运筹学

1. 运筹学 图与网络分析

2. 第十章 图与网络 赵 玮

3. 主要内容： • 10.1 基本概念 • 10.2 最短路问题 （一）Bellman最优化原理 （二）Dijustra算法（双括号法） （三）通信线路布施问题 （四）设备更新问题 • 10.3 最小生成树 （一）基本概念与理论 （二）Kruskal算法（加边法、破圈法） （三）丢边法（破圈法）

4. 主要内容： • 10.4 最大流问题 （一）基本概念 （二）双标号算法 • 10.5 最小费用最大流 （一）基本概念 （二）求解算法

5. § 10.1 基本概念 1 图 def1：一个无向图（简称为图）G是一个有序的二元组，记为G=(V, E)。其中 V={V1…Vn}称为G的点集合，E=(eij)称为G的边集合，evj为连接VV与Vj的边。

6. 若N和E均为有限集合，则称为G为有限图，否则称无限图。若N和E均为有限集合，则称为G为有限图，否则称无限图。 • 若G中既没有有限回路（圈），也没有两条边连接同一对点，则称G为简单图。如右图之（a），右图之（b）不是简单图。 • 若G为简单图，且G中每个点对之间均有一条边相连，则称G为完全图。如图（a）是简单图，但不是完全图。 图 a 图 b

7. def 2：一个有向图G是一个有序的二元组，记为G=(V, A)，其中V=(V1V2…Vn)称为G的点集合，A={aij}称为G的弧（有向边）集合，aij是以Vi指向Vj的一条弧。 • |V|=n表示G中节点个数为n，此节点个数n也称为图G的阶 • |A|=m表示有向图G中弧的个数为m • 任一顶点相关联（连接）的边的数目称为该顶点的次数

8. 2 连通图 def 3：在有向图G中,一个点和边的交替序列{Vi eij Vj…Vk ekl Vl} 称为G中从点Vi到Vl的一条路，记为A，其中Vi为此路A的起点，Vj为路A的终点；若路A的起点与终点重合,则称A为回路；又若G中点Vi与Vj间存在一条路，则称点Vi与Vj是连通的；若G中任何二点都是连通的，则称G为连通图，或图G为连通的。在无向图中有对应的概念。

9. 3 子图 def 4：设有两个图：G1= (V1, E1) ，G2= (V2, E2)若有 ，则称G1为G2的子图， 记作 ；若有 V1=V2而 ,则称图 G1= (V1, E1) 是图G2= (V2, E2)的生成子图（支撑 子图）。

10. V1 V1 V3 V3 V2 V2 V4 V4 • 例：下示图G1是图G的子图，图G2是图G的生成子图。 V1 V2 V4 （a）图G （b）图G1 （c）图G2

11. 4 赋权图（加权图）与网路 def 5：设G是一个图（或有向图），若对G的每一条边（或弧）eij都赋予一实数ωij，称其为该边（弧）的权，则G连同其他弧上的权集合称为一个赋权图，记作G= (V, E, W) 或G= (V, A, W)，此中W={ωij}，ωij为对应边（弧）eij的权。若G= (V, E, W) （或(V, A, W)）为赋权图，且在G的V中指定一个发点（常记为Vs）和一个收点（记为Vt），其余点称为中间点，则称这样指定了发点与收点的赋权图G为网络。

12. § 10.2 最短路问题 def 6：设G =（V, A, W）为一个赋权有向图，Vs为指定发点，Vt为指定收点，其余为中间点，P为G中以Vs到Vt的一条有向路，则称 为路P的长度，若有 则称 为G中从Vs到Vt的最 短路， 为该最短路的长度（此中F为G中 所有从Vs到Vt的全体有向路的集合）。

13. 最短路问题在企业厂址上选择，厂址布 局，设备更新，网络线路安装等工程设计与 企业管理中有重要应用。

14. （一）Bellman最优化原理 1 命题1：若P是网络G中从Vs到Vt的一条最小路，Vl是P中除Vs与Vt外的任何一个中间点，则沿P从Vs到Vl的一条路P1亦必是Vs到Vl的最小路。 P1 Vs V1 Vl V2 Vt P2

15. 证明（反证）： 若P1不是从Vs到Vl的最小路，则存在另一条 Vs 到Vl的路P2使W(P2)<W(P1)，若记路P中从Vl到Vt的路为P3。则有W(P2) + W(P3)<W(P1) + W(P3)=W(P)，此说明G中存在一条从Vs沿P2到Vl沿P3再到Vt的更小的一条路，这与P使G中从Vs到Vt的一条最小路矛盾。

16. 2 算法思想： 设G中从Vs到Vt的最小路P：Vs…Vj…Vk…Vt，则由上述命题知：P不仅是从Vs到Vt的最小路，而且从Vs到P中任意中间点的最短路也在P上，为此可采用如下求解思路： ⑴为求得Vs到Vt的最短路，可先求得Vs到中间点的最短路，然后由中间点再逐步过渡到终点Vt。

17. ⑵在计算过程中，需要把V中“经判断为最短路⑵在计算过程中，需要把V中“经判断为最短路 P途径之点i”和“尚未判断是否为最短路P途径 之点j”区分开来，可设置集合I和J,前者归入 I，后者归入J，并令算法初始时，I中仅包含 Vs，其他点全在J中，然后随着求解过程的进 行，I中的点逐渐增加（相应J中的点逐渐减 少），直到终点Vt归入I（相应J=φ），此时 迭代结束。I称为已标号集合,J称为未标号集合。

18. ⑶ 为区分中间点Vk是否已归入I中以及逆向求解最短路的方便，可在归入I中的点Vj上方给予双标号（lj, Vk），此中lj表示从Vs到Vj最短路的距离，而Vk则为从Vs到Vj最短路P中Vj的前一途径点。 ⑷ 为在计算机上实现上述求解思想，还需引入G中各点间一步可达距离阵D=(dij)n×n，此中 |V|=n

19. ⑸以下介绍的是适用于弧权为正值的有向网络中求最短有向路的Dijkstra算法，又称双括号法。事实上该算法亦适用于弧权为负值的有向网络求最短路问题。⑸以下介绍的是适用于弧权为正值的有向网络中求最短有向路的Dijkstra算法，又称双括号法。事实上该算法亦适用于弧权为负值的有向网络求最短路问题。

20. 由图G建立一步可达距离阵D=(dij)n×n （二）Dijkstra算法（双括号法） 给V1(Vs)括号(l1,Vk)=(0,s)给出已标号集合I和未标号集合J的元素 对于给定的I和J，确定集合A={aij |Vi∈I，Vj ∈J} 计算距离 给Vk括号(lk ,Vh) lk=lh + Whk I=I + {Vk} J=J – {Vk} N A=φ 或 J＝φ Y 从Vt逆向搜索双括号，可得最小路P途径各点及最小路距离 图 一 END

21. 例1（教材208页）求G的最短路， 图G形如下形。 解：利用上述Dijkstra算法步骤可得表一所示求 解过程，并有最短路P：V6 V4 V3 V1， 最短距离|P|=2+1+5=8。 图（一） 5 1 2

22. 表一（例1 求解过程）

23. 例2 求如下G之最小路 V1 V2 V6 V8 2 7 4 6 7 3 3 6 V3 1 1 3 6 6 图 二 V4 V5 V7

24. 解 表 二

25. 表三 （例2求解过程）

26. 由表三知 V1 V8 最短路P1：V8 V6 V2 V1 最短路P2：V8 V6 V5 V3 V2 V1 最短路长 |P1|=2+7+4=13 |P2|=2+3+3+1+4=13 4 7 2 4 1 3 3 2

27. （三）通信线路布设问题（教材P209） 例3. 甲、乙两地之间的公路网络如图三，电信公司准备在甲、乙两地沿公路沿线架设一光缆线，问应如何架设此线路方案，以使光缆线路架设总长度最短？ 图 三

28. 解：本例之一步可达距离阵如 W= G={V,E,W},V={V1V2V3V4V5V6V7}，本例G为无向图，求解过程见表四

29. 表四 （例3求解过程）

30. ① 由表四可得 最短路P： V7 V6 V5 V3 V1 最短距离 |P|=10+4+2+6=22 ② 还可得到自V1（甲）到任一中间点之最短路，例如 V1 V4 最短路由表四可知为 P14 V4 V5 V3 V1|P14|=18 6 2 4 10

31. （四）设备更新问题（教材P212） 例4. 某公司设备管理部门欲制定一个五年期某设备的更新计划，要求给出这五年中购置该设备的年份及购置新设备的使用年限。 在此五年中购置该设备的年初价格见表五，设备使用不同年限的维护费见表六。

32. 表五 （单位：万元） 表六 （单位：万元/年）

33. 解：设 Vi —i年初购进一台新设备 aij —i年初购进之新设备使用到第j年初（j-1年末） ωij—i年初购进之新设备使用到第j年初（j-1年末） 之总费用 根据表五与表六之有关数据可计算 ωij 详可 参见表七；由表七可得W阵如表八；由表八可得 有向图四；将表八可转换成一步可达阵如表九， 求解过程见表10。

34. 表七 （W 计算过程）

36. 表八 费用阵（单位：万元） j ωij i

37. 图四 （设备更新有向图）

38. 表 九

39. 表10 设备更新求解过程 min

41. 由表10可知最短费用流（相当于最短路） P： V6 V3 V1 |P| = 53万元 V4

42. 结论： 公司五年期设备更新方案有两个：A与B，总费用均为53万元。 A 方案：第1年初购置设备使用到第3年初（第2年末），第3年初再购置新设备使用到第 5年末（第6年初） B 方案：第1年初购置设备使用到第4年初（第3年末），第4年初再购置新设备使用到第5年末（第6年初）

43. §10.3 最小生成树 最小生成树在网络（电信网、公路网等）设计与企业管理中有重要应用。

44. V1 V1 V1 V2 V2 V2 V3 V3 V3 V4 V4 V4 V5 V6 V5 V5 V6 V6 （一）基本概念与理论 def 7：无圈的连通图（无向图）称为树，常 记为符号T。如图五的（a）为树，（b）有圈， （c）不连通，故（b）（c）均非树。 （a） （b） （c） 图 五

45. def 8：若T是图G的一个生成子图而且又是一 棵树，则称树T是图G的一个生成树（又称支 撑树）；又若树T=(V1,E1)为图 G=(V,E,W)的 一个生成树，令 称为树T的权 （或长度），则G中具最小权的生成树称为G 的最小生成树，亦即若有 则有 T* 为G 的最小生成树，此中F为G的全 体生成树的集合。

46. Th1：设T=(V,E)是|V|≥ 3的一个无向图，则下列六个关于树的定义是等价的： ⑴T连通且无圈 ⑵ T的任何两个顶点间均必有一条且仅有一条通 路相连 ⑶ T连通且有n-1条边，此中n=|V| ⑷ T有n-1条边且无圈，此中n=|V| ⑸ T无圈，但在T中任两个不相邻的顶点间添加 一条边，则可构成一条回路 ⑹ T连通，但去掉任一条边后就不连通，即树T 是连通且边数最小的图

47. （二）Kruskal算法（加边法，破圈法） 1. 算法思想： ① 由Th1(4)结论：若|V| = n ，则树T有n-1条边且 无圈 ② 由def 8，最小生成树T*是具有最小权的生成树 故可E中各边按权大小排列设为W1≤ W2≤ … ≤ Wm，对应？边依次为a1,a2, … am，然后将 a1,a2, … 依次进入集合S，直到获得S的生成树T 为止（树的判断可由Th1(4)结论），则此树T必 为最小生成树。

48. 设G=(V,A,W)， |V| = n ， |A| = m S— 待生成的集合 i — S中进入最小生成树的边序号 j — 逐个进入S的G的边序号 ei+1 — S中进入最小生成树的边 表 11

49. 对G中各边按权大小顺序排列，不妨设为W1≤ W2≤ … ≤ Wm 填写Wj对应的各边aj表11 S=φ ，i = 0，j=1 Y |S| = n-1 N Y {aj} ∪ S构成回路？ N ei+1=aj S={ei+1} ∪ S i=i +1 j=j+1 T*=S 打印T* j=j+1 END 图 六

50. 例5（教材P218） 某大学准备对其所属的 7 个学院办公室计算机联网．这个网络的可能联通的途径如图七所示，图中V1，…，V7表示7个学院办公室，边eij为可能联网的途径。边上所赋的权数为这条路线的长度（单位：百米）。试设计一局域网既能联结七个学院办公室，又能使网络线路总长度为最短。