多進法の原理と変換算法

1. 情報数学１ 第3-1章 多進法の原理と変換算法 香川大学工学部 富永浩之 tominaga@eng.kagawa-u.ac.jp

2. 概 要 • ■ 自然数の記数法 • 位取記数法、多進法と多進法 • ■ 多進法の原理 • 切捨 切上 四捨五入 ガウス記号 • ■ 多進数への変換 • 多進数への変換 • ■ 多進数からの変換とホーナー法 • 多進数からの変換 ホーナー法 • ■ 多進法の例題

3. 第01節 [1] 自然数の記数法 • ● 自然数の記数法 • 何らかの体系的な規則に従った記号列により、 • 数を表記する方法を総称して記数法[algorism]という。 • ● 位取記数法 • 空位0で、数字の位置である桁[digit]を区別する。 • 有限個の数字で幾らでも大きな数を表記できる。 • ● 多進法 • rずつ束にすることを段階的に繰り返し、 • 0～r-1 のr種の数字を使って自然数を表す方法を、 • rを基数[radix]とする多進法または単にr進法という。

4. 第01節 [2] 数の歴史 • ● 古代 • ○ インド 0の発見、10進数、数字0～9の使用 • ○ バビロニア 60進数、楔形文字の数字 • ○ ローマ 木の棒の刻み目、ローマ数字の起源 • 3999まで、計算に不向き • ○ 中国 漢数字、位ごとに別の漢字、算盤の使用 • ● 中世 • ○ アラビア インドのアラビア数字の普及 • アラビア商人は東西文化の懸け橋 • ○ ヨーロッパ アラビア商人からイタリア商人へ • フィボナッチ「算盤の書」 筆算の解説書

5. 第02節 [1] 十進法系と二進法系 • ● 十進法系 人間の手指の本数から • ● 二進法系 電気信号のON/OF • ● 三進法系 正零負の場合分けから(等号、天秤) • 2進法 ‥ 0と1の数字(ビット列) • 8進法 ‥ 0～7の数字 2進法の3桁ごとに1つの数字 • 16進法 ‥ 0～9, A～Fの数字 2進法の4桁ごとに1つの数字

6. 第03節 [1] 多進数への変換 • ● 多進数の基底表現と整除表現 • ○ 基底表現46 ＝ 1201[3] ＝1×33＋2×32＋0×31＋1×30 • 多進数の直接的表現 • ○ 整除表現46 ＝ 1201[3] ＝ ((1×3＋2)×3＋0)×3＋1 • 効率的な変換算法のための式 • ● 基底表現と整除表現の計算回数 • ○ 基底表現 乗算 p(p-1)/2回 加算 p-1回 • ○ 整除表現 乗算 p-1回 加算 p-1回 • ● 基底表現の原理 • 除法の定理の連続的な適用 46÷3＝15‥1 15÷3＝5‥0

7. 第03節 [2] 多進数への変換 • ● 多進数への変換の算法 • [0] 10進数を整商の初期値として右上に書く。基数を左端に書く。 • [1] 整商が基数以上の間、[2][3]の処理を繰り返す。 • [2] 基数による剰余を下段に書く。 • [3] 基数による整商を左に書く。 • [4] 整商が基数未満になったら、各剰余を進法での各桁の数字に直す。 • [5] 各桁での数字を左から順に並べると多進数を得る。

8. 第04節 [1] 多進数からの変換 • ● 多進数からの変換の算法 • [0] 多進数の各桁の数字を並べる。 • [1] A→10, B→11 のように、桁の数字を数値に直しておく。 • [2] 最上位桁の数値 をそのまま初期値とし、最下段に書く。 • [3] 左下のそれまでの途中結果に、基数を乗算し、次の桁の数値の下に書く。 • [4] 桁の数値と乗算した値を加算し、最下段に書く。 • [5] 最下位桁の値を加算した結果が、求める10進数である。

9. 第07節 [1] ホーナー法による整式の求値 ● 整式の基底表現と整除表現 ○ 基底表現f(X) ＝2×X3－3×X2＋0×X1＋4×X0 ○ 整除表現f(X) ＝ ((2×X＋3)×X＋0)×X＋4 f(X) = 3X5 －7X4 ＋6X3 －7X2 ＋0X －3 f(2)＝((((3×2－7)×2)＋6)×2－7)×2＋0)×2－3＝ +1 • 組立除法 整式への値代入を整除表現で効率的に求める • 分配律の連続適用で乗算回数を大幅に減らす • 西洋ではホーナーが発見 • 東洋(中国)ではそれ以前(九章算術)から既知

10. 第07節 [2]ホーナー法の応用 • 係数や代入値が一般の実数や複素数でも使える (効力を発揮)

11. 第05節 [1] 多進法の原理 • ● 多進法の原理 • ・ 自然数 M に対し、2以上の基数 r による • 多進数表記 Λ の各桁 は一意に決まる • ・ 除数 r による整除演算の繰返しで、下位桁から計算できる • ・ 多進数表記 Λ が表す自然数は、基底表現を計算して得られる • ・ 実際の計算では、整除表現で求める方が効率的である

12. 第06節 [1] 多進法の応用問題 • ● 着目点 • ・ 桁数による大きさの見積り • (p桁のr進数Aの10進数での値Tは、rp≦T≦ rp-1 -1 の範囲にある) • ・ 剰余の性質(加法・乗法・累乗との分配律) • ・ 各桁の数字ak は基数rを越えない自然数0≦ak＜r • ・ 基数rが未知数のとき、 m桁のr進数は、 • rに関するm-1次の整式とみることができる • ・ ある数をr1 , r2 進法で表した値をA1 , A2 とすると、 • r1＜r2ならば、A1の桁数≧ A2の桁数

13. 第06節 [2] 多進法の応用問題 • 【例題1】 365[10] は、何進法で表すと 555 になるか。 • 題意は、 365[10]＝555[r]と表わされる。 • 基底表現より、二次方程式5r2+5r+5＝365 が立つ。 • 整理すると、 (r-8)(r+9)＝0 となる。これを解くと、 r＝8,-9 となる。 • ここで、多進数の数字として 5 が現れているから、基数は 6 以上である。 • すなわち、r≧6 であるから、ｒ＝8となる。よって、8進法である。 • 別解として、多進数の性質を用いて、基数の候補を絞っていく。 • この方法の場合、最後に、十分条件として、実際に題意を満たすことを示す必要がある。 • まず、数字に5が使われているから r≧6である。 • また、555[r]＝365[10]＜555[10] より r≦9となる。 • さらに両辺を 5 で割って、73[10]＝111[r] を得る。 • さらに両辺から 1 を引いて、 72[10]＝110[r] を得る。 • よって、r は 72 の約数である。すなわち、6, 8, 9 のいずれかである。 • また、 100[r]＝r2＜110[r]＝72, 200[r]＝2r2＞111[r]＝73 より、 r＝8と求められる。 • 実際、365[10]＝555[8] が成立し、題意を満たす。

14. 第06節 [3] 多進法の応用問題 • 【例題2】 80[10] を何進法で表すと各桁が同じ数字の2つ以上の並びになるか。 • 4 3＝64≦80＜52＝125 より、 • 80が r 進表記で 3 桁以上になるのは、r≦4のときである。 • 80[10]＝1100[4]＝2222[3]＝1010000[2] より、r＝3 は題意に適する。 • 80が r 進表記で数字 a が 2 桁並ぶ数となるとすると 80＝a(r+1) である。 • ただし 、1≦a≦r-1 である。 • したがって、a とr+1は 80 の約数であり、a は 80-a の約数である。 • すなわち、 r の候補は79, 39, 19, 15, 9, 7 であり、 • 80[10]＝11[79]＝22[39]＝44[19]＝55[15]＝88[9] • なお、r＝7 のときは、a＝10＞r-1 より不適。 • 以上をまとめると、 r＝3, 9, 15, 19, 39, 79 となる。

15. 第06節 [4] 多進法の応用問題 • 【例題3】 u 進法で表すと 47 となり、v 進法で表すと 74 になるような、 • u と v の組を求めよ。 • 題意から、 47[u]＝74[v] より4u＋7＝7v＋4 で、 • 一次不定方程式4u－7v＝-3 を立てる。 • 4u－7v＝4(u-2v)+vw＝u-2vとおいて 4w+v＝-3 • これから、具体解 w＝0, v＝-3 さらに、 u＝w+2v＝-6 • これから、整数パラメタ t を用いて、 • 一般解<u,v>＝<-6+7t, -3+4t> が得られる。 • ここで、多進法の桁の数字より8≦v＜uでなければならない。 • よって、 8≦-3+4t＜-6+7tよりt≧3 を得る。 • ここで、 t-3を改めてパラメタｔと置き直して、 • 解<u,v>＝<15+7t, 9+4t> ; t≧0 を得る。

16. 第06節 [5] 多進法の応用問題 • 【例題4】 1108 を r 進法で表すと31a2となるとき、a と r を求めよ。 • r 進数の表記の条件から、大小関係を用いての範囲を絞り込む。 • 題意より、 3000[r]＝3r3＜1108＜4000[r]＝4r3が成立するから、 • 247＜r3＜369+1/3 となる。73＝343 より、r＝7となる。 • 下図のホーナー法より(1108-2)÷7＝158＝31a[7] でa＝158%7＝4 • 別解として、多進数の性質から求める。 • 1108＝31a2[r] の両辺から2を引くと、 1106＝31a0[r] となる。 • したがって、基数 r は、1106＝2×7×79 の約数である。 • r 進数が 10 進数より大きくなっているから、r≦9であり、r＝7 と決まる。 • より、158＝31a[7]となる。158＝7×22＋4 より、a＝4と求まる。 • 実際、1108＝3142[7]が成立し、題意を満たす。

17. 第08節 [1] 多進数における数字の使用回数 • 【例題1】0から63までの64個の自然数を2進数で表したとき、 • 0と1の数字がそれぞれ何個必要となるか。 • 【例題2】 0から99までの100個の自然数をr進数で表したとき、 • 全体として何個の数字が必要になるか。 • r＝2～10の場合の解法を整理し(あるいは一般的に解き)、 • 結果を表にまとめよ。