建 立 模 型

1. 建 立 模 型

2. 例1 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，午3点20分到达B处。若车以55km/h的速度等速行驶。从A到B有多远? 解： 距离＝速度×时间 例2 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，下午3点20分到达B处。如速度计所指示出的那样，他从静止开始，均匀地加速,当他到达B处时，速度为60km/h．从A到B有多远? 分析：

3. 例3细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?例3细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析： 关键: 要找的是微分方程的一条解曲线。微分方程所反映的思想是 如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能够重新构造这条解曲线 净变化率＝输入率一输出率

4. 若干准则 1)转化： 表示“导数”的常用词 —— 速率、增长、衰变、边际的、改变、变化、增加、减少 净变化率＝输入率一输出率 2)方程： 在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。表示导数的关键词y '、y以及x之间的关系。 3)单位： 每一项都采用同样的物理单位。 4)给定的条件： 系统在某一特定时刻的信息。它们独立于微分方程而成立。用来确定有关的常数。

5. 主要步骤： A、把用语言叙述的情况概念化为文字方程； B、陈述出所涉及的原则或物理定律； C、微分方程； D、给定的各种条件．包括初始条件或其它条件； E、微分方程的解； F、求出了常数酌解； G、问题的答案。 翻译； 建立瞬时表达式； 配备物理单位； 叙述给定的条件； 写出清楚的框架。

6. 例4将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。例4将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。 背景：牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。 分析：

7. 例5 某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。 分析： 净变化率＝输入率一输出率 输入率=2500 cal／天－新陈代谢1200 cal ／天 输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg)

8. 例6 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前? 背景：碳14年代测定：活体中的碳有小部分是放射性同位素C14，它是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。因此，C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八干分之一的速度减少。 分析：

9. 现在，碳14年代测定法已受到环疑——在2500到10,000年前这段时间中与其它断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E．Suess在一份报告中指出了这一时期使碳14年代测定产生误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。这两位研究人员的结论出自对Brist/econe松树所作的碳年代测定的结果、因为这种松树同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式．用来校正根据碳测定出的2300到6000年前这期间的年代： 真正的年代＝C14年代×1.4—900

10. x(t) 例7 在地球内部，重力正比于到地球中心的距离，若从北极穿一洞通南极，把一块石头投入洞内，问它到达地心时的速度是多少？ 分析：设

11. 例8 早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车不管已扫过的路面） 分析：设单位面积上单位时间降雪量为a (km/h)，路面宽度为b (km)，扫雪速度为c (km3/h)，路面上雪层厚度为H(t) (km)，扫雪车前进路程为s(t) (km)，降雪开始时间为T

12. 例9 驱逐舰在浓雾中搜索潜水艇，雾一散开，发现潜艇在3km之外的海面上，但潜艇立刻下潜。驱逐舰速度2倍于潜艇，且已知潜艇下潜后立即全速朝某一未知方向直线行进，问驱逐舰该采取什么路线才能保证它会经过潜艇的正上方？ 分析：

13. 例10 在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及会合前所经过的路程。 分析：

14. 例11 一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到1850F可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。由于温度计坏了他要你计算一下，从2120F冷却到1850F要等多长时间?你能解决他的问题吗？如果你回答“能”，那就计算一下。如果“不能”，解释一下为什么？ 你先要问一下你的朋友房间的温度R是多少。然后由 dT/dt＝－k(T－R)解出T－R=Ce－kt，t=0时,T=212，故 T－R=(212－R)e－kt。当t＝?时,T=185?你仍然被卡住，因为你不知道k,你还得向他询问更多的信息。除非他能回忆起诸如‘那天我打了半小时的电话，这愚蠢的水就冷到了950F…”也许最好的办法就是给他一支新的温度计。

15. 例12 在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内．搅拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶内。再将混合掖搅拌均匀．然后用1升/min的速度输出。在任意时刻t＞0，从第二只桶流出的水中含多少盐？ 分析：