Miskolci Egyetem Informatikai Intézet Általános Informatikai Tanszé k Pance Miklós

1. Miskolci Egyetem Informatikai Intézet Általános Informatikai Tanszék Pance Miklós Adatstruktúrák, algoritmusok előadásvázlat Miskolc, 2004 Technikai közreműködő: Imre Mihály, műszaki informatikus hallgató

2. B-fák • Nem bináris fa. Az M-ed rendű B-fa a következő szerkezeti tulajdonságú fa: • a gyökér vagy levél, vagy 2 és M közötti gyereke van, • minden nem levél csúcsnak a (gyökér kivételével) [M/2] és M közötti gyereke van, • minden levél azonos mélységben van. • Minden adatot a levelekben tárolunk. Minden belső csomópontban a gyerekekre mutatóP1, P2, ..., PMpointereket, és azokat a legkisebb k1, k2, ..., kM-1 kulcsértékeket tároljuk, melyek P2, P3, ..., PM alfákban találhatóak. Természetesen ezen mutatók nil-ek is lehetnek és akkor a megfelelő kulcsérték definiálatlan. 2

3. B-fák Minden csúcsra a P1 alfában található összes kulcs kisebb a P2 alfában található kulcsoknál, és így tovább. A levelek a tényleges adatokat tartalmazzák, amik vagy maguk a kulcsok, vagy a kulcsot tartalmazó rekordra mutató pointerek. Ennek a definíciónak léteznek variációi, de ez a legáltalánosabban elfogadott. Most azt is kikötjük, hogy a levelekben [M/2] és M közötti kulcs legyen. 3

4. 21 48 72 12 15 25 31 41 59 84 91 84, 88 15, 18, 19 1, 4, 8, 11 12, 13 21, 24 25, 26 31, 38 41, 43, 46 48, 49, 50 59, 68 72, 78 91, 92, 99 B-fák A4-ed rendű B-fát szokták 2-3-4 fának is nevezni, pl.: 4

5. 22 : - 16 : - 41 : 58 58, 59, 61 16, 17 22, 23, 31 41, 52 8, 11, 12 B-fa műveletek A B-fa műveleteit egy 2-3 fán mutatjuk be: a belső pontok , levél a kulcsokkal: , a leveleken a kulcsok rendezettek. Keresés: a gyökértől indul, összehasonlít, megy tovább... 5

6. 22 : - 11 : 16 41 : 58 58, 59, 61 1, 8 16, 17, 18 22, 23, 31 41, 52 11, 12 B-fa műveletek Beszúrás: keresés a levélig, pl. a 18, majd az 1 beszúrása: a levélen 4 érték lenne (maximum 3 lehet) kettévágjuk és a szülők információit kiigazítjuk: 6

7. 22 : - 58, 59, 61 22, 23, 31 41, 52 18, 19 1, 8 16, 17 11, 12 41 :58 16 : 22 18 : - 11 : - 58, 59, 61 18, 19 22, 23, 31 41, 52 1, 8 16, 17 11, 12 41 : 58 11 : 16 B-fa műveletek Az 19 beszúrásánál a szülő csúcsot is ketté kell vágni: 7

8. 11 : - 18 : - 41 :58 16 : 22 58, 59, 61 18, 19 22, 23 28, 31 1, 8 16, 17 41, 52 11, 12 B-fa műveletek Az 28 beszúrásánál a nagyszülő csúcsot(gyökér) is ketté kell vágni, a fa magassága eggyel nő: 8

9. 28 : - 58 : - 16 : 22 11 : - 18 : - 16 : - 28 : - 58 : - 41 : - 22 : - 58, 59, 61 28, 31 41, 52 22, 23 B-fa műveletek 9

10. 59, 61, 70 41, 52, 58 B-fa műveletek Csak az elérési úton kell változtatásokat végezni és ez az útvonal hosszával arányos. Egy más módszer a túlterhelés kezelésére (bár az előző talán a legegyszerűbb), a kettévágás helyett először megpróbálunk egy kétkulcsos testvért keresni. Pl. a 70 beszúrását végezhetjük úgy is, hogy az 58-at áttesszük a baloldali testvérhez: és a szülőknél is aktualizálunk: 58  59. Ez a stratégia a belső csúcsokban is alkalmazható. Így a csúcspontok telítettebbek lesznek. Egy kicsit bonyolultabb a rutin, de kevesebb tárolóhelyet vesztegetünk. 10

11. B-fa műveletek • Törlés: megkeressük, eltávolítjuk, ha egy érték maradna akkor, ha a testvérének • 3 kulcsa van, akkor egyet ellopunk, • 2 kulcsa van, akkor összevonjuk őket. • a szülő vesztett egy gyereket, felbugyborékoltatjuk a gyökérig, ha a gyökérnek már csak egy gyereke marad, akkor töröljük a gyökeret, csökken a magasság. • Általában az M-ed rendű B-fánál, a kulcs beszúrásánál akkor van gond, ha a csúcsnak (ahová való) már M kulcsa van. A B-fa maximális mélysége [log[M/2] N]. Az útvonal minden csúcsában O(log M) munkával választjuk ki a megfelelő ágat (bináris kereséssel). Az Insert vagy DeleteO(M) munkát igényelhet a csúcspontban. Így a legrosszabb esetben O(M logM N) =O( M * log N / logM), a keresés pedigO(log N) hatékonyságú. 11

12. B-fa műveletek Empirikusan az M=3,4 a legjobb, ha csak fő memóriát használunk. Adatbázis rendszereknél a fát lemezen tároljuk. A lemez műveletek száma O(logM N), ezen belül a keresés O(log M), de ez most a lemez művelet idejénél nagyságrendekkel kisebb. Ezért az M értékét úgy választjuk, hogy egy csomópont adatai egy blokkot foglaljanak el: 32 <= M <= 256. Mivel egy ilyen fa mélysége 2,3,... , nagyon kevés lemez művelet kell (a gyökér és talán az első szint is a memóriában lehet). Analízisek mutatják, hogy ajánlatos a B-fát69%-ig telíteni (log 2) és hatásos a testvér kihasználása is, a kettévágás helyett. 12

13. B+-fa A B+-fa testvér mutatókat is alkalmaz. 13