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回顾. 刚体平面运动动力学方程. +约束方程. 第三章. o. y. α. A. c. B. x. mg. [例题 1] 均质杆 AB 长为 l ， 质量为 m ， 用两根细绳悬挂。求当把 B 绳突然剪断时，杆 AB 的角加速度和 A 绳中的张力。. 解：. AB 杆的动力学方程：. 第三章. o. y. α. A. c. B. x. mg. 联立求解. 需补充方程，求解. a A. 第三章. O. . B. A. l. ?思考. 当突然把绳 AB 剪断时，如何补充运动学方程？. T. 第三章.
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回顾 刚体平面运动动力学方程 +约束方程 第三章
o y α A c B x mg [例题1]均质杆AB长为l，质量为m，用两根细绳悬挂。求当把B绳突然剪断时，杆AB的角加速度和A绳中的张力。 解： AB杆的动力学方程： 第三章
o y α A c B x mg 联立求解 需补充方程，求解 aA 第三章
O B A l ?思考 当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？ T 第三章
长为2l质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面内。开始时杆AB直立于墙面，受微小干扰后B端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任意位置受到墙的约束反力（表示为 的函数形式）。不计摩擦。 A O B [例题2] 第三章
A C P O B 解： (a) (b) (c) 将 代入（a)、(b)，得XA、YB再代入（c)，得 第三章
A C P O B 杆脱离墙的条件：XA = 0 第三章
一个物体沿另一个物体的表面滚动或有滚动趋势时，受到的阻碍作用称为滚动摩擦． 滚动摩擦 滚动摩擦的大小一般用阻力矩来量度，如，车轮沿地面滚动时，地面和车轮都要发生形变，使得地面对车轮支持力 Ｎ的作用点前移了ｋ，支持力 Ｎ对车轮质心 便产生阻碍车轮滚动的阻力矩． 式中的ｋ称为滚动摩擦因数，具有长度的量纲。在数值上相当于图中支持力 Ｎ对车轮质心Ｏ的力臂． 一般，滚动摩擦远小于滑动摩擦。 应理解为在条件相同的条件下， 克服滚动摩擦(Rolling friction) 比克服滑动摩擦(Sliding friction) 需要的力小 . 第三章
§8、刚体定点运动的角动量动能 转动惯量 第三章
现在求 的分量式 一、刚体作定点运动时的角动量 第三章
引入符号 绕固连坐标系x、y、z轴的转动惯量 惯性积 刚体对定点的角动量与 刚体的转动惯量及惯量 积有关 所以 第三章
上式可以写成矩阵形式 角速度列阵 角动量列阵 惯量矩阵 特点：对角元素是正号，非对角元素为负号。 九个元素称为 惯量系数 Inertial coefficient 第三章
二、刚体作定点运动时的动能 第三章
mi A ri ρi e O 三、对过O点任意轴e的转动惯量(moment of inertia) 1.定义： 2.回转半径radius of gyration： 物理上认为，刚体按一定规律分布的质量，在转动中等效于集中在某一点上的一个质点的质量，此点离某轴线的垂距为k，因此，刚体对某一轴线的转动惯量与该等效质点对此同一轴线的转动惯量相等， 称为对该轴线的回转半径 第三章
3.惯量张量 inertia tensor 对o点的惯量张量 对质量均匀分布或按一定规律分布，且形状规则的刚体 第三章
通过空间某一点o，某一瞬时轴e的方向余弦为α、β、γ。通过空间某一点o，某一瞬时轴e的方向余弦为α、β、γ。 即 的方向余弦。因 第三章
惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量 第三章
四、惯量主轴 在惯性矩阵中, 若 Ixy = Iyx = 0; Izx = Ixz = 0; Izy = Iyz = 0 则Oxyz称为主轴坐标系，三轴称为惯性主轴, Ixx、 Iyy、 Izz称为主转动惯量。惯性矩阵为 若点O与质心C重合，则轴Cx、Cy、Cz称为中心惯性主轴，相应的转动惯量Ix、Iy、Iz称为中心主转动惯量。此时刚体对定点的角动量为 第三章
对称面 P 对称轴 确定惯性主轴的几何方法 • 如果均质刚体有对称平面，则平面上某点的惯性主轴之一必与平面垂直 • 如果均质刚体有对称轴, 则此轴是轴上各点的惯性主轴 第三章
z O x y l 例1 均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求: 杆对O点的惯量矩阵 杆对O点的角动量 杆的动能 第三章
z O x y l 解 建立结体坐标系Oxyz • 杆对O点的惯量矩阵 第三章
杆对O点的角动量 • 杆的动能 解法一： 解法二： 第三章
五、惯量椭球（inertia ellipse) 刚体对于通过某点的任意轴线的转动惯量的几何描述。刚体对通过O点的轴l的转动惯量I 和轴l的方向有关。为了说明它们之间的关系可在轴l上取一长为R的线段OP，并令R与该轴的转动惯量有如下关系： 当轴l在空间改变方向时,矢量R的末端P的轨迹满足方程式： 这个方程规定的曲面是一个椭球面，称为刚体关于 O点的惯量椭球。一个确定的刚体对于任一点的惯量椭球具有完全确定的尺寸，其形状和方位不依坐标系的不同而变化。在刚体上的每一个点，都可作出一个相应的惯量椭球；但它们的大小、形状和方位彼此不同。 第三章
作业：p.128-137; 3.7)，3.8)，3.29)
可使6个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则可使6个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则 式简化为 式中 为 的三个方向余弦（ 回顾 可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，
[例题]均匀长方形薄片的边长为a与b，质量为m求此长[例题]均匀长方形薄片的边长为a与b，质量为m求此长 方形薄片绕其对角线以ω匀速转动时的转动惯量和角动量。 解：如图所示，坐标轴取在惯量主轴上，因 则转动惯量为 角动量为
— 轴与ON间的夹角，描述了ozˊ轴（刚体自转轴）绕 ON —固定坐标平面 与动坐标平面xoy的交线（节线）。 转动 （进动角）。 G 三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空 间的位置，其变化范围为 上述 O §9 定点运动刚体的欧拉角描述 —oz轴与oz轴间的夹角是刚体自转轴oz绕ON转动角（章动角） —节线ON与ox轴间的夹角，刚体绕ozˊ轴的转动角（自转角） 惯性系：O 固连系：Oxyz
中的分量为 在固定坐标系 1.定点转动的角速度 是进动角速度 、章动角速度 和自转角速度 的合成 （1） （2） 在动坐标系oxyz中的分量为 （3） （2）或（3）式称为定点转动欧拉运动学方程。
2.欧拉动力学方程 刚体定点转动的角动量 诸外力对定点的主矩 欧拉动力学方程 第三章
[例1]如图4.31所示，均质圆锥体的高为h，质量为m， 为圆锥体与平面接触线同轴 的夹角，质心C在圆锥体轴线上，且距顶点为 ，速率为 求该圆锥体在 平面上作 定点转动的动能。圆锥顶角为2α。 解：圆锥体作定点转动，OD为转动瞬轴。所以
则动能 ,代入,得 当几何关系
z z z w 进动 mg O O O 3. 定点转动的典型实例（陀螺运动） ①陀螺的回转效应 若陀螺不在转动，且对称轴 不在铅垂方向，则会向一个方向倾倒： 若陀螺高速自转，被外力冲击时，仍可在原转轴附近回旋，而不会继续倾倒 进动轴 自转轴 说明陀螺运动时能产生一种与外力抗衡的内力矩，这种内力矩称为回转力矩
z z z Lsin rCsin d 进动 M M L rC mg mg O O O ②陀螺的进动 自转轴 1.由角动量定理出发： 如图，对固定点O，陀螺只受重力矩 的作用，即
z Lsin d M L mg O 进动轴 自转轴 根据刚体角动量定理 即角动量的变化量dL应像M一样垂直于L.L的顶端绕一水 平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动. 又如图
z Lsin d M L 由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度 的 增大而减少，与角度 无关. mg 其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转 动惯量I与自转角速度 的乘积.因此，陀螺的进动角速度为 O (1) (2) 考虑到进动角速度的方向，由（1）和（2）式可得
进动 A B fc 在此参考系中，陀螺除受到重力作用外，还受到惯性离心力和科里奥利力，如图 mg O ③直观物理图象 z 选自转轴上一点为参考系原点，该参考系随自转轴一起进动（绕进动轴转动），则参考系为非惯性参考系。 O’ 重力mg和惯性离心力fc：产生的力矩使陀螺倾倒的倾向 科里奥利力fcor：分析可得，如图A、B两点处的fcor提供的 合力矩使陀螺不致倾倒。 重力mg和惯性离心力fc与陀螺自转角速度无关； 科里奥利力fcor与陀螺自转角速度成正比。 因此，只要陀螺自转角速度足够高时，陀螺就能不倾倒甚至能够使倾角变小。当然自转角速度很小时，仍会倾倒。
z 保持转动方向 进动 z 章动 进动 进动 O O ④陀螺特点: 1.不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量保持恒定 高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，力图保持其转轴在空间的方向不变.广泛应用于航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等. 2.章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动 外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角 会有大小波动，称为章动.
C D 北半球：春分点 秋分点 南半球：秋分点 春分点 D 黄道面 C 地球赤道 地球自转轴的进动 注:春分点沿黄道面每年西移约 50.3″ 北 北 23.5o mi m’i O 南 南 岁差：由太阳和月球引起的地球自转轴的进动形成日、月岁差(即回归年与恒星年之差,前者略短于后者)，地球自转轴的进动周期约为25800年.
