点集拓扑学

1. 点集拓扑学 主讲人：吴洪博

2. 第一章 集合论初步 • §1.1 集 合 • §1.2 关系,等价关系 • §1.3 映 射 • §1.4 集族及其运算 • §1.5 可数集，不可数集 • §1.6 基 数

3. §1.1 集 合 • 重点:熟悉有关集合的等式和性质 • 难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质

4. 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓朴­学基础的学习程序.集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓朴­学基础的学习程序.

5. 定义1.1.1对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集定义1.1.1对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集 合B的元素,我们称A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,记作 . 如果 ，而且存在使得 ，称A是B的真子集，记作 . 如果 ，同时 ，称集合A与集合B相等， 记作A=B.

6. 不含任何元素的集合称为空集，用符号 表示. • 规定空集是任意集合的子集. • 含有有限个元素的集合叫做有限集， • 不是有限集的集合叫做无限集.

7. 定义1.1.2给定集合A,B,由A与B的全部元素 构成的集合叫做A与B的并集,记作 . 用描述法表示是: 定义1.1.3给定集合A,B,由A和B的公共元素 构成的集合叫做A与B的交集,记作 . 而且 . 用描述法表示就是: .

8. 定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 . 用描述法表示是 . 如果 , 称 为A在B中的补集，记作 . 而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.

9. 图1.1.1 对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中， 我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.

10. 这样做的好处在于将并集 转化成互不相交 的集合并集.该集合等式也可以用定义证明. 观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:

11. 集合中的运算律 设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立： (1)交换律 (2)结合律 (3)零元,单位元 (4)吸收律

12. (5)分配律 (6)幂等律 (7)对合律 (8)对偶律 (9)互补律

13. 图1.1.2 以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对 偶律的验证为例,其余读者自己完成.

14. 图(a)中阴影部分表示 ,图(b)中右斜线表示 ，左斜线表示 . 由图1.1.2可得： . 定义1.1.5对给定的非空集合 我们把由二元有序对 (其中 ) 构成的集合叫做X与Y的笛卡 尔积，记作 用描述法表示是: .

15. 其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集,其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集, Y称为第二个坐标集. 特别地，记 为 称为X的二重笛卡尔积. 对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛 卡尔直角坐标系中的点就是有序数对 , 因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R 2 (R表示实数集合).

16. 例1.1.1设 由下面的图1.1.3很容易得 虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可 以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示 集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表 现出来.

17. （A-B）×（C-D） 图1.1.3 该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.

18. 习题 1.1 1. 试判断下列关系式的正确与错误 , 则 2. 设 都是集合，其中 ,证明：如果 3. 设 ，即X有 个互不相同的元素，X的幂集P (X)有多少个互不相同 的元素. 4. 设 ， 用列举法给出P (X). 的充要条件是 , 且 的充要条件是 5. 设A，B是集合，证明 ， .

19. 6. 设A，B都是集合,证明:若 ，则 . 7. 设某一个全集已经给定，证明 ① ② ③ 若 ，并且 ，则 ④ 8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明， 若不正确，给出反例. ① ② ③ ⑤ ④ ⑥ 若 ， 则 ⑦ 若 ，则 ⑧ ⑨ ⑩ ；

20. 9. 设A，B，C表示集合，试用A，B，C及集合运算符号表示下面集合. ， ， ，

21. §1.2 关系,等价关系 • 重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和 等价关系的性质 • 难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性

22. 定义1.2.1设X,Y是两个集合,如果 ,即R是X 与Y的笛卡尔积 的一个子集,则称R是从X到Y的 一个关系. . (1)如果 ,则称x与y是R相关的,并且记作xRy; (2)如果 ,则称Y的子集 存在 使得 为集合A相对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合 A的象集,或者称为集合A的R象,R(X)称为关系R的值域; 定义1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,即

23. (3)如果 ,则称X的子集: 存在 使得 为集合B相对于R 的原象集,或者简单地称为集合B的原象,或者称为集合 B的R原象, 称为关系R的定义域. 关系是一个外延十分广泛的概念.读者很快便会看到在 数学学科中学过的映射，等价,运算，序等概念都是关 系的特例，这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的 关系，一个是 自身，一个是 ，请读者自己对它 进行简单地考查.

24. 定义1.2.3设R是从集合X到集合Y的一个关系,即 ,这时笛卡尔积 的子集: 是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的 逆，因此当且仅当 . B相对于关系R的原象集.特别地关系R-1的值域就是关 关系R的定义域. 显然，若 ，集合B相对于关系R-1的象集就是集合

25. 定义1.2.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从 集合Y到集合Z的一个关系,即 存在 使得 是笛卡尔积 的一个子集,即从 到 的一个关系, 称此关系为关 系R与关系S的复合,记作 因此 当且仅当存在 使得 显然， 当且仅当 集合 .

26. 定理1.2.1设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是 从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的 一个关系,则 (1) (2) (3)

27. 当且仅当 ,而这当且仅当 ,这又当且仅当 于是我们证明了 (2)和(3)的证明类似于(1)，可根据定义直接验证,请读者 自己完成. 证明：(1) ,当且仅当 .

28. 定理1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从定理1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从 集合Y到集合Z的一个关系, 则对于X中的 任意两个子集 A和B,我们有: (1) (2) (3) (4)

29. 证明(1) 当且仅当存在 使得 当且仅当存在 或存在 使得 当且 仅当存在 或存在 ， ， ,当且仅当 于是 或 . ，当且仅当 我们证明了 . 使得 ，则存在 (2) 设 即存在 ，使得 因此 ， ， , ， .

30. 当且仅当存在 (3)由于 使得 当且仅当存在 使得 (存在 使得 )， 当且仅当存在 使得 . (4)设 ,即 . 因此存在 ，使得 . 矛盾，因此 因此存在 ，因此 此时假设 ，由于 ，因此 这与 ， ，

31. 定义1.2.5设X是一个集合,从集合X到集合X的一个 关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系: 或 . 称为恒同关系，或恒同、对角线.记作 定义1.2.6设R是集合X中的一个关系,如果 如果 即对于任意 ,则称关系R为自反的; ,有 ,即对于任何 ,如果 ,则 则称关系R为对称的; 如果 ,即对于任何

32. 和 不能同时成立,则称 关系R为非 ,如果 如果 ,即对于任何 对称的; ，则 定义1.2.7设R是集合X中的一个等价关系.集合X ，则称关系R是传递的. 中的两个元素x,y,如果满足条 件:xRy,则称x与y是 ,集合X R等价的, 或简称等价的;对于每一个 中的子集 称为x的R等价类或等价类,记 作 或 ,并且任何一个 都称为R等价类 的一个代表元素;

33. 由等价类组成的集合 称为集合X相对于 等价关系R而言的商集,记作. . 定理1.2.3设R是非空集合X中的一个等价关系,则: 则 . (1)如果 , 因而 (2)对于任意 或者 ，或者 . 证明：设 由于R是自反的，所以 ，因此 因而 .

34. ,如果 ,设 (2)对于任意 ,又由于R ,如图1.2.1,因此必 ,又由于R是传递的,所以 . 是对称的,所以 有

35. 对于任何一个 有 ，由上述 以及R的传 ，由 递性可得 定义即得 .因此证明了 . 同理可证 .因此 . 例1.2.1给出平面上的一个关系 的意义 是指 和 到原点 的距离相等,容易验证 ～是平面 上的一个等价关系. 相对于等价关系～ 而言的商集 为 ， ,

36. 1. 设 , ， ， ， . 试求 的值域，R的 定义域. 即商集是由单点集 和以原点为中心的所有圆 周组成的集合. 习 题 1.2 2. 设R是从集合X到集合Y的一个关系,证明下列条件 等价: (1) 对于任意 ，

37. (2) 对于任意 ， ， . 上的 3. 设C是X上的一个关系， ，关系C在 限制定义为 ，证明:一个等价关系的限制 仍是等价关系. 4. 设R是集合X中的一个对称的，传递的关系.证明 R是一个等价关系当且仅当R的定义域为X. 5. 设R1，R2是集合X中的两个等价关系，证明 仍是集合X中的一个等价关系当且仅当 . 6. 实数集合R中的一个关系定义为：

38. 证明关系R是实数集合R上的一个等价关系，并且证明关系R是实数集合R上的一个等价关系，并且 给出 ，即给出实数集R关于关系R的商集.

39. §1.3 映 射 重点：熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质 难点：对映射的逆关系性质的理解

40. 定义1.3.1设f是从集合X到集合Y的一个关系,即 使得 ,如果对每一个 , 则称关系 f 是从集合X到集合 Y的一映 换言之，设 如 存在 .使得xfy； 射,并且记作 (2)设 ,如果对于 (1) 即对 有xfy1和xfy2,则y1=y2. 果 f 满足： 那么称关系f是从集合X到集合Y的一个映射.

41. 定义1.3.2设X和Y是两个集合, ,即 是从集合X到集合Y的映射,对每个 使得xfy的 唯一元素 称为x的象或值,记作f(x)，即y=f(x); x是y的一个原像. 对于 ,如果存在 使得xfy(即y是x的象),则称 （值得注意的是 可以没有原象,也可以有不止一 个原象 不必是单元素集, 有时也记作 .

42. 由于映射是满足一定条件的关系，因此如果 即f是从集合X到集合Y的映射， ，则 都是有意义的. ,使得 (1) |存在 并称f(A)为A在映射f下的象. (2) 并称 为B在映射f下的原象. (3) (Y)=X,即映射f的定义域是X. (4)f(X)叫映射f的值域.

43. (5)如果Z是一个集合并且 ,则关系f和g的 复合 作为从X到Z的关系有定义. 定理1.3.1设X、Y、Z都是集合，如果f是从集合X 到 集合Y的映射，g 是从集合Y 到集合 Z 的映射，则f和g 关系的复合 是从集合X到集合Z的映射，并且对 于任何 ，有 (6) f-1作为Y到X的关系有定义,但一般说来f-1不是 一个从Y到X的映射.

44. 证明：第一步验证复合关系 是映射. 根据定理1.2.1②得 . (1)由于 ， ,因此 再结合定理1.2.2(3)得 o - - - - = 1 1 1 1 ( f g )( Z ) f ( g ( Z )) 因此， (2)对 ,设 使得 因此，存在 ,使得 由 和 得 和 由 以及 得 因此， 是从X到Z的映射. .

45. ,这由定理1.2.2 (3) 定理1.3.2设 和 是两个集合, .如果 ，则 直接可证. (1) (2) (3) 简单地说，设 第二步证明 ，则 保持交，并，差运算.

46. 证明：(1)由于 是关系 的逆关系,因此由定理 1.2.2 ①直接可得 ,由 ;又设 ,由 得 ,因此 得 是关系,由定理1.2.2 ②可得 因此 ,这就证明了 - Î 1 x f ( B ) ,因此 (2)由于

47. (3)由于 ,当且仅当 ,当且仅当 ,当且仅当 当且仅当 ,因此 需要说明两点：①设 ，则 f 是保并运算. (见定理1.2.2①),但f不必是保交或保差运算; ②对于一般关系 其逆关系R-1是保并运算 (见定理1.2.2①),但R -1不必是保差或保交运算.其中 原因留给读者自己思考.

48. 定义1.3.3设X和Y是两个集合, . 如果f(X)=Y， 使得 即对任意 , 存在 (也就是xfy), 则称f是一个满射,或者称f为从X到Y上的映射;如果对于 X中任意互异的两点x1,x2一定有 如果 ,一定有x1=x2). 则称f是一个单射; 如果f即是一个单射又是一个满射,则称f是一个一一映射. (换言之, 如果f(X)是一个单元素集，则称f是一个常值映射 的映射. 并且当 时，称f是一个取常值

49. 定理1.3.3设X和Y是两个集合,又设 ),并且也是一一映射,此外还有 证明: 是一个映射.由于 是满射，因而 ,又设存在 由定理1.2.1①得 则有x1fy，x2fy，因此 使得 ,由于 是单射，因此有 由定义1.3.1知 是从 Y到X 的映射，即证明了 根据下面的定理1.3.3,一一映射又称为可逆映射. 如果f是个一一映射，则其逆关系f--1便是从Y到X的映射 (因此可以写作 .

50. 是满射.由于 f是映射 ,因此由定义1.3.1有 因此 是满射. 是单射.若存在 使得 即 ,因此由逆 关系定义 ,由于 是映射，因此有 .对于任意 ,设 ，由定理1.2.2③有 因此有 由于 是单射,因此有 因此对于任意 有 ,这就证明了