7.2 逆矩阵及初等变换

1. 7.2 逆矩阵及初等变换

2. 主要内容 一、逆矩阵 ★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法 二、矩阵的初等变换 矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。 下页 关闭

3. 一、逆矩阵的概念 定义 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使 AB = BA = E， 则说方阵A 是可逆的，并把方阵B 称为A 的逆矩阵。 注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。 由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B的逆矩阵。 例如 因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A 也是B 的逆矩阵。 上页 下页 返回

4. 如果方阵A是可逆的，则A 的逆阵一定是唯一的。 这是因为：设 B、C 都是A的逆矩阵， 则有 B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C， 所以 A 的逆阵是唯一的。 A的逆阵记作A -1。 即若AB = BA = E，则 B = A -1。 例如 因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即 A -1= B 上页 下页 返回

5. 二、矩阵可逆的条件 定理1若方阵A 可逆，则A 的行列式不等于0. 例如 易见AB=BA=E， 即A可逆. 此时|A| = 1≠ 0. 定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零.这个结论反过来也成立.请看下面的定理2. 定理2若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且 上页 下页 返回

6. 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0 。 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非奇异阵。 推论 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1。 证 因为|A| |B| = |E| ＝1， 故|A| ≠ 0， 于是 因而 A -1存在， B = E B =（A -1A）B = A -1（AB）= A -1E = A -1。 上页 下页 返回

7. 注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。 例如 故A可逆。 需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。 对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。 上页 下页 返回

8. 方阵的逆阵满足下述运算规律： 上页 下页 返回

9. 例1 求方阵 |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： 解 A11= 2，A21= 6，A31=－4， A12=－3，A22=－6，A32=5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 上页 下页 返回

10. 例2设 求矩阵X使满足AXB = C。 分析： 若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB = C，又用B-1右乘AXB = C， 有 A-1AXBB-1= A-1CB-1， 即 X = A-1CB-1。 上页 下页 返回

11. 三、矩阵的初等变换 求逆矩阵的方法，除了用伴随矩阵法之外，还有一种 新的方法——矩阵的初等变换.这里主要介绍初等行变换. 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．

12. 逆变换 逆变换 逆变换 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 矩阵的初等行变换的记法：

13. 例如 矩阵 可以通过有限次初等变换将该矩阵变成一个单位矩阵 注意：将矩阵施行初等变换，不是作恒等变形，每一步 都不能用等号“=”连接，只能用单箭头“ ”以表示过程

14. 现在，我们介绍用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩现在，我们介绍用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩 阵的方法.事实上，矩阵的初等行变换还可以用来解一 般的线性方程组.这一内容我们下次课将会讲到. 利用初等行变换求逆阵的基本思路与方法： 则有下列公式：

15. 例3 解

17. ∴ 例4 解

18. 四、小结 利用初等变换求逆矩阵的步骤是:

19. 课堂练习

20. 作业：P160 T7（1） （2）

21. 解 上页 下页 返回