در شكست (نقطة شكست F در منحني) مي­تواند 50% يا بيشتر باشد.

10. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك در اين فصل ، شرايط كرنش هاي كوچك كمتر از چهار درصد مدنظر است. در اين حالت، مي توان در ايجاد و توسعة مدل مصالح، تنش را كه به صورت نيرو در واحد سطح اوليه تعريفمي شود (تنش kirchhoff) و كرنش مهندسي بي نهايت كوچك e(تغییر طول به طول اولیه) را، استفاده كرد. نمودار در شكل (ب) نشان داده شده است. منحني تنش ـ كرنش تك­محوري در شكل (ب)، نمايشگر منحني بنيادي دركرنش هاي كوچك و تغيير مكان هاي بزرگ، به عبارت ديگر شرايط تغيير شكل كرنش كوچك مي باشد. منحني تنش Cauchy ـ‌ كرنش لگاريتمي در شكل (الف) نيز منحني بنيادي در تحليل هاي كرنش بزرگ را نمايش مي دهد. نقطة مهم در نمودارها براي روش هاي حل الاستوپلاستيك، حد ارتجاعي يا نقطة تسليم است (نقطة A). اگر تنش، پايين تر از تنش تسليم باشد، در اين صورت در اثر باربرداري، مصالح به بافتار تغييرشكل نيافتة خود برمي گردد. قسمت OA نمودار، ميدان ارتجاعي مصالح را نشان مي دهد. در حالت بارگذاري در بالاتر از تنش تسليم، كرنش پلاستيك دائمي بعد از باربرداري باقي مي ماند.

11. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك كل كرنش e متناظر با تنشعبارت است از: E مدول يانگ است كه كرنش الاستيك e و تنش را به همديگر ربط مي دهد. كرنش پلاستيك در تنشِ متناظر با وقوع تسليم، يعني در تنش تسليم ، شروع مي گردد. آن قسمت از منحني كه بين نقاط A و B قرار دارد، رفتار مصالح در ميدان پلاستيك را مشخص مي نمايد. در ضمن شكل (ب) قبل، مماس بر منحني را بين نقاط A و B نشان مي دهد كه به عنوان مدول مماسي تعريف شده و فرض بر اين است كه بزرگ تر از صفر مي باشد.

12. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك از منحني تنش ـ كرنش مدل تك محوري، رابطة بنيادي زير را كه در شكل بعدی نشان داده شده است، مي توان تعيين نمود : سخت شدگي آني در يك نقطة مشخص در منحني تسليم به وسيلة مدول پلاستيك در يك تراز مشخص كرنش پلاستيك توصيف مي شود: به این رابطه شرط تسلیم گفته می شود. و یا به صورت زیر که نمایشگر شرط تسليم در بارگذاري تك محوري مي باشد: مي توان را برحسب مدول مماسي آني و مدول يانگ E به صورت زير بيان نمود: • يك حالت خاص رابطة تنش ـ كرنش، رابطة دوخطي با شيب E در منطقة ارتجاعي و • ثابت در منطقه پلاستيك است. • براي برخي مصالح شكل پذير، مي توان از سخت شدگي صرف نظر نمود (به عبارت ديگر، به ازاي هر داريم: و ). در اين صورت مصالح به عنوان مصالح كاملاً پلاستيك در نظر گرفته مي شود (به گونه خطوط چين در شكل نشان داده شده است). • شكل فوق نشان مي دهد كه تنش با تغيير شكل پلاستيك افزايش مي يابد. • اين مشخصة مصالح، به عنوان سخت شدگي كرنشي ناميده مي شود كه يك بخش مهم در توصيف رفتار مصالح در منطقة پلاستيك به شمار مي رود.

13. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك اغلب، عبارات تحليلي براي توصيف منحني تسليم در پلاستيسيتة فلزي به كار مي روند. در اينجا به فرمول Ramberg-Osgood كه استفاده از آن رايج است اشاره مي كنيم: منحني مذكور از آزمايش يك بعدي به دست مي آيد، با اين حال ملاحظه خواهيم كرد كه اين منحني به عنوان رابطه بنيادي مصالح براي توصيف تغيير شكل هاي الاستوپلاستيك دوبعدي و سه بعدي پيچيده نيز مورد استفاده قرار خواهد گرفت. كه در آن يك تنش مر جع است (معمولاً از تنش تسليم استفاده مي شود. و ثابت هاي مصالح هستند كه از داده هاي آزمايشگاهي به دست مي آيند. یا كه در آن است . مقادیر و n ثابت هاي مصالح هستند که مقادير غيرمنفي مي باشند. توجه: در حالت پلاستيسيتة كامل، از رابطه فوق استفاده خواهيم كرد. لذا اين رابطه قابل كاربرد نمي باشد.

14. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك در مدل مصالحي توصیفی قبلی، بارگذاري يكنواخت در كشش يا فشار در نظر گرفته شد. دربرخي مصالح، ” تنش تسليم جديد“ در فشار بعد از باربرداري، تنشي است كه در آن باربرداري رخ داده است. فرض كنيد كه مصالح در ابتدا در كشش به طور پلاستيك تغيير شكل مي دهد و سپس تحت فشار قرار مي گيرد. ولی عموماً، ” تنش تسليم جديد“ كوچكتر از تنش تسليم حاصل در كشش مي باشد. اين پديده به عنوان اثر Bauchinger معروف است و ميتوان آن را از طريق تغييرات در ميكروسازة فلزي كه ناشي از تغيير شكل پلاستيك ميباشد تشريح نمود. توجه: به طور مشابه نیز، در هنگامي كه مصالح ابتدا تحت فشار و سپس تحت كشش قرار مي گيرد، تنش تسليم بعدي در كشش كمتر از تنش تسليم حاصل در فشار مي باشد.

15. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك توجه: در نظر گرفتن اين اثر براي مسائلي كه شامل بارگذاري چرخه اي مي باشند، بسيار حائز اهميت است. مدل هاي سخت شدگي ايزوتروپيك مدل هاي ساده سازي شده، با در نظر گرفتن اثر Bauschinger مدل هاي سخت شدگي آمیخته مدل هاي سخت شدگي سینماتیک در فرض سخت شدگي ايزوتروپيك، از اثر Bauschinger صرف نظر مي شود و در حين بارگذاري چرخه اي، از منحني تسليم يكساني در كشش و فشار استفاده مي شود. براي همة مدل هاي ساده سازي شدة مذكور، منحني هاي سخت شدگي در هنگامي كه بارگذاري معكوس مي شود، شكل مشابهي دارند، ولي از تنش هاي تسليم متفاوتي آغاز مي گردند. در فرض سخت شدگي سينماتيك، تغيير تنش براي شروع تسليم در بارگذاري معكوس، مساوي با دو برابر تنش تسليم اوليه است. مدل هاي سخت شدگي سينماتيك و آميخته يك ناهمگوني غيرايزوتروپيك را به رفتار فرض شدة مصالح وارد مي كنند. مدل هاي مصالحي كه رفتاري بين اين دو مدل فوق را به نمايش مي گذارند، مدل هاي سخت شدگي آميخته ناميده مي شوند.

16. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك رابطه تنش ـ كرنش تك­محوري شماتيكِ يك فولاد نرم براي نرخهاي متفاوت كرنش در مدل هاي سخت شدگي ایزوتروپیک مسير تنش ـ كرنش، OABFF1F2 ميباشد. در مدل هاي سخت شدگي سینماتیک مسير تنش ـ كرنش، OABCC1C2 ميباشد. تنش تسليم در نقطة C، ، عبارت است از: در مدل هاي سخت شدگي آمیخته مسير تنش ـ كرنش، OABDD1D2 ميباشد.

17. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي در اينجا، مفهوم تسليم اوليه را به شرايط چندمحوري تنش براي يك مصالح ايزوتروپيك اوليه بسط مي دهيم كه در آن همة مؤلفه هاي تنش مي توانند غيرصفر باشند. مي خواهيم يك شرط را براي تسليم اوليه به فرمِ زير ايجاد كنيم: كه در آن ، تابع تسليم و معادله شرط تسليم ناميده مي شوند. بنابراين، تا هنگامي كه شرط تسليم ارضاء نشده است، ما صرفاً كرنش هاي ارتجاعي را داريم. ملاحظات عمومي: براي تعيين يك فُرمِ مناسبِ تابع تسليم، از مصالحي استفاده مي كنيم كه به تسليم اوليه به طريقه اي ايزوتروپيك مي رسد؛ به عبارت ديگر مصالح در هر راستايي به طريقه اي يكسان رفتار مي كند. از آن جا كه مؤلفه هاي تنش با دستگاه مختصات مورد استفاده تغيير مي كنند، از اين رو براي ارضاي شرط ايزوتروپي، تابع تسليم صرفاً مي تواند تابعي از ناورداهاي تنش و و باشد (كه مستقل از دستگاه مختصات مورد استفاده است):

18. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي اين تابع تسليم به هرگونه مصالح ايزوتروپيك اوليه قابل اعمال است. در فلزات، به طور تجربي مشاهده شده است كه غالباً مي توان از اثر نخستين ناوردا، ، يا تنش ميانگين و نيز اثر ناورداي سوم ، در تسليم صرف نظر كرد: بنابراين، مي توان تابع تسليم را به گونه اي تعريف كرد كه صرفاً به و يا معادل آن صرفاً به دومين ناورداي تنش هاي انحراف دار، ، كه به صورت زير تعريف مي شوند، بستگي داشته باشد: دلتای Kronecker

19. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي براي ارائه يك تابع مشخص ، از يك روش بنيادي بنام فرضية انرژي اعوجاج استفاده می نماییم. براساس اين فرضیه،كه مصالح فلزي هنگامي به حد ارتجاعي خود رسيده و شروع به تغيير شكل پلاستيك مي كند كه انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج به مقدار معين بحراني برسد. فرضية انرژي اعوجاج فرضية انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج در حالت عمومي تنش/ كرنش رامي توان برحسب تنش هاي انحراف دار به صورت زير بيان نمود: برای شرايط بارگذاري تك محوري (كشش يا فشار)

20. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي فرض مي كنيم كه در آغاز تسليم، انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج، داراي مقدار يكساني براي تمام شرايط بارگذاري باشد. در اين صورت بايد داشته باشيم: و یا بر حسب ناورداي دوم بايد داشته باشيم: اين معيار تسليم، شرط ايزوتروپي را ارضاء نموده و براساس اصل هم ارزي انرژي اعوجاج استوار است. اين فرم، به عنوان تابع تسليم Von Misesمعروف است و مصالحي كه از اين شرط تسليم ”تبعيت“ مي كنند مصالح Von Misesناميده مي شوند. شرط تسليم Von Misesرايج ترين شرط تسليم است كه براي فلزات مورد استفاده قرار مي گيرد.

21. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي صحت سنجي تجربي شكل بعدی نتايج تجربي به دست آمده توسط Taylor وQuinney در سال 1931 براي سه فلز را نشان مي دهد كه تحت اثر كشش و برش قرار گرفته اند. آزمايشات در روي لوله هاي جدار نازك، تحت اثر بارگذاري محوري و پيچش انجام شدند. در اين شكل ديده مي شود كه شرط تسليمVon Mises (”قانون Von Mises “) به نحو مطلوبي نتايج تجربي را نمايش مي دهد. شرايط تسليم ديگري نيز براي فلزات پيشنهاد شده­اند كه يكي از مهم ترين آنها مربوط به Tresca مي باشد. در شرط تسليم Tresca، فرض بر اين است كه تنش برشي ماكزيمم در هر صفحه اي بر تسليم مصالح حاكم است. كاربرد عملي اين معيار بسيار دشوارتر از كاربرد معيـار Von Mises است.

22. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي روابط تنش ـ كرنش پلاستيك كه در اينجا ارائه خواهند شد، براساس مشاهدات تجربي استوار مي باشند. در ابتدا بحث خود را با تحليل يك آزمايش ساده تك محوري آغاز مي کنيم، سپس شرايط بارگذاري عمومي چند محوري مصالح را در نظر مي گيريم. يك نمونة‌ فلزيدر شکل بعد، تحت اثر يك بارگذاري تكمحوري در شرايط كرنشهاي كوچك قرار گرفته است. اگر تنش از تنش تسليم تجاوز كند، در اين صورت مصالح به صورت پلاستيك تغيير شكل ميدهد. براي تعيين تغيير شكلهاي دائمي، باربرداري كرده و تغيير مكان را اندازه مي گيريم. (شكل بعد) نتايج آزمايشگاهي نشان مي دهند كه كرنش هاي انقباضي دائمي جانبي وجود دارند كه عملاً با نصف كرنش پلاستيك كه در راستاي طولي اندازه گرفته مي شوند مساوي هستند.

23. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي بنابراين مي توان فرض كرد كه: کرنش حجمی بنابراين تغيير شكل پلاستيك يك فرايند بدون تغيير حجم مي باشد. اين نتيجه گيري با مطالعة نتايج آزمايشگاهي ديگري نيز به دست مي آيد كه نشان مي دهند كه تسليم تحت اثر تنش ميانگين قرار نمي گيرد. مؤلفه هاي تنش انحراف دار كه موجب اين كرنش هاي دائمي پلاستيك مي شوند. باز هم با در نظر گرفتن حالت بارگذاري تك محوري عبارتند از:

24. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي بنابراين يك تناسبي بين مؤلفه هاي كرنش پلاستيك و مؤلفه هاي تنش انحراف دار متناظر كه موجب اين كرنش ها مي شوند، وجود دارد. با تعریف يك اسكالر مثبت : تناسب بين كرنش هاي پلاستيك و تنش هاي متناظر در آزمايش برش خالص و نيز در آزمايشات بسيار پيچيده نظير[Pugh and Robinson (1978)]شکل زیرمشاهده مي شود. در يك جمع بندي، براساس نتايج تجربي حاصل از آزمايشات ساده در روي فلزات، مي توان روابط تنش ـ كرنش را به صورت زير فرض نمود: اين روابط متناظر با نظرية تغيير شكل پلاستيسيته ميباشد.

25. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي درحالت كلّي، تغيير شكل پلاستيك وابسته به تاريخچة بارگذاري مي باشد. اين بدين معني است كه مقادير كرنش هاي پلاستيك به ازاي تنش هاي كنوني انحراف دار در يك نقطة مادي، بستگي به نحوة تغيير تنش ها پيش از رسيدن به مقادير كنوني دارند. وابستگي كرنش هاي پلاستيك به تاريخچة‌بارگذاري در يك مثال ساده زیر نشان داده شده است. فرض مي كنيم كه مدل مصالح الاستوپلاستيك تك محوري به وسيله يك منحني دوخطي تنش ـ كرنش با سخت شدگي ايزوتروپيك تعريف مي شود.

26. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي روشن است كه حالت تنش متناظر با مقادير مختلف كرنش پلاستيك براي دو شرايط بارگذاري مذكور ميباشد. مصالح تحت اثر دو نوع بارگذاري مي باشد: • اعمال كشش تا تنش ، سپس بارگذاري معكوس تا تنش فشاري • (با فرض ) و سپس بارگذاري مجدد تا تنش كششي براي تاريخچه بارگذاري (1) داريم: براي تاريخچه بارگذاري (2) داريم: 2) اعمال فشار تا تنش ، سپس بارگذاري معكوس تا تنش کششي و سپس باربرداري تا تنش كششي

27. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي مشاهدات مذكور در مورد وابستگي كرنش هاي پلاستيك به تاريخچة‌ بارگذاري منجر به اصلاح و تعميم سازي رابطه مي شود. كرنش هاي پلاستيك به طور نموّي افزايش مي يابند، از اين رو بايد در پي به دست آوردن رابطه اي براي محاسبات كرنش پلاستيك نموي باشيم كه در حالت خاص مورد نظر پيشين به صورت رابطة در مي آيد. با اين حال، اين رابطه بايد كرنش هاي پلاستيك را در حالت شرايط بسيار عمومي تنش نيز، از جمله بارگذاري چرخه اي، به دست دهد.

28. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي نظريه نموّي يا نظريه جريان پلاستيسيته فرض كنيد كه در يك حالت تنش معلوم در مصالح، يك تغيير كوچك در بارگذاري منجر به جريان پلاستيك شود. در اين صورت در حين تغيير تنش ها، نموّهاي كرنش پلاستيك را خواهيم داشت. مطابق با روابط تناسب ، فرض بر اين است كه در حين تغيير بارگذاري، هر مؤلفه غيرصفر تنش انحراف دار موجب يك نمو در مؤلفة كرنش پلاستيك متناظر مي شود. نموهاي كرنش پلاستيك متناسب با كُلّ تنش هاي انحراف دار كنوني مي باشند نتايج ثابت مي كنند كه در حالت كلّي رابطه معتبر است، در حالي كه رابطه صرفاً هنگامي داراي اعتبار است كه تنش ها به طور متناسب افزايش يابند.

29. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال1: در چه حالتی رابطه برقرار است؟ فرض كنيد در حالت بارگذاري متناسب، تنش در يك زمان (يا تراز بار) مشخص را مي توان به صورت زير بيان نمود: از انتگرال گيري آخرين معادله، خواهيم داشت: در قبل داشتیم تنش هاي مرجعِ متناظر با يك حالت ارتجاعي اوليه مي باشند متغيري است كه با زمان افزايش مي يابد امّا اين رابطه، صرفاً زماني ارضاء مي شود كه رابطة صادق باشد. مقادیر ثابت

30. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال2: مثال نقضی برای عدم برقراری همیشگی رابطه آورید؟ فرض كنيد كه يك حالت خاص تنش داريم كه با تنش هاي نرمال و تنش برشي تعريف شده است. اگر تنش ها را ثابت نگه داريم، در اين صورت جريان پلاستيكي وجود نخواهد داشت. اگر به عنوان مثال، تنش برش ناشي از پيچش را افزايش داده و تنش نرمال را ثابت نگه داريم، در اين صورت جريان پلاستيك ادامه پيدا خواهد كرد و در خواهيم يافت كه علاوه بر نمو كرنش برش پلاستيك، ، مؤلفه هاي نرمال ، و نيز غيرصفر خواهند بود، اگرچه نموهاي تنش هاي نرمال مساوي صفر مي باشند. یعنی: فرض كنيد در حالت بارگذاري فرض كنيد كه با توجه به روابط به طور غيراستدلالي بگوئيم كه نموهاي كرنش پلاستيك بايد با نموهاي تنش متناسب باشند. به عنوان مثال، شرايط الاستوپلاستيك كشش ـ پيچش يك لوله جدار نازك با مصالحي داراي يك نوع سخت شدگي، را در نظر بگيريد كه در صحت سنجي تجربي شرط تسليم von-Mises مورد استفاده قرار گرفته است (شكل زیر). همچنین

31. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال2: مثال نقضی برای عدم برقراری همیشگی رابطه آورید؟ در واقع، نموهاي ، و متناسب با ، و مي باشند. البته در اين آزمايش، اگر لوله تحت اثر كشش نباشد، ، در اين صورت خواهيم داشت: سرانجام، به این نكته در مورد روابط كه در كاربرد آنها حائز اهميت است اشاره مي شود که در هنگام استفاده از اين روابط، در ابتدا به ازاي يك تغيير در تنش ها كه موجب جريان پلاستيك مي شوند آزموني انجام مي دهيم. در اين صورت روابط هنگامي قابل كاربرد مي باشند كه جريان پلاستيك رخ دهد.

32. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي روابط در ابتدا به وسيله Prandtl (1924) براي تغيير شكل هاي كرنش مسطح پيشنهاد شد. سپس براي شرايط سه بعدي توسط Reuss (1930) تعميم داده شد. اين روابط به معادلات Prandtl-Reussمشهور هستند. فُرم اولية معادلات مذكور، به صورت زير مشخص مي شود: از نقطه نظر تاريخي، نخستين روابط تنش ـ كرنش در پلاستيسيته توسط St.Venant (1870) معرفي شد، وي پيشنهاد كرد كه راستاهاي اصلي نموّهاي كرنش كلّي منطبق بر راستاهاي اصلي تنش ها مي باشند. روابط عمومي به شكل ،امّا با نموهاي كرنش كلّي به جاي ، به وسيله Levy (1870) و نيز به طور مستقل توسط Von Mises(1913) پينشهاد گرديد؛ اين روابط به عنوان معادلات Levy-Von Misesمعروف هستند.

33. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8- روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سرانجام به نتايج يك صحتسنجي تجربي معادلات Prandtl-Reuss براي يك شرط بارگذاري بسيار عمومي اشاره مينماييم. Quinney و Taylor (1913) لولههاي جدار نازك را تحت اثر تركيب كشش و پيچش با شرايط بارگذاري غيرمتناسب قرار داده و با اندازهگيريهاي مناسب، متغيرهاي Lode را محاسبه نمودند: اگر روابط Prandtl-Reuss معتبر باشند، در اين صورت بايد داشته باشيم: در شكلبعد، نتايج آزمايشگاهي براي سه فلز نشان داده شده اند. يك انحراف جزئي از خط مستقيم كه به وسيله معادله تعريف مي شود، به چشم مي خورد، ولي اين انحراف براي تحليل هاي عملي مهندسي قابل قبول مي باشند.

34. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي براي تعريف سخت شدگي يك فلز، در فرايند جريان پلاستيك، بعد از رسيدن به شرط تسليم اوليه، از فرض همارزي كار پلاستيك استفاده كرده، سپس پيآمدهاي آن را ارائه مينمائيم. سپس برخي نتايج تجربي كه اين پيامدها را تأئيد مينمايند ارائه ميشوند. در اين بخش فرض ميكنيم كه در سرتاسر تاريخچة بارگذاري از منحني تسليم يكساني استفاده ميشود. ابتدا سخت شدگي ايزوتروپيك و سپس رفتار مصالح كاملاً پلاستيك را به عنوان يك حالت خاص سخت شدگي در نظر مي گيريم.

35. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي فرض هم ارزي كار پلاستيك طبق این فرض، كار پلاستيك نموي كه در حين تغييرشكل هاي پلاستيك در شرايط بارگذاري عمومي انجام مي گيرد مساوي با كار پلاستيك است كه در شرايط بارگذاري تك محوري انجام مي شود، به عبارت ديگر داريم: با استفاده از معادلات Prandtl-Reuss، براي شرايط بارگذاري عمومي داريم: توجه: كار متناظر با اعوجاج هاي دائمي مصالح بوده و برگشت ناپذير مي باشد. از سوی دیگر، براي حالت تك محوري داريم: كه در آن از ، و اين شرط كه تسليم مصالح به طور پيوسته ادامه پيدا مي كند استفاده نموده ايم. بنابراين، در شرايط بارگذاري تك محوري در حين فرايند بارگذاري، به طور پيوسته خواهيم داشت: بنابراين پيامدهاي فرض هم ارزي كار پلاستيك را مي توان به صورت زير بيان نمود:

36. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي با در نظر گرفتن هر حالت جريان پلاستيك در شرايط بارگذاري عمومي، ميتوان يك تنش تسليم را در منحني تسليم يكبعدي متناظر با حالت تنش داده شده شناسايي نمود. ملاحظه مي شود كه اساساً در حين تغييرشكل پلاستيك، معيار خرابي Von Mises ، به طور پيوسته ارضاء ميشود كه در آن متناظر با منحني تسليم يك بعدي تغيير مي كند. فرض همارزي كار پلاستيك در تطابق با فرض انرژي اعوجاج مورد استفاده در بخشقبلی مي باشد. به عبارت ديگر، با در نظر گرفتن انرژي اعوجاج به عنوان معياري از مقاومتِ مصالح در برابر تغييرشكل و با در نظر داشتن اين نكته كه اين فرض، در حين جريان پلاستيك نيز معتبر است، مي توان معادله زير را نوشت:

37. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي سمت چپ معادله، نمايشگر در شرايط بارگذاري عمومي بوده و سمت راست معادله نيز متناظر با حالت بارگذاري تكمحوري ميباشد. عبارات نخست در هر دو سمت معادله، متناظر با تغييرشكل ارتجاعي ميباشند. در نوشتن معادله فوق از اين شرط استفاده كرديم كه براي شرايط بارگذاري تك محوري، نموهاي كرنش كلّي با مجموع كرنش هاي ارتجاعي و كرنش هاي پلاستيك مساوي هستند. همچنين از اين نكته كه كرنش هاي ارتجاعي حجمي تأثيري بر انرژي اعوجاج ندارند، استفاده نموديم.

38. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي شرط تسليم Von Mises منحني تسليم با دو نقطة M1 و M2 در روي منحني و تنشهاي تسليم و در شكل الف نشان داده شده اند. سطح تسليم ، در فضاي تنش اصلي ، و به وسيله يك استوانه با محور ”هيدروستاتيك“ و با شعاع ، در شكل (ب) نشان داده شده است.

39. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي شرط تسليم Von Mises در صفحة‌ انحراف دار با بردار عمود بر صفحه و محورهاي ، و (تنش هاي انحراف دار اصلي)، سطح تسليم به وسيله يك دايره به شعاع R نمايش داده مي شود. توجه: همة‌ نقاط تنش در صفحه انحراف دار و واقع بر سطح تسليم به شعاع R، متناظر با يك نقطه در منحني تسليم با مي باشند. به عنوان مثال، تمام نقاط تنش در صفحه انحراف دار كه در روي دايرة قرار دارند، به نقطهM1 در منحني تسليم نگاشت مي شوند. بنابراین، تغيير در تنش هاي انحراف دار در صفحة انحراف دار متناظر با كمانM1M2 در منحني تسليم مي باشد.

40. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي شكل ديگري نيز از شرط تسليم Von Misesدر متون پلاستيسيته مورد استفاده قرار مي گيرد. كميت تنش معادل ، كه تنش مؤثر يا تنش Von Misesناميده مي شود، به صورت زير تعريف گردد: نمايشگر شدت S(يا نُُرم اقليدسي) در اين صورت شرط تسليم عبارت است از: هنوز قانوني را براي تغيير سطح تسليم ارائه نداده ايم. براي به دست آوردن اين قانون يا قاعده، براساس مشاهدات تجربي رفتار مصالح و ملاحظات نظري، نخست اين شرط را اعمال مي كنيم كه براي مصالح مورد نظر در اينجا، كار پلاستيك بايد مثبت باشد:

41. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي گام بعدي در ايجاد و توسعة يك قاعدة سخت شدگي، ارائه نمو كرنش پلاستيك مؤثر ميباشد كه متناظر با تنش مؤثر است، به گونه اي كه نمو كار به صورت زير تعيين مي گردد: از آنجا كه كار پلاستيك براي شرايط بارگذاري عمومي با کار پلاستیک در حالت بارگذاري تك محوري مساوي است، از اين رو خواهيم داشت: در اين رابطه در حين تسليم از استفاده نموده ايم. سرانجام، با تعریف برحسب و با استفاده از معادلات Prandtl-Reuss، و نیز از جايگذاري در روابط فوق، نتيجة زير حاصل مي شود: و در نهایت، عبارت زير را براي نموّ كرنش پلاستيك مؤثر برحسب نموهاي مؤلفه هاي كرنش پلاستيك به دست مي آوريم:

42. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي توجه 1: حالت بارگذاري تك محوري، داريم: توجه 1: برايحالت برش خالص دوبعدي خواهيم داشت: نمو كرنش برشي پلاستيك مهندسي شرايط تسليم نشان مي دهد كه منحني تسليم در كشش ساده همزمان نمايشگر منحني تسليم عمومي زير نيز مي باشد: که در آن كرنش پلاستيك مؤثر انباشته به صورت زیر است:

43. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي • از مباحث بالا نتايج زير حاصل مي شوند: • سخت شدگي مصالح Von-Mises به وسيله منحني تسليم تعريف مي شود. شرط تسليم را مي توان به صورت زير نوشت: • 2) عامل تناسب در معادلات Prandtl-Reussبه وسيلة تعريف مي شود. اين عامل را مي توان از منحني تسليم محاسبه كرد. از آنجا كه تنش تسليم به صورت تابعي از كرنش پلاستيك مؤثر مشخص مي شود، از اين رو در متون پلاستيسيته، غالباً از واژة سخت شدگي كرنش استفاده مي شود. هم ارزي كار پلاستيك براي شرايط تنش يك و چندبعدي نتايج مذكور براساس دو اصل بنيادي پلاستيسيته استوار مي باشند: واقعيت فيزيكي كه كار پلاستيك بايد مثبت باشد؛ به عبارت ديگر .

44. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگي مدل مربوط به رفتار سخت شدگي در شكل زیرنمايش داده شده است: شكل نشان مي دهد كه در حالت بارگذاري تك محوري كششي ـ فشاري كرنش پلاستيك نخست افزايش و سپس كاهش مي يابد، در حالي كه كرنش پلاستيك مؤثر و تنش تسليم در حين جريان پلاستيك به طور مداوم افزايش مي يابند. حالت شرايط بارگذاري اندازه سطح تسليم در حين جريان پلاستيك افزايش مي يابد.

45. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگي به دليل سخت شدگي، اندازة هر سطح تسليم جديد، بزرگتر از سطح پيشين است. از اين رو نتيجه مي شود كه سطح تسليم كنوني، محدودة ميدان ارتجاعي را كه در حين جريان پلاستيك افزايش مي يابد مشخص مي كند. به عبارت ديگر، اگر در حين تسليم، به تنش تسليم برسيم، و تنش بعدي به مقدار زير برسد: در اين صورت جريان پلاستيك ادامه پيدا نخواهد كرد و لذا با حالت باربرداري ارتجاعي مواجه هستيم. نقطه تنش متناظر با اين حالت در داخل سطح تسليم قرار دارد؛ به عبارت ديگر اين نقطه در نمودار ، در روي خط و زير منحني تسليم قرار دارد. دو حالت متوالي تنش 1- حالت بارگذاري تك محوري كششي ـ ‌فشاري 2- حالت بارگذاري عمومي، به وسيلة نقاط مشابهM1 و M2در روي منحني تسليم نمايش داده مي شوند. حالت بارگذاري بعديِ برگشت به ، نمايشگر بارگذاري ارتجاعي مي باشد. يك تغيير ديگر تنش ولي با حفظ شرط ، بارگذاري خنثي را تعريف مي نمايد. كه بدون جريان پلاستيك است. سطح تسليم در حين بارگذاري خنثي تغييري نمي كند و نقطه تنش در شكل بالا در روي سطح تسليم باقي مي ماند ولي موقعيت آن مي تواند روي سطح تغيير نمايد. اين نقطه در روي منحني تسليم ثابت مي باشد. توجه : هر حالت تنش در خارج از سطح تسليم يا بالاي منحني تسليم غيرممكن است.

46. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل رفتار مصالحِ كاملاً پلاستيك تاكنون فرض كرديم كه مصالح داراي سخت شدگي مي باشد . اكنون مدل رفتار مصالحِ كاملاً پلاستيك( ) را در نظر مي گيريم كه براي كاربردهاي عملي حائز اهميت است، زيرا براي برخي مصالح مي توان از سخت شدگي كرنش صرف نظر كرد. شكل زیر، دو حالت متوالي تنش در حالت شرايط بارگذاري عمومي را نشان مي دهد كه متناظر با نقاط M1و M2 در روي منحني تسليم مي باشند. داريم: متناظر با يك سطح تسليم با اندازة‌ ثابت داريم: تمام حالات تنش در حين تسليم مصالح، صرفاً با يك سطح تسليم نمايش داده مي شوند و ميدان ارتجاعي نيز به دليل جريان پلاستيك تغيير نمي كند. در حالت جريان پلاستيك تحت اثر شرايط بارگذاري عمومي، هنگامي كه تسليم گسترش مي يابد، يك نقطة تنش M حركت مي كند، امّا همواره در روي سطح تسليم باقي مي ماند، نقطة تصوير آن در امتداد خط تسليم حركت كرده و صرفاً كرنش پلاستيك مؤثر مي تواند افزايش يابد.

47. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي • در ابتدا، تنش تك محوري σ افزايش مي يابد تا اينكه تسليم رخ دهد. • نقطة تنش در امتداد خط OA در صفحة انحراف دار حركت مي كند، • نگاشت آن در امتداد OA در شكل (ب) حركت مي نمايد، • نگاشت آن در امتداد OA در شكل (پ) حركت مي نمايد. • اكنون حالات ديگر تغيير شكل در شرايط بارگذاري تك محوري را نيز در نظر گرفته و اين حالات را با استفاده از طرق زير نمايش مي دهيم: • صفحه انحراف دار، • رابطه تنش ـ كرنش پلاستيك تك محوري ، • منحني تسليم

48. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي با افزايش كرنش مصالح، كرنش پلاستيك تك محوري و كرنش پلاستيك مؤثر در امتداد خط ABافزايش يافته، ولی با اين حال، نقطه تنش در صفحة انحراف دار در نقطه A ثابت باقي مي ماند. با تغییر راستاي بارگذاري، نقطه تنش در امتداد خط BCحركت کرده تا به نقطه Cروي سطح تسليم برسد. در طي اين تغيير شكل ارتجاعي (باربرداري ارتجاعي)، كرنش پلاستيكو كرنش پلاستيك مؤثر تغيير نمي كنند. با افزایش كرنش در همان راستا جريان پلاستيك ادامه مي يابد و نقطة تنش در همان موقعيت Cدر روي صفحة‌ انحراف دار باقي مي ماند كه توأم با كاهش و افزايش مي باشد. توجه : در حين جريان پلاستيك معكوس، كار پلاستيك همچنان مثبت است.

49. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي در متون پلاستيسيته، از واژة ”سخت شدگي كار“ نيز استفاده مي شود. يك معيار سخت شدگي با استفاده از كار پلاستيك تعريف مي شود كه به طور هندسي با سطح زير منحني تسليم مشخص مي شود. چرا كه رابطة با استفاده از منحني تسليم تعريف مي شود. در حالت پلاستيسيتة كامل، داريم: به عبارت ديگر سخت شدگي وجود ندارد و از اين رو كار پلاستيك به طور ساده يك معيار كلي تغيير شكل پلاستيك در يك نقطة مادي است؛ البته كرنش پلاستيك مؤثر نيز مشابه آن معيار مي باشد.

50. 8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8- سخت شدگي در حالت سه بعدي صحت سنجي تجربي در گذشته بررسي هاي تجربي فراواني براي ارزيابي درستي فرض انجام شده است. شكل زير نتايج آزمايشات بر روي لوله هاي مسي را نشان مي دهد كه تحت اثر بارگذاري محوري و فشار داخلي قرار گرفته اند. در هر آزمايش، بارها به طور متناسب با يك نسبت ثابت بين تنش هاي اصلي و افزايش داده شده اند. نتايج با نسبت هاي مختلف بين 0 تا 1 و با نمادهاي متفاوت در شكل نشان داده شده است.