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0 Recordatorio. Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg. Índice. Álgebra matricial Definición Operaciones (+ – × ÷) Elasticidad Desplazamientos + deformaciones Tensiones + Esfuerzos Relaciones constitutivas. Álgebra matricial – Definición de matriz.

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Presentation Transcript

  1. 0Recordatorio Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg

  2. Índice • Álgebra matricial • Definición • Operaciones (+ – × ÷) • Elasticidad • Desplazamientos + deformaciones • Tensiones + Esfuerzos • Relaciones constitutivas Guillermo Rus Carlborg

  3. Álgebra matricial – Definición de matriz • Un sistema de ecuaciones lineal se puede representar: términos independientes variables coeficientes Matriz: negrita mayúscula Vector: negrita minúscula Guillermo Rus Carlborg

  4. Álgebra matricial – Definición de matriz • Algunos casos particulares de matriz A tienen nombre: • Traspuesta • Cuadrada • Simétrica • Identidad Guillermo Rus Carlborg

  5. Álgebra matricial – Operaciones Multiplicación: • Propiedades: • Conmutativa NO • Asociativa • Distributiva • Identidad • Transposición Guillermo Rus Carlborg

  6. Álgebra matricial – Operaciones Suma y resta: Determinante: término a término submatriz: eliminando fila 1, columna i Guillermo Rus Carlborg

  7. Álgebra matricial – Operaciones Inversa: • Condiciones: • Propiedades: Guillermo Rus Carlborg

  8. Álgebra matricial – Operaciones Inversa: • Para resolver los métodos modernos no calculan • Métodos directos: tiempo~N3 • Eliminación de Gauss: • Descomposición LU: • Descomposición QR: • Métodos iterativos: tiempo~N2 • Jacobi: • Gauss-Seidel: • Gradiente conjugado: GMRes: de los mejores algoritmos Guillermo Rus Carlborg

  9. Elasticidad – Desplazamiento y deformación Vectores unitarios • Posición: • Desplazamiento: • Movimiento: Variables Lagrangianas Variables Eulerianas Guillermo Rus Carlborg

  10. Elasticidad – Desplazamiento y deformación • Distancia: • Pequeños desplazamientos: Tensor de deformación de Lagrange Guillermo Rus Carlborg

  11. Elasticidad – Tensión y tracción • La cinética de los sólidos se describe por fuerzas continuos tensiones Para conocer las tensiones en un punto interior, cortamos por punto + dirección n Resultante que compensa lo eliminado tracción Guillermo Rus Carlborg

  12. Elasticidad – Tensión y tracción • Definimos como estado tensional en un punto lo necesario para conocer la tracción en cualquier dirección n • Para un plano no canónico: tensión Definido por n Sumatorio de Einstein Guillermo Rus Carlborg

  13. Elasticidad – Relaciones constitutivas • Al igual que en 1D: ahora: • Suponiendo elasticidad lineal isótropa: 2 constantes Lamé Hooke Guillermo Rus Carlborg

  14. Elasticidad – Barra • Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: • Hipótesis: H1: Sección transversal plana H2: Sección inextensible H3: Sección perpendicular • Deformación: • Comportamiento: Guillermo Rus Carlborg

  15. Elasticidad – Barra • Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: • El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal: Equilibrio longitudinal: Equilibrio Transversal: Guillermo Rus Carlborg

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