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第六章 函数逼近

第六章 函数逼近. 本章问题 :. 这个问题称为函数逼近. 是最佳平方逼近. 是离散型平方逼近 , 称为数据拟合. 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系 , 下表 是实际测定的 24 个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录 :. 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加. 并且 24 个点大致分 布在一条直线附近. ---------(1). 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点. 在回归分析中称为残差. 一般使用. 称为平方误差. 要求平方误差达到最小，从而确定 (1) 中的待定系数. 一 . 最小二乘法的基本概念及计算方法.

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第六章 函数逼近

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Presentation Transcript

  1. 第六章 函数逼近

  2. 本章问题: 这个问题称为函数逼近 是最佳平方逼近 是离散型平方逼近,称为数据拟合

  3. 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:

  4. 纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近 ---------(1)

  5. 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点 在回归分析中称为残差 一般使用 称为平方误差 要求平方误差达到最小，从而确定(1)中的待定系数

  6. 一. 最小二乘法的基本概念及计算方法

  7. 定义:

  8. 因此求最小二乘解转化为

  9. 由多元函数取极值的必要条件 得 即

  10. 即

  11. 上方程组便可化为 将其表示成矩阵形式

  12. 并且其系数矩阵为对称阵 所以法方程组的系数矩阵非奇异,即 根据Cramer法则,法方程组有唯一解

  13. 即 的最小值 是 所以 因此

  14. 二.用代数多项式作拟合函数 基函数之间的内积为

  15. 对应的法方程组为

  16. 例1. 回到本章开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数，其基函数为 建立法方程组 根据内积公式，可得

  17. 法方程组为 解得 平方误差为

  18. 拟合曲线与散点 的关系如右图:

  19. 在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式 例2. t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60 解: 具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式

  20. 两边取对数,得 得 即为拟合函数 基函数为 解法方程组得 平方误差为

  21. 用最小二乘法得 即 平方误差为 无论从图形还是从平方误差考虑 在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好

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