§5 同态与同构（ 8 － 9 节）

1. §5 同态与同构（8－9节） • 5.1 最初的思想 • 5.2 同态映射与性质 • 5.3 同态的代数系统 • 5.4 可单向传递的性质 • 5.5 同构的代数系统及其意义

2. 我们比较两个代数系统 和 . • 第一,我们需要一个映射 ; • 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体的说,假如 和 是 的两个元,那么 和 都有意义,都是的元.保持运算即下面等式成立: 5.1最初的思想 • 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合.

3. 换一种表示，假定在 之下的像， • 上面的等式即:

4. 定义1一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, ,都有: • ＝{所有整数}, 的代数运算是普通加法. • , 的代数运算是普通乘法. 5.2 同态映射与性质 • 定义与例子 注: 同态映射简称为态射.

5. (1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 • , , • 所以, • 例1 证明 ( 是 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 …… • 例2 : , 若是偶数 • , 若是奇数 • 证明: 是一个 到 的满射的同态映射. • (2)若 , 都是奇数…… • 证明: 显然, 是 到 的满射.对于 的任意两个整数 和 来说,分三种情况: • (3)若 和 奇偶性相反,……….

6. 例3 : ( 是 的任一元) • 固然是一个 到 的映射,但不是同态映射.因为,对于任意 的 和 来说,

7. 进一步的定义 • 定义2 • (1)单同态: • (2)满同态: • (3)同构映射:

8. 性质1设 是三个代数系统,并且 • 是两个同态映射(单同态、满同态、 • 同构映射).那么,仍然是 • 同态映射(单同态、满同态、同构 • 映射) • 性质

9. 证明: • (1) 是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式 • 性质2 设 是一个同构. 那么， • 也是一个同构.

10. 定义 和 是两个代数系统,如果存在一个 到 的同态满射 ,就称 和 同态. • 记号: • 性质1 • （1）反身性: • （2）传递性: • 注: 对称性不成立 5.3 同态的代数系统

11. 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, 到 同态.那么, • （1）若 适合结合律, 也适合结合律； • （2）若 适合交换律, 也适合交换律. 5.4 可单向传递的性质

12. 于是 • 证明 我们用 来表示 到 的同态满射. • （1）假定 是 的任意三个元. 由于 是同态满射,我们在 里至少找得出三个元 , , 来,使得在 之下, 注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性 • (2)同学们按照上面的方法,给出证明.

13. 定理2假定, 都是集合 的代数运算, 都是集合 的代数运算,并且存在一个 到 的满射 ,使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数运算 来说也同态.那么 • (1) 若 适合第一分配律, 也适合第一分配律. • (2) 若 适合第二分配律, 也适合第二分配律. • 注: , 由 的性质可以推出 具有同样的性质; 反过来不成立. • 证明 ……

14. 定义 和 是两个代数系统,如果存在一个 到 的同构映射 ,就称 和 同态. • 记号: 自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己做。 5.5 同构的代数系统及其意义 • 定义

15. , ． 例1 0 1 2 3 4 5 • 0 • 1 • 2 • 0 1 2 • 1 2 0 • 2 0 1 • 3 • 4 • 5 • 3 4 5 • 4 5 3 • 5 3 4 各 是 与的代数运算 与 的表． 请比较两个运算表,方向异同之处? • 同构的代数系统意味什么

16. 在A的运算表, 进行变换: 变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……..

17. 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说是同构的集合 和 ．我们可以假定， • 并且在 与 间的同构映射 之下， • ， ， ，… • 由于同构映射的性质，我们知道， 抽象地来看， 与 这两个代数系统，没有任何区别（只有命名上的不同而已）. • 小结

18. 作业: • P23: 1 • P26:1,3