Ingenjörsmetodik IT & ME 2010

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 • Föreläsare Dr. Gunnar Malm

Frågor från förra gången • ?

DagensföreläsningF14 Symboliskmatematik ‘förproblemlösning’ iMatlabkap 7 EKM Symboliskavariabler Symboliskauttryck Symboliskaekvationer

Bra Matlab-kommandon ’...’ används för att definiera de symboliska uttrycken Sym() Syms Solve Simplify eller simple Poly2sym Diff (int)

Valda exempel • Numerisk derivering från gammal tenta • Ekvationssystem som uppstår vid dimesionsanalysen • Sammansatt fel dvs Gauss formel • Ytterligare en variant av MK-metoden

Numerisk derivering

Numerisk vs symbolisk • Funktionen sin(x) kan även hanteras symboliskt >> diff('sin(x)') ans = cos(x)

Dimensionsanalys • Vid dimensionanalys se föreläsning 2 uppstår ekvationssystem • Repetera ett exempel och lös sedan systemet symboliskt

Dimensionsanalys • Ställ upp ett uttryck • Inför beteckningarna för dimensioner • Förenkla • T1L0M0=kMxLy(LT-2)z T 1=-2z L 0=y+z M 0=x z=-1/2, y=1/2

Dimensionsanalys >> [v1 v2 v3]=solve('1=-2*z','0=y+x','0=x') v1 = 0 v2 = 0 v3 = -1/2

Sammansatt fel med Gauss formel • Repeterar först metoden • Presenterar sedan hur den genomförs symboliskt

Exempel Gauss formel • I vårt exempel är F restiden t, • x vägsträckan s och • y bilens hastighet v • Dvs:

Exempel Gauss formel • Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 20 km/h • Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km • Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SI-systemet för kommande beräkning?

Exempel Gauss formel

Alternativ metod • Lägg ihop de relativa osäkerheterna

Exempel Gauss formel • Finns två formler som är användbara om man är ’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan alltid! • För en summa av potenser • För en produkt av potenser Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar

Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser

Hur kan Gauss formel användas • För en ingenjör gäller att kraven på ’produkten’ måste uppfyllas • Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat

Hur kan Gauss formel användas • Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel • I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator) • http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm • Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varierar något 1920-1980 and 2110-2170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel spacing is 5 MHz and raster is 200 kHz.

Hur kan Gauss formel användas Spolar • Layout och kretsschema Kondensatorer

Hur kan Gauss formel användas • Givna värden för frekvensen • Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanal-separationen ska vara bara 5 MHz!

Symbolisk Gauss-formel syms F C L syms deltaF deltaC deltaL F=sym(1/sqrt(L*C)/2/pi) deltaF=sqrt((diff(F,C)*deltaC)^2+(diff(F,L)*deltaL)^2) subs(deltaF/F,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12}) subs(deltaF,{L, C, deltaL, deltaC},{0.6e-9, 10e-12, 0.1e-9, 0.1e-12}) syms deltaS deltaV syms s v F2=s/v deltaF2=sqrt((diff(F2,s)*deltaS)^2+(diff(F2,v)*deltaV)^2) pretty(ans) pretty(deltaF2)

Ekvationssystem från MK-metoden • Linjärt ekvationssystem för a och b kan lösas efter Algebrakursen... • Eller med symbolisk lösning...

Exempel på symbolisk lösning • A och b – ges av ekvationer, inte siffror/värden

MK symbolisk matlab-kod syms a b x y linje=a+b*x mk=sum(y-linje) mk xdata=[0.9 1.8 2.5 3 3.7 4.2]'; ydata=[2.1 6.0 12.2 20.9 40.6 65.9]'; xdata ydata e1=sum(mk^2) e2=diff(e1,a) e3=diff(e1,b) e4=subs(e2,{x,y},{xdata,ydata}) e5=subs(e3,{x,y},{xdata,ydata}) e6=sum(e4) e7=sum(e5) [u v]=solve(e6,e7) double(u) double(v) plot(xdata,ydata,'r.')

Nästa föreläsning • Repetion

Ingenjörsmetodik IT & ME 2010