数学学习的理论探讨

1. 数学学习的理论探讨 鲍建生 苏州大学数学科学学院

2. 前言：教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。 教师即技师（Teacher as technician） 教师即研究者（Teacher as researcher）

3. 一、教师成为研究者是教师专业发展的需要 • “教师成为研究者”有利于教师去发现和解决发生在自己课室中的教学问题，或是教育上的问题，进而改进教学以及提升教育质量。 • “研究者”与“教师”看问题的视角往往是不一样的，“教师成为研究者”有利于促进教师对学生学习的理解。“学”是“教”的前提，只有理解了学生是怎么学的，教学才能对症下药。在理解学生的学习方面，教师的经验固然重要，但由于学习行为是一种复杂的心理活动，因此，单纯的经验有时也会将教学引入歧途。 • “教师成为研究者”有助于促进教师之间、教师与专业研究人员之间、以及教师与其它行业之间的合作与交流。教师的经验由于带有太多的个性，一旦脱离了具体的情境，就难以被别人理解与借鉴，只有通过研究，将经验提升为一种带有共性的东西，才可能跨越时空和行业的界线。

4. 二、教师成为研究者是课程改革的需要 数学新课程的实施，带来了许多新的东西，如：新的教学理念，新的教学方法，新的教学内容，以及传统教学内容的新的处理。随之而来的则是一些新的问题和老师们的种种困惑：如何看待我国的双基教学？传统的教学经验是不是不适用啦？什么是数学探究？如何评价教学的有效性？等等。为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。无怪乎，台湾的报纸用三个字来概括实施（台湾地区）新课程后老师们的心情，那就是：“忙、盲、茫”。 要改变这种现象，“教师成为研究者”至关重要。因为面对新的情境，老的经验往往并不适用。只有采取研究的态度，才能透过表面的现象看清本质的东西，从而提高教师的洞察力和鉴别力，而不至于像墙头草那样，风吹两面倒。

5. 三、研究风格的转变 • 自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法） • 定性研究→定量研究→定性研究（质的研究） • 教育学方法（望远镜） →心理学方法（显微镜） →数学教育研究方法（？） • 理论研究（改变理论） →实证研究（检验假设） →行动研究（改变行为） • 象牙塔（独立研究） →课堂（合作研究） • 基于书面资料（博览群书）→基于因特网（搜索与鉴别）

6. 四、数学教育的基本研究规范

7. 课题的提出 （起因与意义） 论文的一般格式 （已有的成果及其与本研究的联系） 文献综述 （取样，问卷，测试卷等及其信度和效度，包括反应率） 研究方法 研究过程 结果与应用 参考文献 附录

8. 五、几点建议

9. 选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。

10. 从“小”做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。 本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可。这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈。我们不能期望一篇短文能够讲出许多的大道理。

11. 注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：“我认为…”这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像《中学数学月刊》这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。 提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。

12. 掌握基本的研究方法 长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。

13. 增加合作与交流 现代社会越来越强调人与人的合作交流，数学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。

14. 教师参与研究的程度 • 汉森（Henson, 1996）曾将教师参与研究的程度分为三级： • 第一级为“协助者”（helper）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用； • 第二级为“初级研究者”（junior partner）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策； • 第三级为“实质研究者”（researcher）的角色，即不论单独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位。 • 研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学。

15. <<中学数学月刊>>编辑部 普通投稿：江苏省苏州市十梓街1号 苏州大学数学科学学院 《中学数学月刊》编辑部收 邮编：215006. 电子投稿：zxsxyk@suda.edu.cn

16. 提纲 I. 前言 II. 范希尔的几何思维水平 III. 克鲁切茨基的数学能力心理学 IV. 韬尔的高等数学思维研究 V. 安德森的ACT-R理论 VI. 杜宾斯基的APOS理论

17. I. 前言 教育心理学 教学心理学 教与学心理学 学与教心理学 学习理论 呼唤数学领域自身的学习理论！

18. 理论的意义 • 支持预测； • 为研究提供框架； • 具有解释的能力； • 能够应用于广泛的现象； • 有助于组织对复杂的相关现象的思考； • 作为数据分析的工具； • 提供一种深层次的交流观点的语言。

19. 数学学习领域的理论建构 • 两条途径： • 第一条途径是“一般学习理论 + 数学例子”，也就是将一般的学习原理应用于具体的数学学习情境，然后根据数学学习的特点修正原来的理论，或者提出新的假设去寻找更合适的理论依据。 • 另外一条途径则源自数学学习中的问题与经验, 通过建立模型去解释数学学习的心理过程。这一类研究人员通常是数学专业出生，对数学有较为深入的理解，但在教育学和心理学的理论功底上有所欠缺，其研究的重点主要在于大学生和中学生的数学学习。相比之下，心理学界对数学学习的讨论主要集中在小学阶段。

20. 学习理论研究的趋势：走进课堂 三十年前, 教育工作者们很少关注认知科学家的工作, 在认知科学研究的初期, 研究者们的工作是远离课堂的. 今天, 认知研究者们更多的是与教师合作, 在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论, 因为在教室里, 他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用. 摘自《人是如何学习的》

21. II. 范希尔的几何思维水平

22. 起因 在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。

23. 评价 前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（1959）在1963年就由皮什卡罗（A. M. Pyshkalo）作了详尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普（Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表在Martin 和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。 与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有这一些，使范希尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何教学研究的一个热点。

24. 水平的划分 层次0︰视觉 ( visuality) 层次1︰分析(analysis) 层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction) 层次3︰形式的演绎 (formal deduction) 层次4︰严密性( rigior )

25. 层次0︰视觉 ( visuality) 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述. 例如：儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像一个三明治。

26. 层次1︰分析(analysis) 儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。例如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解如果内角愈大，则对边愈长的性质。

27. 层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction) 儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系统性的证明.

28. 层次3︰形式的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。

29. 层次4︰严密性 在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。

30. 水平的修正（Van Hiele，1986） • 直观水平（visual level）——整体地认识几何对象。Fuys, geddes, Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”。 • 描述水平（descriptive level）——通过几何性质认识几何对象。在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形。学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。 • 理论水平（theoretical level）——利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中由Murray（1997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内部和图形之间的联系。这一阶段学生能够运用“如果┉那么”思想，并由此发展逻辑推理能力。

31. SOLO理论 SOLO是“学习结果的结构性观察”（Structure Of the Observed Learning Outcome）的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982）所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和皮亚杰认知发展阶段理论

32. SOLO水平分类

33. 范希尔理论与SOLO理论的比较 SOLO 分类与范希尔理论在许多方面是相似的，如两者都为教师提供了一种评价学生推理的途径；两者都可以作为一种教学的框架；在各级水平（特别是最高水平和最低水平）上学生的反应指标有些类似；等。但两者之间的区别也是存在的，如SOLO系统侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体的能力变化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分类可以应用于所有的学科，而范希尔一般只适用于几何课程；SOLO系统除了五个结构层次外，还给出了不同层次之间的“过渡水平”，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过渡，而范希尔的教学阶段则聚焦于每个层次上的教学设计

34. 几何思维水平的评估 范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利用编制好的测试题考查学生的范希尔思维水平。 在这方面的工作中，第一个，也是最经典的一项研究是芝加哥大学的一个题为“中学几何课上学生认知的发展和成就”的研究课题。这项研究的目的是确定学生的认知发展阶段以及学生在一个数学基础知识测验上的成绩对他们掌握几何概念和证明的影响（Usiskin，1982）。这项课题的对象包括了六个州的学习高中几何课程的近2900名学生。

35. Usiskin得到的初步的研究结果 • 以纸笔测验进行施测，有8﹪的初初中生可达到van Hiele 层次3之上。 • 范希尔几何思考层次和几何测验分数间有显著的相关。 • 部分学生的解答介于两个水平之间，难以指派到某一层次。 • 完成中学几何课程后，仍有40﹪学生的几何发展仍在层次3以下。 • 范希尔层次在性别间有差异现象。 • 利用van Hiele 几何思考层次可预测学生在标准几何学习上会遇到困难

36. III. 中小学生数学能力心理学

37. 简介 前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究. 他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果集中反映在其著作《中小学生数学能力心理学》中。这本书的俄文版在1968年出版后，于1976年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii, 1976）。分别于1983、1984和1993年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。

38. 评价 “可以毫不夸张地说，这本书对从事数学教育的人来说，和皮亚杰的著作有同样的影响力。正像皮亚杰的实验题目曾为教师和研究人员所改编和使用一样，克鲁切茨基的实验题目更接近于学校的数学课程，因而同样地能为教师和研究人员加以改编和使用；正如皮亚杰关于智力发展的概念曾使教育工作者认识到不同年龄儿童思维上的差异一样，克鲁切茨基关于数学能力结构的概念，能使他们认识到能力的不同组成和它们是怎样在共同起作用的；正如皮亚杰曾经扩大了我们关于什么是恰当的研究方法一样，克鲁切茨基则更进一步扩展了这个概念。” 基尔帕特里克

39. 三个基本问题 • 数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？ • 数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题。 • 数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？

40. （一）能力结构

41. 两类数学能力 • 作为创造性（科学）的能力——在数学科学活动中的能力。这种能力产生对人类有意义的新成果与新成就。这是在社会上有价值的成品。 • 作为学校的能力——在学习（学会、掌握）数学（在这种情况下是学校的数学课程）上的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。

42. 中小学生数学能力结构 • 1. 获得数学信息 • A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。 • 2. 数学信息加工 • 在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。 • B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。 • C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。 • D. 在数学活动中心理过程的灵活性。 • E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。 • F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。 • 3. 数学信息保持 • A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。 • 4. 一般综合性组成成分 • A. 数学气质。

43. 数学禀赋结构中非必要成分 • 以时间为特征的心理过程的敏捷性。数学家可以慢慢地思考，但是却想得非常透彻和深刻。 • 计算能力。法国著名数学家庞卡莱说，他自己即使做加法也要出错误。 • 对符号、数字和公式的记忆。正如科尔莫戈罗夫指出的那样，许多著名数学家在这方面的记忆并不突出。 • 关于空间概念的能力； • 对抽象数学关系和相依关系形象化的能力。

44. （二）研究中小学生数学能力的实验题体系 普通测验： 考查学生知道什么和会什么。 能力测验： 考查学生解题的容易程度和迅速程度

45. 选择实验题的依据 • 选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说都是具备的。 • 实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响。 • 如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的技能）。 • 我们运用了一些具有数学创造性成分的题目——非常规的题目。

46. 系列1：没有提出问题的题目 考查目的：本系列题目中，既没有直接提出问题，也没有间接提出问题，但题中所给的数量关系可以合乎逻辑地引申出问题。目的是弄清学生是否能提出问题，是否能发现题目中已知关系的逻辑依从性，是否能理解这些关系的本质，以此来考查学生对数学题的心理知觉的某些特征。 考查方法：由算术、代数、几何三套测验组成，学生拿到一张带题目的卡片之后就立即阅读并立即提出问题。主试要弄清被试的整个推理过程，并记下测验所用的时间。

47. 系列2：信息不完全的题目 考查目的：本系列题目中有些信息缺少了，看起来对所提的问题似乎不可能有正确答案，而当补充了信息以后，就能得到正确的答案。目的是弄清学生能否指出解题必需具备的条件，并注意到丢失的信息，以此考查学生能否看出题目的形式结构。 考查方法：由算术和几何两套测验组成，当学生肯定地回答不能解决问题时，要求他说明原因，并补上丢失的信息。

48. 系列3：有多余信息的题目 考查目的：本系列题目中插进了附加的、不必要的信息，或者没有用的提示，以掩盖解题所需要的论据，目的是弄清学生能否辨别解题所需要的条件体系，以揭示他们头脑中理解数学题的一些特点。 考查方法：一般用两组题：“总是缺少必要的条件”“都有多余的事实”同时进行，可在学生学习了典型例题的一课、一周或一月之后进行，用以考查学生是否记住了：1）题目的类型；2）特殊的事实；3）多余的信息。

49. 系列4：具有互相渗透因素的题目 考查目的：研究学生分析—综合知觉几何图形的一些因素，特别是从不同观点辨别和确定几何图形渗透成分的技能，从背景中区分出图形和图形成分的技能，把一个成分包含在不同图形中，并给予恰当的不同解释的技能。 考查方法：主要几何测验，其图形中有些要素是“互相渗透的”，如看出棋盘中有多少个长方形。

50. 系列5：单一类型的题目体系 考查目的：通过学生怎样从不同的题目中看出一般的类型、如何从解决同一类型简单的题目到解决复杂的题目、以及他们怎样从外表类似的另一类型的题目中区分出这一类型的题目，来考查他们的概括能力。并通过分析学生连续解一个类型的问题时的推理过程，来判断他们“缩短”推理的能力。 考查方法：对不同层次的学生用两组不同难度的测验，每组测验由8道题，由易到难体现了一个类型从容易到复杂的“阶梯式”。测试时，先做第8题，不行就做第1题，然后再做第8题，不行再做第2题，如此下去，只要求学生回答解题的思路，而不必完整解题。