1 / 38

Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych

Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych. Przykład 1. Mamy system. Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście. Transmitancja. Zera i bieguny transmitancji. Transmitancja po redukcji. Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu.

oihane
Download Presentation

Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

  2. Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

  3. Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

  4. Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

  5. Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

  6. Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

  7. Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz

  8. Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

  9. Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

  10. Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

  11. Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

  12. Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalnej wynosi System jest stabilizowalny

  13. Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz

  14. Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

  15. Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

  16. Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

  17. Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

  18. Wartości własne systemu oryginalnego Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny

  19. Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 3. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym

  20. Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

  21. oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

  22. Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

  23. ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

  24. Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

  25. Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w.p.

  26. Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i niech są określone przez i Następujące stwierdzenia są równoważne są obserwowalne (i) (ii)

  27. Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

  28. Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

  29. Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

  30. Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

  31. Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych

  32. Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

  33. Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny

  34. Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

  35. Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny

  36. Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.)

  37. Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

  38. Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

More Related