5.3 指數函數的導數

1. 5.3 指數函數的導數

2. 5.3 指數函數的導數 學習目標 求自然指數函數的導數。 用微積分分析含自然指數函數的函數圖形。 研究常態機率密度函數。 第五章　指數與對數函數 P.5-15

3. 指數函數的導數 在 5.2 節中提到指數函數最方便的底是無理數 e，其方便性在於函數 f (x) ＝ ex的導數等於本身 (原函數)，而其他 a≠e 的指數函數y ＝ ax皆無此性質。若要驗證 f (x) ＝ ex為自身的導數，觀察極限 第五章　指數與對數函數 P.5-15

4. 指數函數的導數 對很小的 Δx 而言， e ≈ (1 ＋ Δx)1/Δx，或 eΔx ≈ 1 ＋ Δx，在下列的導數推導過程中要用到此近似式。 第五章　指數與對數函數 P.5-15

5. 指數函數的導數 若 u 為 x 的函數，則可用連鎖律來求 eu對 x 的導數，公式總結如下： 第五章　指數與對數函數 P.5-15

6. 範例1　解釋導數之意義 求函數 f (x) ＝ ex原函數 在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線斜率。可做出什麼結論？ 第五章　指數與對數函數 P.5-16

7. 範例1　解釋導數之意義 （解） 因為 f 的導數為 f (x) ＝ ex導數 所以 f 圖形在 (0, 1) 的切線斜率為 f (0) ＝ e0＝ 1 點 (0, 1) 的切線斜率 在 (1, e) 的切線斜率為 f (1) ＝ e1＝ e 點 (1, e) 的切線斜率 第五章　指數與對數函數 P.5-16

8. 範例1　解釋導數之意義 （解） 如圖 5.9 所示。由此推論， f (x) ＝ ex圖形上任一點 (x, ex) 的切線斜率等於該點的 y 座標。 第五章　指數與對數函數 P.5-16 圖5.9

9. 檢查站 1 求函數 f (x) ＝ ex在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線方程式。 第五章　指數與對數函數 P.5-16

10. 範例 2　對指數函數微分 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e2xb. c. d. f (x) ＝ e－x 第五章　指數與對數函數 P.5-16

11. 範例2　對指數函數微分 （解） a. 令 u ＝ 2x，則 du/dx ＝ 2，再利用連鎖律可得 b. 令 u ＝ －3x2，則 du/dx ＝ －6x，再利用連鎖律可得 第五章　指數與對數函數 P.5-16

12. 範例2　對指數函數微分 （解） c. 令 u ＝ x3，則 du/dx ＝ 3x2，再利用連鎖律可得 d. 令 u ＝ －x，則 du/dx ＝ －1，再利用連鎖律可得 第五章　指數與對數函數 P.5-16

13. 學習提示 從範例 2 可看出，對指數函數微分後，其指數不變。譬如，y ＝ e3x的導數為y＝ 3e3x，這兩函數的指數皆為 3x。 第五章　指數與對數函數 P.5-16

14. 檢查站 2 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e3x b. c. d. f (x) ＝e－2x 第五章　指數與對數函數 P.5-16

15. 指數函數的導數 第三章所介紹的微分法則可用在指數函數上，如範例 3 所示。 第五章　指數與對數函數 P.5-17

16. 範例3　對指數函數微分 微分下列函數。 第五章　指數與對數函數 P.5-17

17. 範例3　對指數函數微分 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-17

18. 範例3　對指數函數微分 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-17

19. 檢查站 3 微分下列函數。 第五章　指數與對數函數 P.5-17

20. 應用 第四章介紹了如何用導數來分析函數的圖形，下個範例則要將這些技巧應用在含指數函數在內的函數上面。請注意，若 ea＝ eb則 a ＝ b。 第五章　指數與對數函數 P.5-17

21. 範例4　分析懸索線 當電話線懸吊在兩電線桿之間，電話線會呈 U 形的曲線，稱為懸索線(catenary)。譬如，函數 y ＝ 30(ex/60＋ e－x/60), －30 ≤ x ≤ 30 為懸吊在距離 60 呎遠的兩電線桿之間電話線形狀的模型(x 與 y以呎計)。證明此電話線的最低點是在兩電線桿間的中點，兩桿間的電話線下垂多少呎？ 第五章　指數與對數函數 P.5-18

22. 範例4　分析懸索線 （解） 函數的導數為 第五章　指數與對數函數 P.5-18

23. 範例4　分析懸索線 （解） 為了求臨界數，則令導數為零， 第五章　指數與對數函數 P.5-18

24. 範例4　分析懸索線 （解） 利用一階導數檢定法可得函數在臨界數 x ＝ 0 有相對極小值。再從圖 5.10 可看出，該相對極小值其實是區間 [－30, 30] 的絕對極小值。若要知道兩電線桿間電話線下垂的長度，則比較兩電線桿與電線中點的高度。 第五章　指數與對數函數 P.5-18

25. 範例4　分析懸索線 （解） y = 30(e－30/60 + e－(－30)/60) 67.7呎 左邊電線的高度 y = 30(e0/60 + e－(0)/60) 60呎 電話線中點的高度 y = 30(e30/60 + e－(30)/60) 67.7呎 右邊電線的高度 由此可知，電話線下垂約 7.7 呎。 第五章　指數與對數函數 P.5-18

26. 範例4　分析懸索線 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-18 圖5.10

27. 檢查站 4 畫出範例 4 之函數的圖形，並驗證電線桿中點為電話線的極小值。 第五章　指數與對數函數 P.5-18

28. 範例5　求最大收入 某產品的需求函數可表示為 p ＝ 56e－0.000012x需求函數 其中 p 為每單位的價格 (美元)，且 x 為銷售量。試問可得最大收入的價格為何？ 第五章　指數與對數函數 P.5-18

29. 範例5　求最大收入 （解） 收入函數為 R ＝ xp ＝ 56xe－0.000012x收入函數 若要以分析法求最大收入，首先要令邊際收入 dR/dx 等於零，並解出 x。然而圖形解法在本題中較為容易，求得 R 的圖形與圖 5.11 類似。當 x 約為 83,300 單位時有最大收入，再將 x ≈ 83,300 代入需求函數，就可得到對應的價格， p < 56e－0.000012(83,300) < $20.61 即，約 $20.61 的價格可得最大收入。 第五章　指數與對數函數 P.5-18~5-19

30. 範例5　求最大收入 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-19 圖5.11

31. 學習提示 若以分析法求解範例 5 的問題時可得 請說明如何求解此方程式，其解答為何？ 第五章　指數與對數函數 P.5-19

32. 檢查站 5 某產品的需求函數可表示為 p ＝ 50e－0.0000125x 其中 p 為每單位的價格 (美元)，且 x 為銷售量，試問可得最大收入的價格為何？ 第五章　指數與對數函數 P.5-19

33. 常態機率密度函數 在統計課或在商業計量分析課程裡，都有篇幅介紹常態機率密度函數(normal probability density function) 的性質，其函數為 其中 σ是希臘字 sigma 的小寫字母，而 μ是希臘字 mu 的小寫字母。此公式的 為機率分配的標準差(standard deviation)，且 為機率分配的平均值(mean)。 第五章　指數與對數函數 P.5-19

34. 範例6　探討機率密度函數 證明常態機率密度函數 的圖形在 x ＝ ±1 為反曲點。 第五章　指數與對數函數 P.5-19~5-20

35. 範例6　探討機率密度函數 （解） 首先計算函數的二階導數。 令二階導數為零，可解得 x ＝ ± 1，再以圖形凹性的檢定法，可確定這兩個 x 值為反曲點，如圖 5.12 所示。 第五章　指數與對數函數 P.5-20

36. 範例6　探討機率密度函數 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-20 圖5.12

37. 檢查站 6 試畫出常態機率密度函數 的圖形並求反曲點。 第五章　指數與對數函數 P.5-20