第二章曲面论

第二章曲面论 §6 曲面上的测地线（第二讲）主讲：尹爱芹

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 三、曲面上的半测地坐标网 • 1、半测地坐标网 • 定义曲面上的一个坐标网，如果其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。（这族正交轨线称为测地平行线）。 • 实例：1）平面上的极坐标网就是半测地坐标网。 • 事实上：平面上的极坐标系，一族坐标曲线是从原点出发的射线，这是平面上的测地线；另一族坐标曲线是以原点为心的同心圆，它是上述测地线的正交轨线。 • 因此半测地坐标网是平面上极坐标系在曲面上的推广。 • 2）球面上的坐标曲线也构成半测地坐标网。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 2、半测地坐标网的存在性 • 命题4 给出曲面上一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的这条曲线。 • 证明：根据定理1,过曲面上给定的曲线(C)的每一点,沿着(C)在曲面的切平面上对于垂直于(C)切线的方向,存在唯一一条测地线,于是得到与(C)正交地曲线族.然后再作这一族测地线的正交轨线,它必包含了给定的曲线。

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山东省成人高等教育品牌专业网络课程 3、曲面在半测地坐标网下的第一基本形式

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 四、曲面上测地线的短程性 • 利用曲面上的半测地坐标网可以证明测地线的短程性.即在小的范围内连接任意两点的任意曲面曲线中以测地线为最短.所以测地线又叫短程线。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 注：1)平面上两点之间以直线为最短，而曲面上两点间以测地线为最短(如球面上两点间以大圆弧为最短)，从这个角度又看到，曲面上的测地线是平面上直线的推广。 • 2)区域不充分小时结论不一定成立.如在球面上两点如果不是同一直径的端点,则连接它们有两个大圆弧,其中短的是最短连线,长的不是。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 五、高斯—波涅(Gauss-Bonnet)公式 • 在平面几何中三角形的内角和为 ,如何把这个结论推广到曲面上,这是我们这节解决的问题。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 六、曲面上向量的平行移动 • 我们把空间或平面上矢量的平行移动的概念推广到一般曲面。 • 1、曲面上的向量及其平行移动 • 1）曲面上的向量、向量场 • 曲面上给定点处切于此曲面的向量叫做曲面在该点的一个向量。

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